何濤 李志鵬 李成 王傳禮 張文標(biāo)

摘 要：為滿足微納驅(qū)動(dòng)技術(shù)快速發(fā)展對(duì)大柔度柔性鉸鏈的迫切需求，在傳統(tǒng)對(duì)稱切口柔性鉸鏈的基礎(chǔ)上，提出了一類基于擺線和橢圓混合切口的新型混合柔性鉸鏈及其優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。首先，根據(jù)材料力學(xué)懸臂梁彎曲變形和拉伸變形理論，推導(dǎo)了轉(zhuǎn)動(dòng)柔度和拉伸柔度的計(jì)算公式，考慮彎曲變形的應(yīng)力集中現(xiàn)象，推導(dǎo)了最大應(yīng)力的計(jì)算公式，通過有限元仿真驗(yàn)證了計(jì)算公式的正確性。然后，討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)柔度、拉伸柔度和最大應(yīng)力的影響，研究表明，轉(zhuǎn)動(dòng)柔度和拉伸柔度隨參數(shù)的變化具有一致性，都與彈性模量、寬度和最小厚度成正比，與拱高參數(shù)成反比;最大應(yīng)力隨寬度、最小厚度和拱高參數(shù)的增大而減小。最后，以結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，以柔度比為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，考慮幾何約束、強(qiáng)度約束和外部載荷，建立了新型混合柔性鉸鏈的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并通過實(shí)例分析，驗(yàn)證了新型混合柔性鉸鏈的優(yōu)越性及優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：柔性鉸鏈;轉(zhuǎn)動(dòng)柔度;拉伸柔度;應(yīng)力分析;優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)： TP215文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-1098（2021）02-0029-07

收稿日期：2020-10-11

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2008085QE216）;安徽省高校自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（KJ2018A0078）;江蘇省礦山機(jī)電裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目（JSKL-MMEE-2018-4）;安徽省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人科研活動(dòng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目（2019D215）

作者簡介：何濤（1987-），男，安徽六安人，講師，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向：流體傳動(dòng)與控制及表面織構(gòu)減磨等領(lǐng)域。

Design Calculation andParameterOptimization ofNewHybridFlexureHinge

HE Tao1，2，3，LI Zhipeng1，3，LI Cheng1，3，WANG Chuanli1，2，3，ZHANG Wenbiao1，3

（1.??? School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui232001， China;2. Jiangsu Key Laboratory of Mine Mechanical and Electrical Equipment， China University of Mining and Technology， XuzhouJiangsu221116， China;3. Anhui Key Laboratory of mine intelligent equipment and technology， Anhui University of Science and Technology，Huainan Anhui232001， China）

Abstract：In order to meet the urgent needs of the rapid development of micro - nano drive technology for the large flexibility and flexure hinge， based on the traditional symmetric notch flexure hinge， a new type of hybrid flexure hinge based on cycloid and elliptic mixed notches and its optimal design method were presented. Firstly， according to the theory of bending deformation and tensile deformation of cantilever beam in mechanics of materials， the calculation formulas of rotational compliance and tensile compliance were derived. With the consideration of the stress concentration phenomenon of bending deformation， the calculation formula of maximum stress was derived. The correctness of the calculation formula was verified by finite element simulation. Then， the influence of structural parameters on rotational compliance， tensile compliance and maximum stress was discussed. The results showed that the rotational compliance and tensile compliance were consistent with the change of parameters， proportional to elastic modulus， width and minimum thickness and inversely proportional to the parameters of arch height. The maximum stress decreased with the increase of width， minimum thickness and arch height. Finally， taking the structural parameters as the optimization design variables， the compliance ratio as the optimization objective function， the optimization design model of the new hybrid flexure hinge was established with the consideration of geometric constraints， strength constraints and external loads. Through the case analysis， the advantages of the new hybrid flexure hinge and the effectiveness of the optimization design method was verified.

