高婉瑩， 李克行

1. 北京控制工程研究所, 北京 100094 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100094

0 引 言

20世紀(jì)80年代以來(lái)，隨著高新技術(shù)的發(fā)展以及航天任務(wù)需求的不斷擴(kuò)大，衛(wèi)星研制逐漸向小型化、低成本方向發(fā)展[1],并于20世紀(jì)末出現(xiàn)了微納衛(wèi)星的研究熱潮.利用低成本的微納衛(wèi)星組成大規(guī)模集群協(xié)同工作，可以完成更為復(fù)雜的空間任務(wù)，成為當(dāng)今世界航天大國(guó)重點(diǎn)關(guān)注的戰(zhàn)略發(fā)展方向.

星群與傳統(tǒng)編隊(duì)飛行都是為了完成某項(xiàng)空間飛行任務(wù)的多顆衛(wèi)星集合，但它們之間存在明顯差異.傳統(tǒng)編隊(duì)飛行多采用集中式控制方法使得各顆衛(wèi)星保持嚴(yán)格的空間構(gòu)型，容錯(cuò)性較差、靈活性不強(qiáng)，而且控制器設(shè)計(jì)比較復(fù)雜.星群一般規(guī)模更大，強(qiáng)調(diào)以局部信息交互保持集群整體有界[2-3].由于存在軌道攝動(dòng)等因素影響，大規(guī)模星群如果維持精確的空間構(gòu)型將產(chǎn)生巨大的能量消耗.在某些集群任務(wù)中，星群的幾何構(gòu)型不會(huì)影響最終任務(wù)結(jié)果，各顆衛(wèi)星間只需要保持松散有界即可[4].

星群松散編隊(duì)控制技術(shù)允許星群中各成員間相對(duì)距離在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，其控制要求僅為各顆衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)有界，主要體現(xiàn)“松散”的特征.以人工勢(shì)場(chǎng)法為代表的分布式控制方法可以充分考慮集群內(nèi)部各成員之間的協(xié)同關(guān)系，實(shí)現(xiàn)整個(gè)集群的信息共享與協(xié)同合作，可以增強(qiáng)系統(tǒng)可靠性，達(dá)到更好的控制效果，完成更復(fù)雜的空間任務(wù)[5].

人工勢(shì)場(chǎng)法是KHATIB提出的[6]，該方法早期應(yīng)用于機(jī)器人編隊(duì)中的路徑規(guī)劃和避障問題，其控制原理是根據(jù)被控對(duì)象的周圍環(huán)境構(gòu)建人工勢(shì)場(chǎng)，令被控對(duì)象的期望狀態(tài)位于系統(tǒng)勢(shì)場(chǎng)的全局最小值點(diǎn)，然后設(shè)定控制律，保證被控對(duì)象沿著勢(shì)場(chǎng)的負(fù)梯度方向運(yùn)動(dòng)，直至收斂于期望狀態(tài).目前人工勢(shì)場(chǎng)法已經(jīng)在機(jī)器人[7]和無(wú)人機(jī)[8]領(lǐng)域應(yīng)用取得了良好的效果，也逐漸開始應(yīng)用于航天器在軌交會(huì)任務(wù)、在軌組裝等方面的協(xié)同控制研究[9-15].比如LOPEZ等[11]結(jié)合人工勢(shì)場(chǎng)法實(shí)現(xiàn)存在障礙物并且考慮最終交會(huì)方向的航天器會(huì)合控制；PINCIROLI等[12]基于Lennard-Jones勢(shì)研究控制微納衛(wèi)星群在軌道上建立平面正六邊形晶格構(gòu)型，以便應(yīng)用于大型航天器的在軌組裝；曾志峰等[13]基于Tersoff-Brenner勢(shì)使航天器群自發(fā)實(shí)現(xiàn)圖形編隊(duì)，在地球同步軌道上建立正四面體目標(biāo)構(gòu)型；RENEVEY等[14]將人工勢(shì)場(chǎng)法與相對(duì)軌道元素相結(jié)合，使12顆衛(wèi)星平均分布在同一虛擬中心的兩個(gè)圓型相對(duì)軌道上.但是目前這些研究多偏向于傳統(tǒng)精密編隊(duì)，基本都屬于星群任務(wù)構(gòu)型控制，目前對(duì)大規(guī)模星群的松散編隊(duì)運(yùn)行模式研究較少.

