鄭重 李鵬 錢默抒

在航天器編隊(duì)飛行任務(wù)中,航天器系統(tǒng)依照特定的任務(wù)要求,通過信息交互協(xié)作完成共同目標(biāo),形成一個(gè)分布式空間系統(tǒng),從而完成傳統(tǒng)的單一大型航天器難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜空間任務(wù).由于航天器編隊(duì)系統(tǒng)具有魯棒性強(qiáng)、可靠性高、發(fā)射成本低等優(yōu)點(diǎn),成為近年來研究的熱點(diǎn)[1].為了保證航天器編隊(duì)系統(tǒng)能夠完全實(shí)現(xiàn)特定的空間任務(wù),需要利用航天器之間的相對(duì)信息進(jìn)行協(xié)同控制.

姿態(tài)協(xié)同控制是航天器編隊(duì)在軌運(yùn)行的一項(xiàng)重要的關(guān)鍵技術(shù),目前國內(nèi)外學(xué)者已對(duì)其進(jìn)行了較多研究[2?12],取得了一定的研究成果.然而,這些結(jié)果大多是采用四元數(shù)或羅德里格參數(shù)表示姿態(tài),由于四元數(shù)表示姿態(tài)具有非唯一性,可能導(dǎo)致出現(xiàn)姿態(tài)展開現(xiàn)象[13],因此航天器在跟蹤外界姿態(tài)信號(hào)時(shí),航天器相對(duì)姿態(tài)的一致性很難得到保持.對(duì)于采用羅德里格參數(shù)描述的姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法,同樣存在姿態(tài)展開問題[14].解決姿態(tài)展開問題一般有兩種方法,一種是采用四元數(shù)和修正羅德里格參數(shù)(Modified Rodrigues parameters,MRP)的切換系統(tǒng)混雜控制實(shí)現(xiàn)全局姿態(tài)跟蹤[15],但是這種控制算法是非連續(xù)的,很難直接應(yīng)用于飛輪、磁力矩器、控制力矩陀螺等提供連續(xù)的控制信號(hào)的航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)中;第二種是直接基于旋轉(zhuǎn)矩陣描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)并設(shè)計(jì)協(xié)同控制器.因?yàn)樾D(zhuǎn)矩陣在描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)是無奇異的,并且它與航天器姿態(tài)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,所以基于旋轉(zhuǎn)矩陣描述姿態(tài),并設(shè)計(jì)姿態(tài)協(xié)同控制算法能夠有效避免上述姿態(tài)展開現(xiàn)象.文獻(xiàn)[16] 采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型,在只需要相對(duì)姿態(tài)誤差的情況下設(shè)計(jì)了自主姿態(tài)協(xié)同控制方法.文獻(xiàn)[17] 利用系統(tǒng)無源控制方法提出了角速度控制律并證明了姿態(tài)的一致性,但是沒有考慮系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程.文獻(xiàn)[18] 在僅利用了相對(duì)姿態(tài)誤差情況下給出了角速度控制策略,同時(shí)進(jìn)一步分析了發(fā)生通信拓?fù)淝袚Q情況的系統(tǒng)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[19] 給出了基于旋轉(zhuǎn)矩陣的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,在沒有參考信息情況下設(shè)計(jì)了姿態(tài)同步控制算法,并且分析了控制算法對(duì)于常值通信時(shí)滯的魯棒性.文獻(xiàn)[20] 采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述航天器姿態(tài),在有向通信圖下設(shè)計(jì)了姿態(tài)協(xié)同控制算法,并且同時(shí)研究了通信時(shí)滯、外界擾動(dòng)和模型不確定性的影響.