Key words：flexure hinge; rotational compliance; tensile compliance; stress analysis; optimal design

柔性鉸鏈通過彈性變形，能繞其回轉(zhuǎn)中心在有限角度范圍內(nèi)產(chǎn)生回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，具有位移分辨率高、傳動(dòng)精度高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，且避免了剛性鉸鏈的摩擦、磨損、潤滑等諸多問題，已經(jīng)在航空航海、精密儀器、生物工程、微納機(jī)械等諸多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)了基于柔性鉸鏈的三維海流傳感器，可以測(cè)量海洋上升流產(chǎn)生的微牛級(jí)升力。文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了基于圓弧柔性鉸鏈的微夾鉗，用以實(shí)現(xiàn)微納米尺度下的精準(zhǔn)操作。文獻(xiàn)[3]通過對(duì)柔性鉸鏈作動(dòng)機(jī)理的分析，提出運(yùn)用大行程柔性鉸鏈的高精度大行程并聯(lián)定位平臺(tái)。柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝詸C(jī)構(gòu)最重要的單元，其結(jié)構(gòu)往往決定整個(gè)柔性機(jī)構(gòu)的性能好壞，因此，高性能柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)仍是柔性機(jī)構(gòu)開發(fā)的重要部分。

就柔性鉸鏈的分類而言，根據(jù)工作維度不同，可分為單軸、雙軸和多軸柔性鉸鏈，單軸僅有一個(gè)自由度，適用于平面運(yùn)動(dòng)，而雙軸和多軸柔性鉸鏈適用于空間三維的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)切口輪廓的不同，又可以分為圓弧型、橢圓型、直角型、拋物線型、擺線型等[4-6]不同形式的柔性鉸鏈。除了上述對(duì)稱切口以外，還存在著混合柔性鉸鏈，如直圓拋物線柔性鉸鏈、雙曲線導(dǎo)角柔性鉸鏈等。混合柔性鉸鏈集成了不同鉸鏈的優(yōu)勢(shì)，從而在回轉(zhuǎn)能力或應(yīng)力水平等方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，尤其在大行程柔順機(jī)構(gòu)、精密測(cè)量和精密驅(qū)動(dòng)等領(lǐng)域應(yīng)用前景廣泛[7-8]。如文獻(xiàn)[9]將混合柔性鉸鏈應(yīng)用于高精度往復(fù)摩擦試驗(yàn)機(jī)中，提高了試驗(yàn)機(jī)的測(cè)量精度和疲勞壽命。

本文基于橢圓鉸鏈和擺線鉸鏈，設(shè)計(jì)了一種基于二者混合切口的新型混合柔性鉸鏈，利用材料力學(xué)的彎曲變形和拉伸變形理論推導(dǎo)了轉(zhuǎn)動(dòng)柔度和拉伸柔度的計(jì)算公式，并且考慮到彎曲變形下產(chǎn)生的應(yīng)力的集中現(xiàn)象，推導(dǎo)了最大應(yīng)力的計(jì)算公式?？紤]幾何約束、強(qiáng)度約束和外部載荷，建立了柔性鉸鏈通用的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，為柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供了新的思路。

1 柔度與應(yīng)力計(jì)算

1.1 柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度

由圖1為橢圓擺線混合柔性鉸鏈的幾何結(jié)構(gòu)示意圖，其幾何參數(shù)為寬度b，任意截面厚度h，最小厚度t，橢圓長半軸m，橢圓短半軸n，擺線拱高2r，鉸鏈長度l。以回轉(zhuǎn)中心為基準(zhǔn)點(diǎn)，兩側(cè)弧線在x軸投影長度相同，故幾何結(jié)構(gòu)存在如下關(guān)系：l=2m=2πr。

如圖1建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)材料力學(xué)的懸臂梁彎曲理論，角變形φ可以表示為

φ=dwdx=∫MEI（x）dx（1）

式中：w為撓度，m;E為材料的彈性模量，MPa;I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mm4。