在理想情況下，星群松散編隊(duì)運(yùn)行模式類似于自然界中的蜂群、鳥群等，以不碰撞、低能耗狀態(tài)在軌運(yùn)行.但由于衛(wèi)星運(yùn)行于特殊的太空環(huán)境，受到軌道動(dòng)力學(xué)約束，并且還需要考慮微納星群在執(zhí)行機(jī)構(gòu)和測(cè)量信息方面的約束.對(duì)空間任務(wù)而言，燃料消耗是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的一大制約問題，由于對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行軌道面外控制需要消耗大量的燃料，對(duì)星群進(jìn)行控制不能直接照搬無(wú)人機(jī)、地面機(jī)器人等的控制方法.本文考慮星群軌道動(dòng)力學(xué)約束，將人工勢(shì)場(chǎng)法應(yīng)用于衛(wèi)星控制，并引入了基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的速度反饋控制，可以有效建立并保持星群松散編隊(duì)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)星間避碰、集群空間避障，而且通過仿真算例驗(yàn)證了控制方法的可行性.

1 構(gòu)造人工勢(shì)場(chǎng)

人工勢(shì)場(chǎng)與電磁學(xué)中的電場(chǎng)概念相仿，在人工勢(shì)場(chǎng)法中，通過建立吸引勢(shì)場(chǎng)和排斥勢(shì)場(chǎng)，使目標(biāo)點(diǎn)對(duì)星群中個(gè)體衛(wèi)星產(chǎn)生引力，障礙物對(duì)衛(wèi)星產(chǎn)生斥力，各顆衛(wèi)星間也存在一定排斥作用，衛(wèi)星在勢(shì)場(chǎng)中的受力效果如圖1所示.其中勢(shì)場(chǎng)作用力的大小、方向和衛(wèi)星與目標(biāo)間、衛(wèi)星與障礙物間、衛(wèi)星與星群中其他衛(wèi)星間相對(duì)狀態(tài)有關(guān)，綜合衛(wèi)星在勢(shì)場(chǎng)中所受合力，將其作為系統(tǒng)控制輸入信息，對(duì)衛(wèi)星速度進(jìn)行調(diào)整，即可實(shí)現(xiàn)星群整體控制.

圖1 衛(wèi)星在勢(shì)場(chǎng)中受力示意圖Fig.1 The forces on the satellites in the potential field

1.1 目標(biāo)吸引勢(shì)場(chǎng)

吸引勢(shì)場(chǎng)的作用是將衛(wèi)星聚集在目標(biāo)點(diǎn)位置，一般將目標(biāo)位置設(shè)置為勢(shì)場(chǎng)最低點(diǎn)，同時(shí)引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)隨著衛(wèi)星與目標(biāo)間距離的增大而增強(qiáng).常見的拋物型吸引勢(shì)場(chǎng)函數(shù)可表示為

(1)

位于勢(shì)場(chǎng)中的衛(wèi)星i所受目標(biāo)吸引力Fit為

(2)

式中,kt是取正的控制參數(shù)，xit是衛(wèi)星與目標(biāo)之間的相對(duì)位置矢量.

式(2)中吸引力與相對(duì)距離成正比，當(dāng)衛(wèi)星離目標(biāo)點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，計(jì)算得到的作用力將很大，考慮到微納衛(wèi)星存在推力限制，引入反正切函數(shù)對(duì)吸引勢(shì)場(chǎng)進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的吸引勢(shì)場(chǎng)函數(shù)可表示為

(3)

(4)

式(4)中吸引力為有界值，當(dāng)衛(wèi)星離目標(biāo)點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，所受吸引力趨近閾值kt，從而保證衛(wèi)星所受作用力在合理范圍內(nèi).取參數(shù)kt=1，繪制目標(biāo)吸引作用力曲線如圖2(a).

