葉立軍, 王靜吉, 寶音賀西, 尹海寧, 劉付成

1. 清華大學 航天航空學院, 北京 100084 2. 上海航天控制技術(shù)研究所, 上海 201109 3. 上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室, 上海 201109 4. 上海市航天技術(shù)研究院, 上海 201109

0 引 言

太陽同步凍結(jié)軌道星座是一種由太陽同步凍結(jié)軌道衛(wèi)星組成的星座，不僅可以實現(xiàn)對地球上任一地區(qū)不同太陽光照條件下的觀測，而且其在同一緯度上其軌道高度保持不變，有利于載荷標定以及可實現(xiàn)同一目標長期穩(wěn)定觀測.

太陽同步凍結(jié)軌道星座的保持主要包括對半長軸、偏心率和軌道傾角的保持.太陽同步軌道為低軌，受大氣阻力影響，軌道高度會逐漸降低，偏心率會逐漸減小，不同衛(wèi)星由于大氣阻力和迎風面差異，會引起星座成員之間相位出現(xiàn)相對漂移，影響星座覆蓋特性和衛(wèi)星進出站時序規(guī)劃，甚至可能出現(xiàn)星座成員相撞的風險.因此必須對每個星座成員的相對相位進行保持控制，也稱星座站位保持.然而，凍結(jié)軌道對偏心率矢量有要求，所以還需要主動調(diào)整和保持各成員衛(wèi)星的偏心率矢量.太陽同步軌道衛(wèi)星軌道面與太陽關(guān)系相對固定，衛(wèi)星軌道傾角受太陽光壓和太陽引力常值影響，會發(fā)生漂移，進而引起升交點赤經(jīng)漂移速度的改變，最終體現(xiàn)為地方時的漂移.特別是對于有凍結(jié)特性或回歸特性的太陽同步軌道，更需要軌道傾角保持.

目前針對軌道保持的研究比較多，崔海英等[1-2]給出了低軌衛(wèi)星軌道軌跡保持方法，以及基于任務的詳細參數(shù)設(shè)計，但是均沒有考慮軌道保持中偏心率抑制問題.杜耀柯等[3]將星下點軌跡保持控制問題轉(zhuǎn)化為平均軌道根數(shù)相對軌道控制問題，其中目標衛(wèi)星是虛擬的，優(yōu)點是每個參數(shù)控制精度高，缺點是控制算法復雜，軌控推力為空間指向，燃料消耗大，軌控次數(shù)頻繁.謝挺等[4]分別通過單脈沖和雙脈沖方法，介紹了超低軌道高度保持和偏心率主動圓化控制，屬于單星軌道絕對保持，不適用于凍結(jié)軌道此類特殊軌道保持.姜宇等[6-8]采用切向和法向控制，分別實現(xiàn)了對虛擬星的面內(nèi)面外精確編隊保持，但采用的切向脈沖為三脈沖，脈沖中有減速分量，控制頻次高，非最低燃耗策略.

本文提出一種太陽同步凍結(jié)軌道星座最小燃耗保持方法及仿真，僅采用沿切向單脈沖抵消大氣阻力，同時選擇在相對遠地點點火，同時實現(xiàn)對目標軌道高度、軌道相位及偏心率矢量的捕獲及保持，即實現(xiàn)對目標凍結(jié)軌道的面內(nèi)保持，控制頻次低，且切向單脈沖全部用于抵消大氣衰減的加速分量，為最低燃耗.

1 軌道攝動模型

1.1 大氣衰減

對于低軌衛(wèi)星，大氣阻力造成軌道機械能的長期衰減[6]，大氣阻力產(chǎn)生與衛(wèi)星速度相反的阻力，對應的阻力為

(1)

式中:T為切向阻力大小，單位N；CD為阻力系數(shù)，對一般衛(wèi)星其取值范圍為2.0～2.3；S為衛(wèi)星有效迎風面積，單位m2;ρ為衛(wèi)星飛行高度處的大氣密度，單位kg/m3.