對(duì)擺線段采用參數(shù)化后再積分，以θ為積分變量，則有x=r（θ-sinθ），y=r（1-cosθ），dx=r（1-cosθ）dθ，對(duì)橢圓段采用橢圓離心角積分，以φ為積分變量，則x=mcosφ，y=nsinφ，dx=mcosφdφ，代入式（1）整理得

φ=12MEb∫π0r（1-cosθ）（t+2r+2rcosθ）3dθ+

∫π/20mcosφ（t+2n-2ncosφ）3dφ（2）

為了使積分結(jié)果的形式更為簡潔，取中間變量s=2r/t，中間變量β=t/（2n）+1，利用MATLAB對(duì)式（2）求解積分，結(jié)果為

φ=3M2Ebr2πs3（3s+2）2（2s+1）3/2+12MEbf（3）

f=m8n33β（β2-1）5/2arctanβ+1β2-1+2β2+12β（β2-1）2

則柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度的計(jì)算公式為

Cφ=φM=32Ebr2πs3（3s+2）2（2s+1）3/2+12Ebf（4）

1.2 柔性鉸鏈的拉伸柔度

柔性鉸鏈在受Fx的拉壓作用下，會(huì)產(chǎn)生拉伸或者壓縮變形，根據(jù)材料力學(xué)的胡克定律

ΔxFx=LEA（5）

式中：Δx為伸長量，mm;Fx為沿x方向的拉壓力，N;L為桿件原長度，mm;A為橫截面面積，mm2。

根據(jù)微積分理論，伸長量Δl可以看做是無數(shù)微元段變形量的累計(jì)，則沿x軸的線位移可以表示為積分形式

Δx=FxE∫l01A1+1A2dx（6）

采用參數(shù)化積分，中間變量同上，整理得

Δx=FEb∫π/20（1-cosθ）（1+1/s+cosθ）dθ+∫π/20cosφ（β-cosφ）3dφ（7）

利用MATLAB求解式（7）的積分得

Δx=FEbπ（（2s+1）-1）2+m2n2ββ2-1arctanβ+1β2-1-π2（8）

因此，柔性鉸鏈拉伸柔度Cx的計(jì)算公式為

Cx=ΔxFx=1Ebπ（（2s+1）-1）2+m2n2ββ2-1arctanβ+1β2-1-π2（9）

1.3 柔性鉸鏈的最大應(yīng)力

橢圓擺線混合柔性鉸鏈彎曲變形時(shí)會(huì)產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，以擺線端為固定端，在擺線弧的底部與水平面相切處發(fā)生截面的突變，因此最大應(yīng)力可能發(fā)生在相切部位的最外層。設(shè)應(yīng)力集中系數(shù)為k，根據(jù)材料力學(xué)中純彎曲理論可以得到最大應(yīng)力計(jì)算式為

σmax=k·MWz=kMh2b/6=6kMh2b（10）

集中應(yīng)力系數(shù)k的經(jīng)驗(yàn)公式為[10]

k=ξ+0.253ξ+0.097（11）

式中：ξ為無量綱參數(shù)，且ξ=ρ/t，ρ為曲率半徑，mm;t為最小厚度，mm。

擺線任意一點(diǎn)處的曲率K用以下公式計(jì)算

K=14rsinθ2（12）

所以在最大應(yīng)力處的曲率半徑ρ=1/K=4r，最大應(yīng)力計(jì)算公式為

σmax=6Mt2b4r/t+0.2534r/t+0.097（13）

2 數(shù)值模擬

采用ANSYS19.0進(jìn)行有限元仿真，為降低計(jì)算量，材料均設(shè)置為鈹青銅，其彈性模量E=110GPa，寬度b均設(shè)為2mm，受力Fx=1N，M=1N·m。選擇6組不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)。圖2為以第一組參數(shù)建立的有限元模型。轉(zhuǎn)動(dòng)柔度、拉伸柔度和最大應(yīng)力的仿真結(jié)果與解析值比較如表1所示。

