李小虎，張燕飛，萬少可，李森

(1.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049；2.現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049；3.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

0 引言

預(yù)緊作為調(diào)控角接觸球軸承服役性能的重要參數(shù)，對(duì)軸承性能的提升具有重要作用。合理的預(yù)緊可以增加軸承剛度，降低振動(dòng)噪聲，提高旋轉(zhuǎn)精度，抑制軸承打滑，延長軸承使用壽命，在高精密軸承系統(tǒng)中的作用尤其明顯[1]。數(shù)控機(jī)床精密主軸軸承系統(tǒng)通常在高速輕載、低速重載等多變復(fù)雜工況下工作，選擇合理的預(yù)緊方式及預(yù)緊力是確保角接觸球軸承的剛度、溫度、旋轉(zhuǎn)精度等服役性能滿足要求的關(guān)鍵因素。因此，開展不同預(yù)緊方式下角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性分析可為機(jī)床主軸軸承系統(tǒng)的性能分析提供理論依據(jù)。

傳統(tǒng)的軸承預(yù)緊技術(shù)可分為定位預(yù)緊和定壓預(yù)緊2種方式，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)不同預(yù)緊方式對(duì)滾動(dòng)軸承性能變化的影響開展了大量理論及試驗(yàn)研究,并取得了豐碩成果：文獻(xiàn)[2]建立了軸承擬靜力學(xué)模型并通過解析法求解軸承剛度矩陣，然而其求解過程中忽略了滾動(dòng)體所受陀螺力矩的影響；文獻(xiàn)[3]在分析高速精密角接觸球軸承接觸載荷和鋼球滾動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上，研究了軸承預(yù)緊載荷與轉(zhuǎn)速之間的映射規(guī)律，提出了防止鋼球陀螺滑動(dòng)所需的最小預(yù)緊載荷；文獻(xiàn)[4]對(duì)角接觸球軸承預(yù)緊的類型及工作原理進(jìn)行了分析，給出了預(yù)緊方式的選擇原則和確定預(yù)緊力的計(jì)算方法，但并未涉及軸承剛度的求解計(jì)算；文獻(xiàn)[5]分析了預(yù)緊力對(duì)高速角接觸球軸承中鋼球與內(nèi)、外圈的接觸剛度以及軸承整體徑向剛度、軸向剛度和角剛度的影響規(guī)律，但該研究中未明確軸承的具體預(yù)緊方式；文獻(xiàn)[6]考慮了軸承預(yù)緊力以及轉(zhuǎn)動(dòng)過程中導(dǎo)致滾動(dòng)體與滾道之間的接觸變化，基于有限元方法建立軸承接觸模型并計(jì)算了軸承的剛度矩陣，該方法也未涉及軸承的預(yù)緊方式；文獻(xiàn)[7]建立了軸承擬靜力學(xué)模型并使用全解析法求解軸承的剛度矩陣，但只分析了軸承定壓預(yù)緊的情況；文獻(xiàn)[8]分析了軸承定位預(yù)緊和定壓預(yù)緊對(duì)主軸-軸承動(dòng)態(tài)剛度的影響，得出高速工況時(shí)在切削載荷作用下定位預(yù)緊比定壓預(yù)緊更能有效維持主軸動(dòng)態(tài)剛度的結(jié)論；文獻(xiàn)[9]建立了軸承五自由度擬靜力學(xué)模型并提出了軸承時(shí)變剛度，研究了在靜態(tài)、動(dòng)態(tài)外載荷作用下軸承剛度的波動(dòng)情況，但只分析了定壓預(yù)緊工況下的軸承力學(xué)性能變化；文獻(xiàn)[10]提出了在定壓預(yù)緊和定位預(yù)緊方式下計(jì)算軸承剛度的方法，并且分析了轉(zhuǎn)速、預(yù)載荷以及溝道曲率對(duì)軸承剛度的影響，然而其求解剛度時(shí)采用了近似計(jì)算方法，雖然求解速度快，但在高速工況下計(jì)算精度差且只能計(jì)算主剛度。

綜上所述，目前的軸承擬靜力學(xué)求解模型大都基于定壓預(yù)緊方式，對(duì)于定位預(yù)緊方式下軸承動(dòng)態(tài)特性的研究仍需進(jìn)一步完善，因此有必要對(duì)2種預(yù)緊方式下的軸承求解模型進(jìn)行綜合對(duì)比分析，研究不同預(yù)緊方式下角接觸球軸承的接觸角、接觸力、離心力、剛度等動(dòng)態(tài)特性的變化規(guī)律，為數(shù)控機(jī)床精密主軸軸承系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析提供理論支撐。