1.2 星間避碰排斥勢(shì)場(chǎng)

星間避碰排斥勢(shì)場(chǎng)是基于星群內(nèi)部各成員衛(wèi)星間相對(duì)位置信息建立的，當(dāng)星間距離小于安全值時(shí)衛(wèi)星受到排斥作用，避免星間碰撞.通過引入一個(gè)光滑階躍函數(shù)，對(duì)避碰勢(shì)場(chǎng)的作用邊界進(jìn)行限制，當(dāng)星間距離超出安全范圍時(shí)，星間無(wú)作用力.這樣設(shè)計(jì)一方面可以避免非臨近航天器個(gè)體之間互相干擾，同時(shí)也符合實(shí)際應(yīng)用中星群局部通信的特征.

構(gòu)造避碰勢(shì)場(chǎng)作用力Fij的具體形式如下：

(5)

(6)

s(z)=0.5+0.562 5cosπz-0.062 5cos3πz

(7)

式中，r0是光滑階躍函數(shù)的右邊界，當(dāng)星間距離大于r0時(shí)，衛(wèi)星超出避碰勢(shì)場(chǎng)的作用范圍，某種意義上來(lái)說，r0即代表星間安全距離的上限.取參數(shù)kj=1，r0=50 m，繪制星間避碰排斥作用力曲線如圖2(b).

1.3 空間避障排斥勢(shì)場(chǎng)

空間避障排斥勢(shì)場(chǎng)通過在障礙物所處位置設(shè)置較大的勢(shì)場(chǎng)值，驅(qū)使星群及時(shí)躲避軌道上的其他航天器或空間碎片.基于高斯勢(shì)場(chǎng)建立球型避障勢(shì)場(chǎng)

(8)

則障礙物附近的衛(wèi)星i所受避障作用力Fio為

(9)

圖2 勢(shì)場(chǎng)作用力曲線圖Fig.2 Diagrams of potential field forces

2 星群系統(tǒng)模型

考慮由n顆衛(wèi)星組成的星群系統(tǒng)，采用二階群系統(tǒng)模型[16]，星群中第i顆衛(wèi)星的二階運(yùn)動(dòng)方程可用如下形式表示：

(10)

式中，xi,vi分別為衛(wèi)星i在慣性系下的位置、速度矢量，F(xiàn)i為衛(wèi)星i當(dāng)前時(shí)刻所受合力，其中Fiap為系統(tǒng)整體勢(shì)場(chǎng)作用力，F(xiàn)ip為空間環(huán)境擾動(dòng)力.

由于星群是以相對(duì)緊湊的集群形式運(yùn)行，集群內(nèi)航天器間相對(duì)運(yùn)動(dòng)可由C-W方程描述.C-W方程是CLOHESSY等[17]提出的一個(gè)用來(lái)描述兩顆衛(wèi)星近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線性化方程，其在航天器軌道坐標(biāo)系中表示為

(11)

式中，ω為參考衛(wèi)星的平均軌道角速度，ux,uy,uz為合外力產(chǎn)生的控制加速度.

航天器軌道坐標(biāo)系如圖3所示，其原點(diǎn)位于航天器質(zhì)心，z軸由衛(wèi)星質(zhì)心指向地心，y軸指向軌道平面的負(fù)法向，x軸沿衛(wèi)星前進(jìn)方向，與其他兩軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系.

圖3 航天器軌道坐標(biāo)系與地心慣性坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.3 The relationship between the orbit coordinate system and the geocentric inertial coordinate system

3 星群松散編隊(duì)控制

星群松散編隊(duì)場(chǎng)景如圖4所示，多顆衛(wèi)星由大型航天器攜帶入軌釋放后，可能會(huì)存在較大的初始相對(duì)狀態(tài).為了完成空間任務(wù)，需要進(jìn)行星群松散編隊(duì)控制，將多顆衛(wèi)星聚集在一定空域內(nèi)，同時(shí)避免星間碰撞；當(dāng)遇到空間障礙物時(shí)，集群能夠及時(shí)躲避.

