趙 帥 尹明富 朱 洋

(天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津 300387)

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)是一種性能優(yōu)越并且適用于高速分度的新型蝸桿式凸輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，又被稱為福開森機(jī)構(gòu)[1]。目前，國內(nèi)外對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的研究發(fā)展很快，在空間嚙合原理、運(yùn)動(dòng)和幾何特性分析、動(dòng)力學(xué)研究等方面都已經(jīng)取得了一定的研究成果，為該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和生產(chǎn)提供了強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)[2]。隨著國內(nèi)機(jī)械制造業(yè)的飛快發(fā)展，空間凸輪機(jī)構(gòu)成為不可或缺的核心傳動(dòng)件，但是缺少對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)潤滑性能的研究。

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)能夠按照特定規(guī)律進(jìn)行周期性的分度和轉(zhuǎn)位動(dòng)作,在機(jī)構(gòu)長時(shí)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧面分度凸輪工作輪廓曲面與轉(zhuǎn)盤滾子曲面之間接觸區(qū)域的位置在分度期時(shí)容易出現(xiàn)失效情況[3-4]，直接影響其傳動(dòng)效率、平穩(wěn)性能以及使用壽命。因此，本文作者研究弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)分度期潤滑狀態(tài)及形成動(dòng)態(tài)潤滑油膜厚度。

1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型

1.1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)工作原理

常規(guī)的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)由弧面分度凸輪和轉(zhuǎn)盤組成。當(dāng)弧面凸輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在其分度期會(huì)推動(dòng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)，在其停歇期2個(gè)相鄰的圓柱滾子會(huì)停留在凸輪凸脊的兩側(cè)。機(jī)構(gòu)在分度期嚙合的過程中，由于弧面凸輪與圓柱滾子2個(gè)線接觸摩擦面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)壓效應(yīng)，會(huì)形成彈流潤滑油膜，進(jìn)而達(dá)到保護(hù)機(jī)構(gòu)的目的[5-6]。

1.2 建立機(jī)構(gòu)的研究模型

在機(jī)構(gòu)中建立的坐標(biāo)系如圖1所示：O0X0Y0Z0為與機(jī)架相連的定坐標(biāo)系，O1X1Y1Z1為與弧面凸輪相連的動(dòng)坐標(biāo)系，O2X2Y2Z2為與轉(zhuǎn)盤相連的動(dòng)坐標(biāo)系，O′0X′0Y′0Z′0為與機(jī)架相連的輔助定坐標(biāo)系。

圖1 機(jī)構(gòu)中建立的笛卡爾坐標(biāo)系

通過轉(zhuǎn)盤圓柱滾子的曲面方程，選擇一定的從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以微分幾何和旋轉(zhuǎn)變量為基礎(chǔ)，根據(jù)空間包絡(luò)曲面的共軛原理，推導(dǎo)計(jì)算出弧面凸輪的工作廓面方程[7]。

表1為研究模型所采用的主要運(yùn)動(dòng)幾何參數(shù)。

表1 主要運(yùn)動(dòng)幾何參數(shù)

2 穩(wěn)態(tài)工況下相關(guān)潤滑參數(shù)求解

2.1 彈流潤滑油膜厚度計(jì)算理論

弧面凸輪與圓柱滾子2個(gè)線接觸摩擦面在進(jìn)行相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)形成彈流潤滑油膜。根據(jù)文獻(xiàn),可采用Hamrock-Dowson公式進(jìn)行機(jī)構(gòu)分度期嚙合過程的最小油膜厚度Hmin的分析計(jì)算[8-9]。

(1)

在穩(wěn)態(tài)工況下，一般的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)所選用潤滑油參數(shù)為η0=20×10-3Pa·s，α=2×10-8m2/N[10-11]。

根據(jù)公式分析，在機(jī)構(gòu)保證潤滑油參數(shù)一定的情況下，形成彈流油膜的厚度主要跟機(jī)構(gòu)共軛接觸處的卷吸速度、誘導(dǎo)主曲率、接觸應(yīng)力有關(guān)。