1 角接觸球軸承五自由度擬靜力學(xué)模型的建立

1.1 軸承幾何關(guān)系的分析

在軸向載荷Fx，徑向載荷Fy和Fz以及彎矩My和Mz的作用下，角接觸球軸承內(nèi)、外圈之間產(chǎn)生軸向相對(duì)位移δx，徑向相對(duì)位移δy和δz，以及相對(duì)角位移θy和θz，建立的直角坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 角接觸球軸承受力及球分布圖

假定軸承內(nèi)部有Z個(gè)球且在軸承內(nèi)均勻分布，則第j個(gè)球的位置角為

ψj=ψ1+2π(j-1)/Z。

(1)

靜止?fàn)顟B(tài)下，軸承內(nèi)溝道曲率中心、外溝道曲率中心與球心3點(diǎn)共線。高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，球受到離心力和陀螺力矩的作用，球心位置相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)下發(fā)生變化，軸承內(nèi)部幾何關(guān)系如圖2所示。

圖2 軸承內(nèi)外圈與球的幾何關(guān)系

未受力前，軸承內(nèi)、外溝道曲率中心距為

A0=(fi+fe-1)Dw，

(2)

式中：fi，fe分別為內(nèi)、外溝道曲率半徑系數(shù)；Dw為球徑，mm。

第j個(gè)球處，內(nèi)、外溝道曲率中心之間的軸向距離A1j和徑向距離A2j為

(3)

(4)

(5)

式中：Ri為內(nèi)溝道曲率中心軌跡半徑，mm；Dpw為球組節(jié)圓直徑，mm。

同樣，球與內(nèi)、外圈之間接觸角αij，αej的三角函數(shù)表達(dá)式為

(6)

式中：X1j，X2j分別為第j個(gè)球的球心與外溝道曲率中心之間的軸向距離和徑向距離；δij，δej分別為第j個(gè)球與內(nèi)、外圈的接觸變形量。

根據(jù)勾股定理可得

(7)

1.2 角接觸球軸承受力分析

角接觸球軸承受力分析包括球的局部受力分析和套圈的整體受力分析。

1.2.1 球的受力分析

球的受力分析如圖3所示，軸承在高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球除承受與內(nèi)、外圈的接觸載荷外，還受到離心力和陀螺力矩的作用。球在豎直和水平方向上平衡方程為

圖3 球受力平衡圖

(8)

式中：Qij，Qej為第j個(gè)球與內(nèi)、外圈的接觸載荷，N；Mgj為第j個(gè)球的陀螺力矩，N·mm；Fcj為第j個(gè)球的離心力，N；λij，λej分別為內(nèi)、外溝道的載荷分配系數(shù)，對(duì)于外溝道控制理論，λij=0，λej=2，否則λij=1，λej=1。

根據(jù)赫茲接觸理論，球與內(nèi)、外圈的法向接觸載荷與變形的關(guān)系為

(9)

第j個(gè)球承受的離心力和陀螺力矩為

(10)

(11)

式中：m為球質(zhì)量，kg；J為球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·mm2；ω為內(nèi)圈角速度，rad·s-1；ωm為球公轉(zhuǎn)角速度，rad·s-1；ωR為球自轉(zhuǎn)角速度，rad·s-1；β為球姿態(tài)角,(°)。

第j個(gè)球的自轉(zhuǎn)角速度與公轉(zhuǎn)角速度之比為

(12)

(13)

(14)

γ=Dw/Dpw。

ωm/ω和tanβ的取值與溝道控制理論有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)見表1和表2，其中L為與接觸面積有關(guān)的第二類完全橢圓積分。

表1 內(nèi)、外溝道控制理論選擇標(biāo)準(zhǔn)

表2 姿態(tài)角和軌道速度與內(nèi)圈轉(zhuǎn)速之比的計(jì)算

1.2.2 整體受力分析

將球與內(nèi)圈之間的接觸載荷進(jìn)行疊加，得到軸承內(nèi)圈的受力平衡方程為

。(15)