圖4 星群松散編隊(duì)場(chǎng)景示意圖Fig.4 Loose formation of satellite clusters

基于第1節(jié)中建立的目標(biāo)吸引勢(shì)場(chǎng)、星間避碰排斥勢(shì)場(chǎng)以及空間避障排斥勢(shì)場(chǎng)，可以有效實(shí)現(xiàn)星群松散編隊(duì)控制.衛(wèi)星i所受系統(tǒng)整體勢(shì)場(chǎng)作用力Fiap為

Fiap=Fit+Fij+Fio

(12)

人工勢(shì)場(chǎng)法控制簡(jiǎn)單、計(jì)算方便，但具體應(yīng)用時(shí)，衛(wèi)星可能在編隊(duì)形成前陷入局部最小值點(diǎn)，在該點(diǎn)衛(wèi)星所受分力相互抵消，從而停滯不前，致使星群編隊(duì)失敗.為了避免人工勢(shì)場(chǎng)法的局部最小值問題，同時(shí)在一定程度上減小控制超調(diào)，本文在控制律中引入速度反饋?lái)?xiàng)，此時(shí)衛(wèi)星i所受合力Fi為

(13)

考慮到對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行軌道面外控制需要消耗大量燃料，且兩航天器間相對(duì)運(yùn)動(dòng)在軌道平面內(nèi)、外是解耦的，因此本文結(jié)合C-W方程構(gòu)建軌道面內(nèi)速度反饋?lái)?xiàng).分析C-W方程解析解[18]可知，在軌道面內(nèi)，為避免相對(duì)運(yùn)動(dòng)發(fā)散，需要控制跡向(軌道坐標(biāo)系x軸)相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的長(zhǎng)期項(xiàng)等于零，即滿足

(14)

在上述條件下，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在軌道平面內(nèi)為一封閉橢圓，若再滿足式(15)，則該橢圓的中心位于參考衛(wèi)星質(zhì)心.

(15)

由于軌道面外的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)散，不影響星群整體有界，只要保持軌道平面內(nèi)航天器間相對(duì)距離可控，那么在空間范圍內(nèi)星群一定有界.因此可選取軌道面內(nèi)的期望相對(duì)速度為

(16)

(17)

式中,xit=[xitxxityxitz]是衛(wèi)星i與目標(biāo)間相對(duì)位置矢量.

4 仿真分析

4.1 松散編隊(duì)控制仿真

設(shè)定星群由50顆100 kg級(jí)小衛(wèi)星組成，初始時(shí)刻各顆衛(wèi)星隨機(jī)分布在距離目標(biāo)空域4 km范圍內(nèi)，通過松散編隊(duì)控制使星群聚集在半徑100 m的球域內(nèi)，且星群中心位于600 km高度近圓軌道上，軌道傾角98°.設(shè)衛(wèi)星尺寸為1 m×1 m×1 m，星間避碰勢(shì)場(chǎng)作用范圍是50 m.設(shè)置仿真控制參數(shù)如下：

kt=1，kj=1，kv=300，r0=50 m.

選取星群中心軌道坐標(biāo)系為相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，圖5為在相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下，星群松散編隊(duì)建立階段和松散編隊(duì)維持階段的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線.在本文設(shè)計(jì)的控制律作用下，各顆衛(wèi)星自初始相對(duì)位置匯聚至半徑為100 m的目標(biāo)球域內(nèi)，5 000 s左右完成松散編隊(duì)建立，隨后保持松散編隊(duì)狀態(tài).

圖5 相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下星群的運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.5 The trajectories of the satellite cluster in the relative coordinate system

由圖6可知，在松散編隊(duì)狀態(tài)下，星群中各顆衛(wèi)星到集群中心的距離一直保持在100 m范圍內(nèi).同時(shí)在星間避碰勢(shì)場(chǎng)作用下未發(fā)生星間碰撞，符合集群松散有界要求.

圖6 各顆衛(wèi)星和虛擬集群中心之間的距離Fig.6 The distances between each satellite and the virtual center of the cluster

由圖7可知，在前1 000 s星群初始建立松散編隊(duì)階段，由于初始相對(duì)狀態(tài)差距較大，各星消耗速度增量較多，但各星所需速度增量約束在10-2m/s以內(nèi)；在后續(xù)松散編隊(duì)保持階段，各星所需速度增量為10-4m/s量級(jí).同時(shí)為了盡可能減少燃料消耗，在仿真過程中計(jì)算各星軌道平面外相對(duì)運(yùn)動(dòng)的諧振振幅，當(dāng)軌道平面外諧振振幅小于80 m時(shí)，不對(duì)法向施加控制作用，因此在松散編隊(duì)維持階段，法向速度增量基本為0.