在公式推導(dǎo)中采取了一系列假設(shè)，如忽略了鉸鏈以外的變形、微元之間的耦合形變、剪切和扭轉(zhuǎn)變形的影響等通過比較表1中的相對(duì)誤差可以看出，在多組尺寸參數(shù)下，轉(zhuǎn)動(dòng)柔度的最大誤差在7%以內(nèi)，拉伸柔度的最大誤差在5%以內(nèi)，最大應(yīng)力的誤差在4%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文提出的柔性鉸鏈相關(guān)計(jì)算公式的正確性。

3 分析與討論

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔度的影響

柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)與其柔度性能密切相關(guān)，根據(jù)式（4）轉(zhuǎn)動(dòng)柔度和式（10）拉伸柔度計(jì)算公式，可以看出，柔度主要與彈性模量、寬度、拱高參數(shù)、橢圓短半軸和最小厚度有關(guān)，彈性模量由材料屬性決定，這里重點(diǎn)討論結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔度的影響。改動(dòng)任意一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)值，固定其他參數(shù)不變，可以得到兩項(xiàng)柔度隨任意一個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，結(jié)果如圖3～圖6所示。

從圖3～圖6可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)柔度與拉伸柔度隨參數(shù)的變化趨勢(shì)具有相似性，二者都隨著最小厚度、寬度和橢圓短半軸的增大呈非線性減小，而隨拱高參數(shù)的增大呈線性增大，但變化速率是不相同的，這為參數(shù)優(yōu)化提供了基礎(chǔ)。

3.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)最大應(yīng)力的影響

柔性鉸鏈常應(yīng)用于微位移放大機(jī)構(gòu)、柔性夾鉗等，工作時(shí)往往為重復(fù)性的變形運(yùn)動(dòng)，應(yīng)力的大小將成為疲勞失效的重要因素。從式（14）可以看出，最大應(yīng)力的大小主要與外力矩、最小厚度、拱高參數(shù)和寬度相關(guān)，利用MATLAB繪制雙因素三維曲面圖，分析任意兩項(xiàng)參數(shù)隨最大應(yīng)力的影響關(guān)系如圖7～圖8所示。

從圖7可以看出，最大應(yīng)力隨寬度和最小厚度的增大而呈非線性減小趨勢(shì)，從圖8可以看出，最大應(yīng)力隨著受力力矩的增大呈線性增大趨勢(shì)，隨拱高參數(shù)的增大而減小，且變化趨勢(shì)較為緩慢。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

柔性鉸鏈的機(jī)械性能由其結(jié)構(gòu)參數(shù)以及材料屬性決定，不同的參數(shù)組合往往導(dǎo)致柔性鉸鏈的性能具有差異性，為獲得高性能的柔性鉸鏈，優(yōu)化設(shè)計(jì)則必不可少。下文建立了柔性鉸鏈普適性的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，通過給定結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作載荷的范圍，就可以得到合理的優(yōu)化結(jié)果。

4.1 設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的建立

根據(jù)與柔性鉸鏈柔度相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為最小厚度、橢圓短半軸、寬度和拱高參數(shù)，因此設(shè)計(jì)變量X為

X=[x1，x2，x3，x4]T=[t，b，r，n]T（14）

柔性鉸鏈通過柔性單元的彎曲變形傳遞運(yùn)動(dòng)、力或能量，轉(zhuǎn)動(dòng)柔度Cφ是工作方向的柔度，因此越大越好，而對(duì)于拉伸柔度Cx，這不是工作方向的柔度，因此越小越好。為量化二者的關(guān)系，設(shè)柔度比[11]λ=Cx/Cφ，柔度比λ反映的是柔性鉸鏈主要輸出位移形式的靈敏度，柔度比λ越大，則該柔性鉸鏈的輸出位移形式中軸向位移的比重越大;反之，柔性鉸鏈則主要輸出旋轉(zhuǎn)角位移。因此以柔度比最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