2.2 求解卷吸速度u

假設(shè)弧面凸輪與滾子之間的運(yùn)動(dòng)為純滾動(dòng)，弧面凸輪的速度為u1,圓柱滾子速度為u2，則

u1=ω1·rp1

(2)

u2=ω2·rp2

(3)

式中：ω1、ω2分別為弧面凸輪和圓柱滾子的角速度，rad/s；rp1、rp2分別為弧面凸輪和圓柱滾子的節(jié)圓半徑，mm。

卷吸速度u為分度盤滾子接觸點(diǎn)的絕對(duì)速度，表達(dá)式為

u=(u1+u2)/2

(4)

2.3 求解誘導(dǎo)主曲率

兩曲面在接觸點(diǎn)K處不發(fā)生根切的情況下，誘導(dǎo)法曲率在沿瞬時(shí)接觸線方向?yàn)?，即誘導(dǎo)主曲率其中的一個(gè)解為0，對(duì)另一個(gè)誘導(dǎo)主曲率的求解過程如下：

(5)

式中：β為圓柱滾子曲面坐標(biāo)參數(shù);φ為滾子的位置角。

(6)

(7)

其中

式中：ε2為轉(zhuǎn)盤角加速度;ω1、ω2分別為弧面凸輪與滾子的角速度;c為機(jī)構(gòu)的中心距。

根據(jù)歐拉公式可知，誘導(dǎo)主曲率方向?yàn)檠卮怪庇诮佑|線切線方向，其值為

(8)

3 機(jī)構(gòu)接觸應(yīng)力σ的算法推導(dǎo)

3.1 理論推導(dǎo)接觸應(yīng)力

弧面凸輪與圓柱滾子在分度期嚙合時(shí)，2個(gè)曲面的接觸形式為線接觸，在接觸面會(huì)有接觸應(yīng)力的產(chǎn)生。假設(shè)把弧面凸輪與從動(dòng)滾子簡(jiǎn)化成圓柱體與平面相接觸，以從動(dòng)件圓柱滾子為研究對(duì)象，對(duì)機(jī)構(gòu)分度期凸輪副的受力進(jìn)行分析，在嚙合過程中，凸輪副會(huì)產(chǎn)生法向壓力Fn，F(xiàn)n是影響接觸應(yīng)力大小的重要參數(shù)。

3.1.1 推導(dǎo)求解凸輪副法向壓力Fn

以從動(dòng)件為研究對(duì)象，在S2坐標(biāo)系中，將法向力Fn分解為沿圓周方向的圓周力Ft，沿分度盤軸向的軸向力Fa和沿分度盤節(jié)圓半徑的徑向力Fr，如圖2所示。

圖2 受力分析

圓周力與法向力的夾角為β(β為圓柱滾子柱面坐標(biāo)參數(shù))，而從動(dòng)件分度盤的節(jié)圓半徑與法向力是垂直關(guān)系，所以Fr=0。因此

(9)

其中：

Fa=Fttanβ

(10)

利用機(jī)構(gòu)的功能守恒原理對(duì)圓周力進(jìn)行求解，將從動(dòng)滾子簡(jiǎn)化成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，穩(wěn)態(tài)工況下，弧面凸輪近似做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，電機(jī)的輸入功率全部轉(zhuǎn)化為圓周力在分度期所做的功。當(dāng)電機(jī)輸入功率為P時(shí)，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)在一個(gè)分度期內(nèi)所消耗的功為w=Ptd，其中td機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)位時(shí)間，可知：

(11)

式中:φ為分度盤角位移;dφ為轉(zhuǎn)盤角位移瞬時(shí)增量。

機(jī)構(gòu)選定從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為修正正弦加速度運(yùn)動(dòng)，對(duì)式(11)進(jìn)行變形求解得最大圓周力

(12)