圖7 松散編隊(duì)控制過程中各星的三軸速度增量Fig.7 The three-axis velocity increments of each satellite during loose formation control

4.2 集群避障仿真

由50顆100 kg級(jí)小衛(wèi)星組成的星群運(yùn)行于半徑100 m的球型空域，集群中心位于600 km高度的近圓軌道上，軌道傾角98°.初始時(shí)刻，星群接收到指令，追蹤同軌道上的另一航天器，同時(shí)在目標(biāo)航天器跡向-300 m處設(shè)置一個(gè)半徑50 m的球型障礙物.對(duì)50顆衛(wèi)星進(jìn)行集群避障仿真，設(shè)衛(wèi)星的尺寸為1 m×1 m×1 m，星間避障勢(shì)場(chǎng)作用范圍是15 m.選取仿真控制參數(shù)如下：

kt=10，kj=1，kv=2 000，ko=0.5，r0=50 m，σ=50 m.

由圖8可知，在本文所設(shè)計(jì)的控制律作用下，集群中各顆衛(wèi)星可以自發(fā)地避開障礙物，到達(dá)安全區(qū)域后恢復(fù)松散編隊(duì)狀態(tài)，繼續(xù)向目標(biāo)航天器趨近.

圖8 星群避障軌跡圖Fig.8 The obstacle avoidance trajectories of the satellite cluster

仿真中預(yù)設(shè)的障礙物半徑為50 m，由圖9可知各顆衛(wèi)星與障礙物邊緣之間的距離都大于0，表明集群沒有碰觸到障礙物，成功實(shí)現(xiàn)避障.

圖9 各顆衛(wèi)星和障礙物邊緣之間的距離Fig.9 The distances between each satellite and the edge of the obstacle

圖10 集群避障控制過程中各星的三軸速度增量Fig.10 The three-axis velocity increments of each satellite during obstacle avoidance control

圖11 集群避障控制過程中各星與障礙物間相對(duì)速度Fig.11 The three-axis relative velocities between satellites and obstacle during obstacle avoidance control

在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，空間環(huán)境較為復(fù)雜，當(dāng)星群附近存在動(dòng)態(tài)障礙物時(shí)，基于相對(duì)位置信息建立的靜態(tài)避障勢(shì)場(chǎng)作用效果不明顯，尤其是當(dāng)障礙物相對(duì)衛(wèi)星的速度過大時(shí)，或障礙物迎面而來(lái)、側(cè)面攔擊時(shí)，衛(wèi)星容易躲避不及.為了提高動(dòng)態(tài)避障效率，可以將衛(wèi)星與障礙物間相對(duì)速度或加速度信息引入避障勢(shì)場(chǎng)中，將靜態(tài)勢(shì)場(chǎng)改造為動(dòng)態(tài)勢(shì)場(chǎng)，增強(qiáng)衛(wèi)星的預(yù)警能力.同時(shí)考慮利用相對(duì)速度和相對(duì)位置的夾角信息，以此判斷障礙物是即將遠(yuǎn)離或是趨近衛(wèi)星，當(dāng)動(dòng)態(tài)障礙物朝著遠(yuǎn)離衛(wèi)星的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)需考慮此障礙物影響，從而避免不必要的燃料消耗.

5 結(jié) 論

對(duì)于大規(guī)模微納星群，本文結(jié)合人工勢(shì)場(chǎng)法構(gòu)建集群系統(tǒng)模型，較好地反映了集群內(nèi)部各顆衛(wèi)星間相互關(guān)系，以及外部環(huán)境對(duì)集群整體的影響作用.通過在衛(wèi)星個(gè)體控制中引入勢(shì)場(chǎng)函數(shù)，可以有效控制集群整體達(dá)到期望運(yùn)動(dòng)狀態(tài).同時(shí)為了減小系統(tǒng)超調(diào)，以及避免局部最小值問題，本文結(jié)合衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)引入了基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的速度反饋控制，可以有效建立并保持星群松散編隊(duì)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)星間避碰和集群空間避障.文中仿真算例說明了該方法的有效性.