在航天器姿態(tài)控制過程中,往往需要角速度和控制輸入滿足一定的約束.如在XTE (X-ray timing explorer,X 射線定時(shí)探測(cè)器)航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中,角速度陀螺需要滿足幅值受限的要求[21],因此角速度最大值不能超過給定的范圍.同時(shí),飛輪、磁力矩器等執(zhí)行機(jī)構(gòu)只能提供有限的控制力矩,如果控制指令給出的控制力矩太大,則控制系統(tǒng)可能發(fā)生控制輸入受限問題,導(dǎo)致控制性能下降,甚至是整個(gè)編隊(duì)系統(tǒng)的失穩(wěn).針對(duì)此問題,Hu 等[22]采用非線性PD 控制使得航天器跟蹤期望的姿態(tài),滿足角速度有界的要求,同時(shí)考慮了執(zhí)行器不確定性.進(jìn)一步,Hu 等在文獻(xiàn)[23] 中考慮了執(zhí)行器的死區(qū)非線性和姿態(tài)展開,在文獻(xiàn)[24] 中研究了角速度和輸入幅值受限情況下姿態(tài)跟蹤控制問題.Shen 等[25]采用勢(shì)函數(shù)方法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)姿態(tài)跟蹤控制器,保證姿態(tài)角和角速度都能夠在跟定的范圍內(nèi)變化.Yu等[26]采用滑?？刂圃O(shè)計(jì)姿態(tài)跟蹤控制算法,能夠?qū)崿F(xiàn)角速度和控制輸入在給定的界內(nèi).然而,在采用旋轉(zhuǎn)矩陣的姿態(tài)協(xié)同控制中,目前還幾乎沒有學(xué)者同時(shí)考慮角速度和控制輸入受限問題,特別是航天器還受到外界擾動(dòng)和通信時(shí)滯的影響等情況.

本文主要采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述的姿態(tài)跟蹤控制動(dòng)力學(xué)模型,在有向通信結(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)了能夠同時(shí)保證角速度和控制輸入有界的魯棒姿態(tài)協(xié)同控制算法.本文創(chuàng)新點(diǎn)包括:1)對(duì)于采用旋轉(zhuǎn)矩陣的閉環(huán)系統(tǒng)多個(gè)平衡點(diǎn)問題,給出了詳細(xì)的穩(wěn)定性分析,并證明了系統(tǒng)的幾乎全局漸近穩(wěn)定性;2)采用新的勢(shì)函數(shù)方法設(shè)計(jì)具有角速度限制的控制器,并且設(shè)計(jì)了新的濾波器補(bǔ)償控制輸入受限;3)考慮了可能存在信息傳輸時(shí)滯的情況,設(shè)計(jì)了對(duì)通信時(shí)滯具有魯棒性的姿態(tài)協(xié)同控制算法.

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

本文考慮n個(gè)航天器組成航天器編隊(duì)系統(tǒng),采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng).假設(shè)航天器存在輸入飽和約束,則第i個(gè)航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為[20]

式中:Ji∈R3×3表示航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;ωi∈R3為體坐標(biāo)系表示下的角速度;ui,di∈R3分別表示控制力矩和擾動(dòng)力矩,擾動(dòng)的界可表示為‖di‖∞≤d0,d0>0 為未知常數(shù);令ui=sat(τi),sat 為飽和函數(shù),即對(duì)于向量y=[y1y2y3]T,

sgn(·)為符號(hào)函數(shù),τ0>0 為控制輸入的上界.Ri∈SO(3)表示本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣;表示向量ωi=[ω1ω2ω3]T對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱陣,即

上述叉乘運(yùn)算把三維向量映射為反對(duì)稱矩陣,設(shè)其逆運(yùn)算為∨,則可得[20]

其中φ(A)=(A?AT)∨,x∈R3,A∈R3×3,R∈SO(3).

記期望的姿態(tài)為Rd∈SO(3),期望的角速度為ωd∈R3,并且滿足

本文的目的即為,設(shè)計(jì)控制器使得航天器在滿足角速度和控制約束下,實(shí)現(xiàn)協(xié)同一致地跟蹤期望的姿態(tài),即

并且當(dāng)t→∞時(shí),Ri→Rd,ωi→ωd.