2 不同預(yù)緊方式下軸承力學(xué)模型的求解

2.1 定壓預(yù)緊和定位預(yù)緊

不同預(yù)緊方式下，軸承動(dòng)態(tài)特性的差異較大：對(duì)于定壓預(yù)緊(圖4a)，用剛度較小的彈簧對(duì)外圈施加預(yù)緊力Fx，其在軸承運(yùn)轉(zhuǎn)過程中保持不變，內(nèi)、外圈相對(duì)位置可以發(fā)生變化；對(duì)于定位預(yù)緊(圖4b)，組裝之后用鎖緊螺母擰緊消除間隙δx即可使2套軸承均處于預(yù)緊狀態(tài)，不考慮熱變形的影響時(shí)軸承初始?jí)喝肓喀膞保持不變，即軸承運(yùn)行過程中內(nèi)、外圈的相對(duì)位置保持不變。

圖4 滾動(dòng)軸承軸向預(yù)緊方式示意圖

2.2 定壓預(yù)緊和定位預(yù)緊軸承剛度矩陣求解

根據(jù)剛度的定義，求出載荷對(duì)位移的偏導(dǎo)數(shù)，即軸承剛度矩陣的解析表達(dá)式，然后代入具體數(shù)值求得軸承在不同工況下的剛度矩陣，該方法求解的是切線剛度，求解結(jié)果精度高。在求解過程中，通常將每個(gè)球的方程稱為局部方程(即(7)式和(8)式)，軸承整體受力方程稱為全局方程(即(15)式)。每個(gè)球的求解變量X={X1,X2,δi,δe}j稱為局部求解變量,j=1，2,…,Z。將f={Fx,Fy,Fz,My,Mz}稱為全局載荷變量，d={δx,δy,δz,θy,θz}稱為全局位移變量。由(15)式可知，整體軸承的受力與軸承內(nèi)每個(gè)球的受力有關(guān)，因此需要先求解每個(gè)球的平衡方程，聯(lián)立(7)式和(8)式進(jìn)行求解。解析法求解軸承剛度矩陣是將軸承承受的外載荷f對(duì)軸承內(nèi)外圈相對(duì)位移d求偏導(dǎo)數(shù)形成的5×5階矩陣。

2.2.1 定壓預(yù)緊模型求解

在定壓預(yù)緊時(shí)，軸承邊界條件為f={Fx,Fy,Fz,My,Mz}，所需求解變量包括5個(gè)全局變量d={δx,δy,δz,θy,θz}以及4Z個(gè)局部變量X={X1,X2,δi,δe}j。首先，根據(jù)靜力學(xué)模型求解結(jié)果給定一個(gè)初始迭代值d0={δx,δy,δz,θy,θz}0；然后，求解(7)式和(8)式得到局部變量X={X1,X2,δi,δe}；最后，根據(jù)(15)式計(jì)算此次的載荷向量以及軸承剛度矩陣。當(dāng)不滿足收斂條件時(shí)，用軸承剛度矩陣對(duì)全局位移d進(jìn)行修正后繼續(xù)求解(7)式和(8)式，直到滿足收斂條件為止。

2.2.2 定位預(yù)緊模型求解

在定位預(yù)緊時(shí)，已知的量是軸承壓入量，而不是軸向外載荷，因此軸承邊界條件為f={δx,Fy,Fz,My,Mz}，稱為混合邊界條件，所需求解的變量包括5個(gè)全局變量d={Fx,δy,δz,θy,θz}以及4Z個(gè)局部變量X={X1,X2,δi,δe}j。由于軸向載荷求解變量Fx只存在于全局方程的軸向平衡方程中，則局部方程以及全局方程的后4個(gè)方程共含有4Z+4個(gè)求解變量，而不包含軸向載荷求解變量，因此只需先求解4Z個(gè)局部變量X={X1,X2,δi,δe}和d={δy,δz,θy,θz}。此時(shí)的解法同定壓預(yù)緊的情況，由于軸承壓入量已知，因此在反復(fù)迭代過程中無需對(duì)軸向位移進(jìn)行修正，將初始迭代向量設(shè)置為d0={δy,δz,θy,θz}0，不滿足收斂條件時(shí)用軸承剛度矩陣對(duì)軸承全局位移d進(jìn)行修正即可，此時(shí)剛度矩陣為4×4階。

不同預(yù)緊方式下角接觸球軸承模型的求解流程如圖5所示，圖中:d0為全局變量的迭代初值，可采用靜力學(xué)求解結(jié)果；f為給定的外載荷，fn為迭代過程中所有球?qū)?nèi)圈的接觸力之和；ε1，ε2為誤差向量，εtol1和εtol2為容許誤差。每次迭代后若不滿足容許誤差，則用軸承的剛度矩陣修正迭代初值d0后繼續(xù)對(duì)(7)式和(8)式進(jìn)行求解，直到滿足最終求解誤差小于給定的容許誤差為止。