式中：ω1為弧面凸輪轉(zhuǎn)速;θh和φh分別為弧面凸輪和分度盤的分度角。

因此可以推導(dǎo)求得在一個(gè)分度期內(nèi)嚙合處所受圓周力的表達(dá)式為

(13)

將式(10)、(12)、(13)代入式(9)中即可得到凸輪副法向壓力Fn。

3.1.2 求解凸輪副接觸應(yīng)力σ

在嚙合過程中，主動(dòng)件與從動(dòng)件相接觸的輪廓形狀復(fù)雜，因此簡(jiǎn)化計(jì)算不會(huì)影響結(jié)果，初始接觸長度B取滾子的高度。研究模型機(jī)構(gòu)材料采用42CrMo，穩(wěn)態(tài)工況下，彈性模量E1=E2=210 GPa，泊松比為μ1=μ2=0.3。根據(jù)彈性接觸的Hertz理論對(duì)機(jī)構(gòu)分度期凸輪副產(chǎn)生的接觸應(yīng)力進(jìn)行求解[12]:

(14)

式中：Fn為凸輪副的法向壓力。

將已知各參數(shù)代入(14)中，即可求凸輪副接觸應(yīng)力σ。

3.2 接觸應(yīng)力算法可行性仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用ANSYS軟件對(duì)建立的機(jī)構(gòu)研究模型進(jìn)行有限元分析，采用靜力學(xué)分析模塊對(duì)機(jī)構(gòu)在分度期嚙合過程中的接觸應(yīng)力進(jìn)行求解，對(duì)主動(dòng)件添加初始條件弧面分度凸輪轉(zhuǎn)速為n=300 r/min，材料屬性與理論推導(dǎo)條件相同，機(jī)構(gòu)分度期接觸應(yīng)力分布結(jié)果如圖3所示。

圖3 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)應(yīng)力云圖

利用MATLAB對(duì)接觸應(yīng)力算法進(jìn)行仿真計(jì)算，與有限元分析保持相同的參數(shù)條件不變，表2為所得不同嚙合位置接觸應(yīng)力四舍五入后的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

表2 不同嚙合位置接觸應(yīng)力

2種不同仿真方法的數(shù)據(jù)結(jié)果相符合，在誤差允許范圍內(nèi)，證明接觸應(yīng)力新算法推導(dǎo)可行。

4 實(shí)例仿真實(shí)驗(yàn)及潤滑狀態(tài)分析

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)是一種中高速、承載能力強(qiáng)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。保證研究模型其他參數(shù)不變，改變主動(dòng)件弧面分度凸輪的轉(zhuǎn)速，研究不同轉(zhuǎn)速條件下，機(jī)構(gòu)的潤滑狀態(tài)及動(dòng)態(tài)潤滑油膜的形成。

4.1 不同轉(zhuǎn)速對(duì)接觸應(yīng)力的影響

根據(jù)上文推導(dǎo)出的接觸應(yīng)力算法，利用MATLAB編寫程序，對(duì)不同嚙合點(diǎn)的接觸應(yīng)力進(jìn)行仿真計(jì)算，主動(dòng)件的轉(zhuǎn)速n分別設(shè)定為300、600、900 r/min。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同轉(zhuǎn)速對(duì)接觸應(yīng)力的影響

凸輪轉(zhuǎn)速越大，機(jī)構(gòu)嚙合處接觸應(yīng)力越小，凸輪轉(zhuǎn)速的改變，不會(huì)改變接觸應(yīng)力變化的整體走向。

4.2 不同轉(zhuǎn)速對(duì)形成彈流潤滑油膜的影響

4.2.1 最小油膜厚度仿真

基于Hamrock-Dowson公式對(duì)不同嚙合位置形成的最小油膜厚度進(jìn)行仿真，主動(dòng)件的轉(zhuǎn)速n同樣分別設(shè)定為300、600、900 r/min。不同轉(zhuǎn)速的仿真結(jié)果如圖5—7所示，X、Y分別代表凸輪工作廓面的位置坐標(biāo)。