1.2 圖論

圖是由若干給定的節(jié)點(diǎn)和連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊集所構(gòu)成的,記為G=(υ,?,C),它由節(jié)點(diǎn)集υ={υ1,υ2,···,υn}、邊集? ?υ×υ和加權(quán)鄰接矩陣C=[cij]∈Rn×n組成[27].如果節(jié)點(diǎn)υi能直接得到節(jié)點(diǎn)υj的信息,則圖中就包含一條從υj指向υi的邊,記為(υi,υj)∈?.加權(quán)鄰接矩陣C中的元素定義為:當(dāng)(υi,υj)∈?時(shí),cij >0;否則,cij=0.無向圖中要求cij=cji,即C是主對(duì)角元素為零的對(duì)稱矩陣;而有向圖中C則不一定是對(duì)稱的.如果對(duì)于i=1,2,···,n,有成立,則稱圖G是平衡的.

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 姿態(tài)協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

定義姿態(tài)跟蹤誤差為

其中tr 表示矩陣的跡,顯然有0≤ei≤4 成立.由式(4)和式(7),ei的導(dǎo)數(shù)可計(jì)算為

利用式(3)～(5),的導(dǎo)數(shù)可進(jìn)一步計(jì)算為

定義總誤差變量為

式中常數(shù)αi >0.在控制器設(shè)計(jì)之前首先給出下面引理1.

引理1.如果si∈L2且,則當(dāng)t→∞時(shí),.

證明.由式(11)可得

其中T >0.由式(13)且si∈L2,可得

因此δωi∈L2和成立.此外,由于si∈L∞,,可得δωi∈L∞,因此由式(12)可得,由可得∈L∞.因此由Barbalat 引理[28]可得,當(dāng)t→∞時(shí),δωi→0 且成立.

定義1.考慮如下非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

其中U為狀態(tài)空間集合,并且系統(tǒng)存在某個(gè)平衡點(diǎn)xe.如果系統(tǒng)是Lyapunov 穩(wěn)定的,并且存在一個(gè)零測(cè)度集U0,對(duì)于與任意的x0∈UU0,成立

則稱平衡點(diǎn)xe是幾乎全局漸近穩(wěn)定的.

為了補(bǔ)償控制輸入飽和的影響,設(shè)計(jì)濾波器ξi為

式中常數(shù)λ1>0,Δτi=sat(τi)?τi表示輸入飽和約束下的有界控制與所設(shè)計(jì)的控制之差.因此由式(8)可得

式中:cij表示加權(quán)鄰接矩陣C中的元素;為擾動(dòng)上界d0的估計(jì)值,且要求;常數(shù)γi >0;矩陣Ψi為

式中si=[si1si2si3]T,為si的上界,并且本文假設(shè)系統(tǒng)初值滿足,k=1,2,3.

定理1.對(duì)于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)和(2),定義集合,在濾波器式(16)、控制器式(18)和自適應(yīng)律式(19)作用下,如果航天器之間的通信拓?fù)鋱D為平衡有向圖,則可得:

1)集合Pi中的任意一點(diǎn)都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn);

2)閉環(huán)系統(tǒng)具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性,即對(duì)于除了一個(gè)測(cè)度為零的集合之外的系統(tǒng)初始狀態(tài),系統(tǒng)軌跡收斂到集合中,當(dāng)t→∞時(shí),Ri→Rd,δωi→0;

3)對(duì)于任意時(shí)刻,航天器角速度和控制輸入滿足約束‖ωi‖∞≤ω0,‖ui‖∞≤τ0.

證明.選取Lyapunov 函數(shù)為

把式(24)代入式(23)可得

因此V有界,并由式(22)可知si,∈L∞,對(duì)式(25)兩邊積分可得

因此si∈L2,由引理1 可得當(dāng)t→∞時(shí),δωi→0,.系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為

下面利用旋轉(zhuǎn)矩陣的四元數(shù)表示證明結(jié)論1).設(shè)qd為Rd對(duì)應(yīng)的期望四元數(shù),qi表示Ri對(duì)應(yīng)的四元數(shù),誤差四元數(shù)定義為,其中表示四元數(shù)qd的共軛,°表示四元數(shù)乘法.對(duì)于四元數(shù),相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為,從而在集合Oi中,有=4qi1qiv=0,因此qi1=0 或者qiv=0.可得Pi==0,qi1=0},此時(shí)qi1的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

由于αi >0,因此平衡點(diǎn)qi1=0 是不穩(wěn)定的,并且si收斂到0,所以集合Pi中的任意點(diǎn)都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).由此證明了結(jié)論1).