圖5 不同預(yù)緊方式下軸承模型求解流程

3 軸承的動(dòng)態(tài)特性分析

軸承的動(dòng)態(tài)特性包括球與內(nèi)、外圈的接觸力和接觸角，球的離心力、陀螺力矩以及軸承剛度。軸承的動(dòng)態(tài)特性受預(yù)緊方式、預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速、徑向載荷、球材料等因素的影響。本文以NSK7008C角接觸球軸承(基本參數(shù)見表3，套圈和球的材料均為軸承鋼)為例，研究輕、中、重預(yù)緊(輕、中、重預(yù)緊根據(jù)NSK軸承手冊(cè)選取，對(duì)應(yīng)的預(yù)緊力和預(yù)緊量見表4)情況時(shí)，軸承動(dòng)態(tài)特性在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律并進(jìn)行綜合對(duì)比分析。

表3 NSK7008C軸承的基本參數(shù)

表4 NSK7008C軸承的預(yù)緊方式及預(yù)緊力

3.1 定壓預(yù)緊下的軸向變形和定位預(yù)緊下的軸向載荷隨轉(zhuǎn)速的變化

如圖6所示，定壓預(yù)緊下軸承的軸向變形量隨轉(zhuǎn)速的增大而減小，這是由于定壓預(yù)緊狀態(tài)下軸承內(nèi)、外圈之間可以相互浮動(dòng)，隨著轉(zhuǎn)速的升高，球的離心力逐漸增大，對(duì)外圈的作用力也隨之增加，將迫使內(nèi)、外圈遠(yuǎn)離；此外，軸承初始預(yù)緊力越大，在高速(轉(zhuǎn)速大于6 000 r/min，下同)下抵抗球?qū)ν馊ψ饔昧Φ哪芰υ綇?qiáng)，軸承的軸向變形量隨轉(zhuǎn)速的變化越小。

圖6 定壓預(yù)緊下軸向變形量隨轉(zhuǎn)速的變化

如圖7所示，定位預(yù)緊下軸承的軸向載荷隨轉(zhuǎn)速的升高而增大，這是由于定位預(yù)緊狀態(tài)下軸承內(nèi)、外圈之間的相對(duì)位置固定，高速下球的離心力作用導(dǎo)致球?qū)ν馊Φ淖饔昧υ龃笄覠o法釋放，最終使軸向載荷增大。

圖7 定位預(yù)緊下軸向載荷隨轉(zhuǎn)速的變化

3.2 定壓預(yù)緊與定位預(yù)緊下球接觸載荷隨轉(zhuǎn)速的變化

不考慮球所承受的陀螺力矩，其徑向和軸向平衡方程為

(16)

由(16)式可得

(17)

由(17)式可得αe<αi，即在離心力的作用下，球與內(nèi)圈的接觸角增大，與外圈的接觸角減??；由(16)式可得Qe>Qi，即在離心力的作用下，球與內(nèi)圈的接觸載荷小于球與外圈的接觸載荷。

在軸向預(yù)緊力作用下，不考慮接觸角隨轉(zhuǎn)速變化時(shí)，每個(gè)球與內(nèi)、外圈的法向接觸載荷為

(18)

定壓預(yù)緊或定位預(yù)緊時(shí)，不同預(yù)緊力下球與內(nèi)、外圈的接觸載荷隨轉(zhuǎn)速的變化如圖8所示，由圖可知：

圖8 不同預(yù)緊力下接觸載荷隨轉(zhuǎn)速的變化

1)球與內(nèi)、外圈的接觸載荷均隨著初始預(yù)緊力的增大而增大。

2)在定壓預(yù)緊狀態(tài)下，由于轉(zhuǎn)速升高使內(nèi)接觸角增大，球與內(nèi)圈的接觸載荷隨轉(zhuǎn)速升高而減小，但這種減小趨勢(shì)并不明顯。

3)在定位預(yù)緊狀態(tài)下，球與內(nèi)圈的接觸載荷隨轉(zhuǎn)速升高先減小后增大。在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，軸向載荷增加并不顯著，與此同時(shí)接觸角增大，因此接觸載荷變小；隨著轉(zhuǎn)速升高，軸向載荷迅速增大并占主導(dǎo)因素，球與內(nèi)圈的接觸載荷隨之增大。