G（X）=min（Cx/Cφ）（15）

4.2 約束條件

對(duì)一般工程問題，尺寸參數(shù)應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)要求在一定范圍內(nèi)選用，即尺寸參數(shù)應(yīng)滿足上下限的范圍約束

xil≤xi≤xiu（16）

橢圓段的長半軸應(yīng)大于短半軸，根據(jù)長半軸與拱高參數(shù)的關(guān)系滿足m=πr，那么有

πx3≥x4（17）

柔性鉸鏈需要達(dá)到彈性變形的要求，并使推導(dǎo)的柔度方程具有較小的誤差，切深和最小厚度需要滿足[12]

0.1x3≤x1≤1.6x3（18）

在力矩或力作用下，柔性鉸鏈產(chǎn)生彈性變形，為保證柔性鉸鏈的最大應(yīng)力處不發(fā)生破壞，應(yīng)滿足

σmax=k·MWz≤[σ]（19）

在設(shè)計(jì)柔性鉸鏈時(shí)，對(duì)其承載范圍進(jìn)行預(yù)估，即工作中的實(shí)際載荷的大小也應(yīng)滿足上下限的范圍約束

Mil≤M≤Miu（20）

綜上，柔性鉸鏈的優(yōu)化模型可以表示為

X=[x1，x2，x3，x4）]T=[t，b，r，n]TG（X）=min（Cx/Cφ）

xil≤xi≤xiu

πx3≥x4

0.1x3≤x1≤1.6x3

σmax=6Mx21x24x3/x1+0.2534x3/x1+0.097≤[σ]

Mil≤M≤Miu（21）

4.3 實(shí)例分析

給定尺寸參數(shù)和載荷的約束范圍（尺寸單位為mm，載荷單位為N·m）：

XiL=[0.2，2，0.6，2];XiU=[1，5，5，10];0.01≤M≤0.05。

本例選取鈹青銅作為柔性鉸鏈的材料，其許用應(yīng)力[σ]=0.276GPa。采用NNA（neural network algorithm）約束優(yōu)化算法[13]進(jìn)行優(yōu)化，該算法基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其算子的復(fù)雜結(jié)構(gòu)從而獲得優(yōu)化解，在約束優(yōu)化領(lǐng)域具有較高的表現(xiàn)和效率。

在MATLAB環(huán)境下運(yùn)行得到最優(yōu)解的參數(shù)組合為： X*=[0.472 4，5，0.688 7，2.019 5]， 尋優(yōu)過程如圖9所示。 由于優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力已經(jīng)接近于屈服強(qiáng)度， 依據(jù)經(jīng)驗(yàn)就近圓整，選取X0=[0.5，5，0.7，2]作為經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)，與優(yōu)化得到的參數(shù)進(jìn)行性能比較，比較結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，優(yōu)化后的柔性鉸鏈具有較小的柔度比，這表明優(yōu)化后的橢圓擺線混合柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)柔度比拉伸柔度的比重更大，這對(duì)大行程柔性運(yùn)放機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)是有利的。同時(shí)，就單一柔度指標(biāo)而言，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)柔度和拉伸柔度均高于經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，這表明在優(yōu)化過程中兩項(xiàng)柔度都在提高，但轉(zhuǎn)動(dòng)柔度的增幅更大，導(dǎo)致了柔度比的降低，優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果是合理的，同時(shí)這一方法也同樣適用于其他工作條件下的優(yōu)化。

5 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種新型混合柔性鉸鏈，推導(dǎo)了轉(zhuǎn)動(dòng)柔度、拉伸柔度和最大應(yīng)力的計(jì)算公式，通過有限元仿真驗(yàn)證了計(jì)算公式的正確性。討論了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)柔度、拉伸柔度和最大應(yīng)力的影響關(guān)系?？紤]尺寸、強(qiáng)度約束條件和工作載荷范圍，以柔度比為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，建立了具有普適性的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并給出了具體實(shí)例的優(yōu)化分析，結(jié)果表明，優(yōu)化后的橢圓擺線混合柔性鉸鏈具有更好的機(jī)械性能。

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（責(zé)任編輯：李 麗）