余光偉，方黨生，蔡翔宇，周璐

(上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200444)

球軸承結構簡單，但其振動是一個復雜的問題。按激勵源，球軸承振動可分為結構振動、內部激勵以及外部擾動3類。結構振動主要由軸承自身結構引起，內部激勵主要由軸承零件表面局部式缺陷、分布式缺陷等引起，外部擾動主要由軸承載荷、轉速等工況條件引起[1-2]。國內外對球軸承振動激勵的研究主要包括結構參數(shù)(球數(shù)、徑向游隙、溝曲率半徑系數(shù)等)、制造誤差(波紋度、圓度、尺寸誤差、表面缺陷等)和工況(載荷、轉速、潤滑條件等)3個方面。軸承制造商往往通過控制制造誤差改善軸承動態(tài)特性，波紋度對軸承振動的影響尤為顯著，是振動的主要激勵因素。因此，以6201深溝球軸承為例，建立符合實際工程應用的軸承動力學模型和波紋度模型，分析波紋度對深溝球軸承動態(tài)特性的影響。

1 深溝球軸承動力學模型

1.1 接觸特性

球與內、外圈溝道之間為點接觸，基于線性回歸的最小二乘法對赫茲接觸理論進行簡化，得到橢圓積分E，F(xiàn)，橢圓參數(shù)k的近似表達式為[3-5]

(1)

(2)

(3)

式中：∑ρi，∑ρe分別為內、外圈與球在接觸點的曲率和。

主曲率有正負之分，凸面為正，凹面為負，曲率和可表示為

(4)

(5)

式中：Di，De分別為內、外圈溝底直徑；Ri，Re分別為內、外圈溝道半徑。

載荷與變形的關系為

Q=Knδ1.5,

(6)

式中：Kn為載荷-變形系數(shù)；δ為變形量；E′為等效彈性模量；E1，E2分別為球、套圈材料的彈性模量；ν1,ν2分別為球、套圈材料的泊松比。

由(1)—(6)式可得軸承內、外圈載荷-變形系數(shù)Ki和Ke，球與軸承內、外圈總的載荷-變形系數(shù)可表示為

(7)

1.2 動力學簡化模型

假設軸承內圈固定，外圈旋轉，測量球軸承振動值實際是測量軸承外圈振動，假設球均勻分布在內、外圈溝道之間且做純滾動，不考慮球質量，將球視為彈簧和阻尼單元[6]，球軸承可以簡化為如圖1所示的振動系統(tǒng)。基于牛頓第二定律，在軸向力Fa作用下，外圈三自由度振動微分方程為

圖1 球軸承的簡化振動系統(tǒng)Fig.1 Simplified vibration system of ball bearing

(8)

式中：m為外圈質量；c為阻尼系數(shù)；x,y,z分別為外圈在坐標軸方向上的位移；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為作用在外圈上的彈簧力，即球與內、外圈的赫茲接觸力之和。

作用在外圈上的彈簧力可表示為

(9)

hx=(Re-Ri)cosθj+x，

hy=(Re-Ri)cosθj+y，

hz=ze-zi+z，

ze=z0+Bdsinα，

zi=z0-Bdsinα，

式中：j代表第j個球；Z為球數(shù)；φ，ψ，χ分別為鋼球位移向量與x，y，z軸方向的夾角；z0為球心相對坐標原點的初始位置；ωc為保持架角速度；t為時間；Bd為內外圈溝道中心距；α為初始接觸角。

內外圈溝道中心距為

Bd=Ri+Re-Dw+Gr,

(10)

式中：Dw為球直徑；Gr為徑向游隙。

在外圈移動后，內外圈溝道中心距為

(11)

考慮內、外圈波紋度，第j個球的彈性變形量(外圈振動前后內外圈溝道中心距的差值)可表示為

(12)

式中：∏i，∏e分別為內、外圈波紋度值。

2 波紋度模型

影響軸承振動特性的因素很多，其中球波紋度、套圈波紋度是重要影響因素[7]。相對于溝道加工精度，球加工精度很高，G3級球的表面粗糙度Ra值已達0.01 μm。在此主要分析套圈波紋度對軸承振動特性的影響。

當套圈溝道表面不存在波紋度時，溝道表面為光滑曲面，球與溝道之間接觸面的半徑為恒定值。當溝道表面存在波紋度時，光滑曲面變?yōu)椴y曲面，球與溝道之間的接觸變形和接觸剛度發(fā)生變化，從而引起接觸力變化[8]。

考慮球與內、外圈溝道之間存在間隙，軸承內、外圈波紋度可表示為[9]

(13)

Li(e)=ri(e)αi(e)mj,

λi(e)=πDi(e)/Ni(e)w,

式中：∏0為波紋度初始幅值；∏p為波紋度最大幅值；D為套圈直徑；Nw為波紋度波數(shù)；αmj為第j個球與溝道的接觸角。

對于外圈，

(14)

對于內圈,

(15)

式中：ωi為內圈角速度。

3 模型驗證

以6201深溝球軸承為研究對象，其主要結構參數(shù)見表1，聯(lián)立(1)—(15)式，采用四階龍格-庫塔算法求解三自由度振動微分方程。設定求解時間步長Δt=1×10-5s，轉速為1 500 r/min,m=0.015 kg，F(xiàn)a=70 N，Gr=4 μm，c=200 N·s·m-1[10]。