4)高速運(yùn)行工況下，對(duì)于定壓預(yù)緊，由于慣性力的作用，球有脫離內(nèi)溝道而壓向外溝道的趨勢(shì)，導(dǎo)致球與外圈的接觸角減小且接觸載荷增加；對(duì)于定位預(yù)緊，不僅離心力使球與外圈的接觸角減小，而且軸向載荷也隨著轉(zhuǎn)速升高而增大；因此，在高速運(yùn)行工況下，定位預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸載荷比定壓預(yù)緊時(shí)大。

3.3 定壓預(yù)緊與定位預(yù)緊下球與溝道的接觸角隨轉(zhuǎn)速的變化

定位預(yù)緊或定壓預(yù)緊時(shí)，不同預(yù)緊力下球與內(nèi)、外圈的接觸角隨轉(zhuǎn)速的變化如圖9所示，由圖可知：

圖9 不同預(yù)緊力下接觸角隨轉(zhuǎn)速的變化

1)靜態(tài)下球與內(nèi)、外圈的接觸角相同，且接觸角隨著初始預(yù)緊力增大而增大。

2)高速運(yùn)行工況下，由于離心力和陀螺力矩的作用，球與內(nèi)圈的接觸角增大，球與外圈的接觸角減??；定位預(yù)緊與定壓預(yù)緊時(shí)，球與內(nèi)圈的接觸角相差不大，但定位預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸角更大，說明定壓預(yù)緊時(shí)球受到的離心效應(yīng)更明顯。

3)轉(zhuǎn)速為20 000 r/min，輕、中、重預(yù)緊工況下，定壓預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸角相對(duì)定位預(yù)緊時(shí)分別減小45.6%，18.2%，5.2%，這是由于高速下球有壓向外溝道的趨勢(shì)，然而定位預(yù)緊的軸向載荷隨轉(zhuǎn)速增大而增大，抑制了接觸角隨轉(zhuǎn)速的減小。計(jì)算結(jié)果也表明，預(yù)緊力越大，定壓預(yù)緊與定位預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸角相差越小。

3.4 不同預(yù)緊方式下軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的變化

定位預(yù)緊或定壓預(yù)緊時(shí)，不同預(yù)緊力下軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的變化如圖10所示，由圖可知：

圖10 不同預(yù)緊力下軸承剛度隨轉(zhuǎn)速的變化

1)靜態(tài)下，軸承的軸向剛度和徑向剛度隨預(yù)緊力增大而增大。

2)在高速運(yùn)行工況下，軸承的軸向剛度和徑向剛度均隨著轉(zhuǎn)速升高而衰減，但衰減的程度略有不同，定位預(yù)緊時(shí)軸承的剛度明顯大于定壓預(yù)緊時(shí)。在轉(zhuǎn)速為20 000 r/min，輕、中、重預(yù)緊工況下，定壓預(yù)緊軸承比定位預(yù)緊軸承的軸向剛度分別減小了60.1%，36.2%，13.1%，徑向剛度分別減小了59.5%，36.1%，12.4%，原因是定位預(yù)緊軸承的軸向載荷隨轉(zhuǎn)速的升高而增大，抑制了剛度隨轉(zhuǎn)速的減小。

4 結(jié)論

構(gòu)建了角接觸球軸承擬靜力學(xué)模型，研究了不同預(yù)緊方式角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性分析計(jì)算方法，探索不同預(yù)緊方式、轉(zhuǎn)速、預(yù)緊力等因素對(duì)軸承動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：

1)定壓預(yù)緊軸承的軸向變形量隨轉(zhuǎn)速升高而減小，定位預(yù)緊軸承的軸向載荷隨轉(zhuǎn)速升高而增大。

2)高速運(yùn)行工況下，定位預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸載荷比定壓預(yù)緊時(shí)的大。

3)靜態(tài)工況下，球與內(nèi)、外圈的接觸角相等且接觸角隨初始預(yù)緊力增大而增大；高速運(yùn)行工況下，預(yù)緊力越大，定壓預(yù)緊時(shí)球與外圈的接觸角與定位預(yù)緊時(shí)的差值越小。

4)軸承剛度隨預(yù)緊力增大而增大，隨轉(zhuǎn)速升高而減小。高速、初始預(yù)緊力相等工況下，定位預(yù)緊軸承的軸向剛度和徑向剛度均大于定壓預(yù)緊軸承。