由si→0 和αi >0,可得V0→0,因此qiv→0.由此可得集合Qi中任意點(diǎn)都是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

同時(shí),系統(tǒng)軌跡可能沿著變量si的穩(wěn)定中心流形逐漸收斂到集合Pi中.由文獻(xiàn)[29] 的結(jié)果可知,這些系統(tǒng)軌跡集合在整個(gè)狀態(tài)空間的測(cè)度為0,而且不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)集合Pi在狀態(tài)空間R3×SO(3)上的測(cè)度也為0,這就證明了,如果初始狀態(tài)不在這個(gè)零測(cè)度集,則系統(tǒng)軌跡收斂到期望的平衡點(diǎn)中,即當(dāng)t→∞時(shí),Ri→Rd,δωi→0.由此證明了結(jié)論2).

當(dāng)|sik|<時(shí),有界,并且當(dāng)|sik|→時(shí),→∞,由于V有界,可知|sik(t)|<,所以是存在的并且不會(huì)出現(xiàn)奇異,并且

因此

并且

由此證明了結(jié)論3). □

2.2 通信時(shí)滯下的姿態(tài)協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的協(xié)同控制,航天器需要獲取相對(duì)姿態(tài)信息,這些信息可以通過無線傳輸?shù)韧ㄐ欧绞降玫?由于航天器通信距離較遠(yuǎn)和信息傳輸設(shè)備的物理限制,信息傳輸過程中可能產(chǎn)生通信時(shí)滯.本節(jié)進(jìn)一步研究航天器編隊(duì)系統(tǒng)中存在通信時(shí)滯的情況,則航天器只能得到時(shí)滯發(fā)生后的信息sj(t?Tij),此時(shí)控制器為

其中Tij(t)≥0 是時(shí)變的.假設(shè)時(shí)滯量Tij的精確值未知,但是的上界是已知的,并且滿足≤hij <1.則可以得到下面的定理2.

定理2.對(duì)于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)和(2),定義集合,在控制器式(16)、式(34)和式(19)的作用下,如果航天器的通信拓?fù)鋱D為平衡有向圖,且控制器參數(shù)滿足

式中常數(shù)ρ>1.則定理1 中的結(jié)論仍然成立.

證明.選取Lyapunov 函數(shù)為

對(duì)上式求導(dǎo)可得

注意到

把式(38)和式(39)代入式(37)可得

因此si∈L2,由引理1 可得當(dāng)t→∞時(shí),δωi→0,→0.接下來的證明與定理1 的證明過程類似,同樣可以得到定理1 中的3 條結(jié)論,在此不再贅述. □

3 數(shù)值仿真

本節(jié)采用MATLAB 進(jìn)行數(shù)值仿真以驗(yàn)證所提出控制算法的有效性,為了簡(jiǎn)便考慮,只對(duì)具有通信時(shí)滯的控制器(34)進(jìn)行驗(yàn)證.假設(shè)四個(gè)航天器組成編隊(duì)系統(tǒng),航天器受到的擾動(dòng)為

航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣設(shè)為

航天器的初始角速度設(shè)為0,初始姿態(tài)設(shè)為

期望角速度取為

期望旋轉(zhuǎn)矩陣的初始值取為

控制器(34)的加權(quán)鄰接矩陣C選取為

控制器(34)的參數(shù)選取為αi=0.1,ki=15,λ1=0.2,自適應(yīng)律式(16)和式(19)參數(shù)分別選取為ξi(0)=[0.1 0.1 0.1]T,=0.001 N·m,γi=0.00005.時(shí)變的通信時(shí)滯取為

要求的角速度和控制輸入上界分別取為

令常數(shù)ρ=3,則顯然在所選取的控制器參數(shù)下,式(35)能夠得到滿足.