表1 6201深溝球軸承主要結構參數(shù)Tab.1 Main structural parameters of 6201 deep groove ball bearing

3.1 振動頻率

通過上述模型仿真計算可得軸承外圈y方向的振動位移頻譜圖，由圖2可知:外圈y方向位移頻譜圖在66 Hz處出現(xiàn)明顯峰值，其他頻率成分均為66 Hz的倍頻成分。由于徑向力的作用，在球軸承載荷區(qū)內，鋼球奇偶交替變換，造成軸承外圈以外圈通過頻率(BPFO)振動，即為球通過外圈溝道上一點的頻率[8-9]。

圖2 外圈在y方向的振動位移頻譜圖Fig.2 Spectrum of vibration displacement of outer ring in y direction

理論計算[5]可得,球通過外圈溝道上一點的頻率為65.12 Hz，與仿真結果基本一致，驗證了模型的正確性。

3.2 振動加速度

通過仿真計算可得外圈y方向上振動加速度(圖3)，振動加速度值均方根ai為0.16 m/s2，軸承振動加速度級可表示為

圖3 外圈在y方向上的振動加速度Fig.3 Vibration acceleration of outer ring in y direction

(16)

式中：a0為振動標準參考值，一般取9.81×10-3m/s2。

通過(16)式可得軸承振動加速度級的仿真計算結果為24.19 dB。

取6套6201深溝球軸承，采用S092-3C軸承振動(加速度)測量儀測量軸承振動加速度，測量原理如圖4所示。測量儀驅動轉速為500～2 000 r/min，峰值測量范圍為0～86 dB，有效值測量范圍0～60 dB，采用16位數(shù)據采集卡。

圖4 軸承振動加速度測量原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of measuring device for bearing vibration acceleration

參考GB/T 32333—2015《滾動軸承 振動(加速度)測量方法及技術條件》的規(guī)定，每套軸承正反兩面各隨機選取等距3個點測量[11]，測得3點通頻值取平均值，結果見表2。

表2 6201深溝球軸承振動加速度級測量結果Tab.2 Measurement results of vibration acceleration level of 6201 deep groove ball bearing

仿真結果與測量值誤差為6.0%，誤差在允許范圍內，進一步說明了模型的正確性。

4 波紋度波數(shù)對深溝球軸承振動特性的影響分析

取軸承內圈波紋度初始幅值為0.01 μm，最大幅值為0.20 μm，外圈波紋度初始幅值為0.01 μm，最大幅值為0.30 μm，分析內外圈波紋度波數(shù)對軸承加速度峰峰值(最大值與最小值的差值)和有效值(RMS)的影響。

4.1 內圈

內圈波紋度波數(shù)為6，7，14，17，30，35，56，59時,軸承y方向的振動加速度隨內圈波紋度波數(shù)的變化如圖5所示，內圈波紋度波數(shù)為奇數(shù)時比偶數(shù)時的振動響應更明顯。軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨內圈波紋度波數(shù)的變化如圖6所示，軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨內圈波紋度波數(shù)增大而增大，且波紋度波數(shù)為球數(shù)整數(shù)倍時，變化曲線會出現(xiàn)局部峰值。

圖5 軸承y方向振動加速度隨內圈波紋度波數(shù)的變化曲線Fig.5 Variation curve of vibration acceleration of bearing in y direction with waviness wave number of inner ring

圖6 軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨內圈波紋度波數(shù)的變化曲線Fig.6 Variation curve of vibration acceleration peak-to-peak value and RMS of bearing in y direction with waviness wave number of inner ring

4.2 外圈

外圈波紋度波數(shù)為6，7，14，17，30，35，56，59時,軸承y方向振動加速度隨外圈波紋度波數(shù)的變化如圖7所示,外圈波紋度波數(shù)為奇數(shù)時比偶數(shù)時的振動響應更明顯。

圖7 軸承y方向振動加速度隨外圈波紋度波數(shù)的變化曲線Fig.7 Variation curve of vibration acceleration of bearing in y direction with waviness wave number of outer ring

軸承y方向振動加速度響應的峰峰值和RMS隨外圈波紋度波數(shù)的變化如圖8所示,軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨外圈波紋度波數(shù)增大而增大，且波紋度波數(shù)為球數(shù)整數(shù)倍時，變化曲線會出現(xiàn)局部峰值。對比圖6可以看出，軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨外圈波紋度波數(shù)變化略大于隨內圈波紋度波數(shù)的變化。

圖8 軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨外圈波紋度波數(shù)的變化曲線Fig.8 Variation curve of vibration acceleration peak-to-peak value and RMS of bearing in y direction with waviness wave number of outer ring

5 結論

建立了三自由度軸承動力學模型和波紋度模型，以6201深溝球軸承為研究對象，驗證了模型的正確性，并分析了內、外圈波紋度波數(shù)對深溝球軸承振動特性的影響，得出結論：

1)內、外圈波紋度波數(shù)為奇數(shù)時均比偶數(shù)時軸承的振動響應更明顯。

2)軸承振動加速度的峰峰值和RMS隨內外圈波紋度波數(shù)增大而增大，波紋度波數(shù)為球數(shù)整數(shù)倍時，峰峰值和RMS隨波紋度波數(shù)的變化曲線會出現(xiàn)局部峰值。

3)軸承y方向振動加速度的峰峰值和RMS隨外圈波紋度波數(shù)變化略大于隨內圈波紋度波數(shù)的變化。