圖5 300 r/min條件下的最小膜厚

圖7 900 r/min條件下的最小膜厚

從圖中可以得出，凸輪轉(zhuǎn)速越大，形成的最小油膜厚度越大。

4.2.2 膜厚比計(jì)算

為了更加準(zhǔn)確地分析機(jī)構(gòu)嚙合過程的潤滑狀態(tài)，引用膜厚比概念對(duì)彈流潤滑油膜進(jìn)行分析。依據(jù)前人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)[13-14]，如圖8所示，當(dāng)膜厚比λ<0.7(A區(qū))，沒有彈流潤滑油膜產(chǎn)生，屬于干摩擦狀態(tài)，機(jī)構(gòu)損傷嚴(yán)重。0.7≤λ≤1.5(B區(qū))，屬于混合潤滑狀態(tài)，成膜率小于50%，機(jī)構(gòu)在傳動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，降低機(jī)構(gòu)壽命。1.5≤λ≤3(C區(qū)),成膜率大于50%，嚙合過程工作表面的損傷會(huì)大大減小。λ≥3(D區(qū))，屬于流體潤滑狀態(tài)，不會(huì)發(fā)生摩擦，但是目前工業(yè)技術(shù)難以達(dá)到。

圖8 成膜率與膜厚比關(guān)系

膜厚比計(jì)算公式為

(15)

式中：σ1、σ2分別為從動(dòng)件和主動(dòng)件表面粗糙度均方根偏差，分別取0.16、0.3 μm。

對(duì)不同轉(zhuǎn)速下的膜厚比進(jìn)行求解，結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同轉(zhuǎn)速條件的膜厚比

當(dāng)機(jī)構(gòu)低速傳動(dòng)時(shí)，分度期嚙入段及嚙出段膜厚比λ<0.1，成膜率極低，基本不能形成彈流潤滑油膜，處于干摩擦狀態(tài)，需要進(jìn)行脂潤滑。凸輪轉(zhuǎn)速越大，越有利于形成彈流潤滑油膜。

4.3 機(jī)構(gòu)潤滑狀態(tài)仿真結(jié)果分析

從圖4和圖9得出的結(jié)果可知，接觸應(yīng)力和膜厚比的整體走向成反向。

分度期初期，機(jī)構(gòu)嚙合過程為單滾子嚙合，期間接觸應(yīng)力較大，膜厚比較小，很難形成彈流潤滑油膜。分度期達(dá)到中期，機(jī)構(gòu)進(jìn)行雙滾子嚙合，接觸應(yīng)力減小，形成的最小油膜厚度增加，成膜率也出現(xiàn)峰值。分度期末期，機(jī)構(gòu)脫離雙滾子嚙合繼續(xù)進(jìn)行單滾子嚙合，接觸應(yīng)力逐漸增大，形成的油膜厚度減小。

因此，在分度期初期以及分度期末期，也就是滾子剛進(jìn)入嚙合和即將離開嚙合的區(qū)域，機(jī)構(gòu)的潤滑狀態(tài)較差，最難形成潤滑油膜，最易出現(xiàn)磨損失效。

5 結(jié)論

(1)針對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)嚙合特點(diǎn)，對(duì)分度期潤滑狀態(tài)進(jìn)行分析，推導(dǎo)出兩共軛曲面嚙合過程受力的求解方法，并進(jìn)行可行性驗(yàn)證。分析表明，在穩(wěn)態(tài)工作情況下，卷吸速度、誘導(dǎo)主曲率以及接觸應(yīng)力是影響潤滑油膜形成的關(guān)鍵因素。

(2)采用數(shù)值分析法對(duì)機(jī)構(gòu)嚙合分度期的最小油膜厚度進(jìn)行求解。結(jié)果表明，在機(jī)構(gòu)低轉(zhuǎn)速的情況下，嚙入段和嚙出段極難形成彈流潤滑油膜，為提高弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的潤滑性能提供理論依據(jù)。