定義航天器的姿態(tài)角誤差σi為

顯然當(dāng)σi=0 時(shí),Ri=Rd,表明實(shí)現(xiàn)了航天器的姿態(tài)同步跟蹤.控制器(34)的仿真結(jié)果如圖1～5所示.圖1 給出了航天器的姿態(tài)誤差角的變化曲線,可以看出姿態(tài)誤差角最終收斂到零,表明航天器姿態(tài)最終收斂到期望的姿態(tài).圖2 給出了航天器角速度誤差的曲線,航天器角速度跟蹤誤差也能收斂到零.圖3 和圖4 給出了航天器角速度和控制力拒的變化曲線,可以看出角速度和控制力矩都能夠滿足事先所給定的有界性約束.圖5 給出了濾波器ξi的曲線,從圖中可以看出ξi最終收斂到0.

圖1 控制器(34)下的姿態(tài)角誤差Fig.1 Attitude angle error with controller (34)

圖2 控制器(34)下的角速度誤差Fig.2 Angular velocity error with controller (34)

圖3 控制器(34)下的角速度Fig.3 Angular velocity with controller (34)

圖4 控制器(34)下的控制力拒Fig.4 Control torque with controller (34)

圖5 控制器(34)下的濾波器ξiFig.5 The filter ξi with controller (34)

為了進(jìn)一步研究本文提出控制方法的性能,把控制器(34)和如下未考慮角速度和輸入約束的控制器作對(duì)比

控制器(42)的仿真結(jié)果如圖6～8 所示.圖6 給出了控制器(42)下的姿態(tài)誤差角的變化曲線,對(duì)比圖1 和圖6 可以看出,兩種控制器下姿態(tài)誤差角都在大約30 s 收斂到零附近.圖7 給出了控制器(42)下的角速度,從圖中可以看出角速度y軸分量已經(jīng)超過角速度上界ω0=0.5 rad/s,說明控制器(42)無法滿足角速度約束.圖8 為控制器(42)下的控制力矩,同樣從圖中可以看出控制力矩y軸分量超過控制輸入上界τ0=5 N·m,控制器(42)也無法滿足控制輸入約束.因此,提出的控制器(34)與常規(guī)控制器(42)具有相當(dāng)?shù)目刂菩阅?并且滿足角速度和輸入約束.

圖6 控制器(42)下的姿態(tài)角誤差Fig.6 Attitude angle error with controller (42)

圖7 控控制器(42)下的角速度Fig.7 Angular velocity with controller (42)

圖8 控制器(42)下的控制力拒Fig.8 Control torque with controller (42)

4 結(jié)論

在通信圖是有向的情況下,設(shè)計(jì)了基于旋轉(zhuǎn)矩陣描述的自適應(yīng)魯棒姿態(tài)協(xié)同控制算法,保證了系統(tǒng)角速度和控制輸入滿足有界性的約束,并分析了系統(tǒng)的Lyapunov 穩(wěn)定性,證明了閉環(huán)系統(tǒng)在期望的平衡點(diǎn)具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性.當(dāng)外界擾動(dòng)存在時(shí),提出了自適應(yīng)算法估計(jì)外界擾動(dòng)的上界,并且設(shè)計(jì)濾波器補(bǔ)償控制輸入飽和的影響,對(duì)于所設(shè)計(jì)的控制算法,通過穩(wěn)定性分析,證明了對(duì)于除了一個(gè)測(cè)度為零的集合之外的系統(tǒng)初始狀態(tài),系統(tǒng)誤差能夠收斂到0;進(jìn)一步把結(jié)果推廣到時(shí)變通信時(shí)滯情況,仍然能夠保證系統(tǒng)具有幾乎全局漸近穩(wěn)定性,以及對(duì)通信時(shí)滯的魯棒性.仿真結(jié)果進(jìn)一步表明系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制算法下具有較好的性能.