大氣阻力將造成軌道面內(nèi)參數(shù)半長軸a(單位m)，偏心率e，近地點幅角ω隨時間的變化[9]，其表達式為

(2)

式中，θ為衛(wèi)星真近點角，單位rad；E為衛(wèi)星偏近點角，單位rad；r為地心距，單位m；p=a(1-e2)為軌道半通徑，單位m；n為衛(wèi)星軌道運動平均角速度，單位rad/s.

1.2 太陽引力

對于太陽同步軌道，地球非球形引力引起的軌道面進動[10-11]平均角速度與太陽繞地球的視運動平均角速度相等，太陽始終在軌道面的一側(cè)，同時衛(wèi)星繞地球沿軌道運動，會產(chǎn)生力矩，導致軌道傾角產(chǎn)生長期變化項，該現(xiàn)象稱為太陽引力諧振，軌道傾角i產(chǎn)生單方向漂移[11]，其表達式為

(3)

式中，ns為地球繞太陽運動平均角速度，單位rad/s；β為太陽高度角，單位rad.

1.3 軌道面進動

低軌衛(wèi)星軌道升交點赤經(jīng)Ω進動速率近似表達式為[10]：

(4)

式中，J2為地球形狀因子，是最大的地球帶諧項系數(shù)；μ為地球引力常數(shù)；Re為地球平均半徑.

根據(jù)式(4)，軌道半長軸a的變化和軌道傾角i的變化均會引起升交點赤經(jīng)速率的變化，并最終導致太陽同步軌道降交點地方時的變化，將Ω′分別對軌道半長軸a和軌道傾角i求導：

(5)

式(5)分別給出了軌道半長軸a和軌道傾角i變化對升交點赤經(jīng)漂移率的影響，用于計算太陽同步軌道地方時漂移速率.

2 軌道保持策略

星座保持一般分相對保持和絕對保持，相對保持需要綜合考慮其他星座成員衛(wèi)星軌道信息[12-13]，策略復雜；絕對保持策略簡單，軌道保持策略不受星座成員數(shù)量的影響，工程適用性好.本文研究采用星座絕對保持策略，即給每顆星座成員衛(wèi)星分配一個虛擬目標星(簡稱“虛擬星”)，每顆星座成員實現(xiàn)了對應的虛擬星跟蹤，就實現(xiàn)了星座的絕對保持.

星座同一軌道面內(nèi)相對軌道相位漂移較快，因此具有控制頻次高，單次控制量小的特點，而軌道傾角相對漂移較慢，因此軌道面外保持具有單次控制量大，由于一般控制頻次低的特點，面內(nèi)面外控制不同步，可將星座保持分為面內(nèi)保持和面外保持解耦控制.

3 面內(nèi)保持

軌道保持可視為本星相對于虛擬星的軌道繞飛保持控制問題，軌道保持目標是與虛擬星距離趨于0，認為兩星足夠接近，忽略高階小量.定義4個面內(nèi)新軌道要素描述相對運動[14-16]：

(6)

式中，n1為伴隨星平均角速度，單位rad/s；n0為虛擬星平均角速度，單位rad/s；δn為兩星平均角速度之差，稱為相對漂移率，單位rad/s；δe‖,δe⊥為兩星指向近地點的偏心率矢量之差在參考星節(jié)點坐標系中的投影；δu為兩星相對軌道幅角偏差，單位rad.

以虛擬星為原點，虛擬星軌道坐標系為參考坐標系，根據(jù)文獻[14]，或?qū)ξ墨I[15-16]進行高階小量近似，可得伴隨衛(wèi)星面內(nèi)相對運動方程：

(7)

式中:τ為從初始時刻算起的時間，單位s；u0為虛擬星軌道幅角，單位rad，δe=[δe‖δe⊥]T為相對偏心率矢量.

對伴隨星施加脈沖作用下，可認為衛(wèi)星位置沒有變化，據(jù)此有軌道面內(nèi)相對軌道機動方程[14]

(8)

式中：Δvx為軌道系x方向速度增量(切向速度增量)，Δvz為軌道系z方向速度增量(徑向速度增量).

可以看出，切向速度增量Δvx可以同時對衛(wèi)星相對漂移δu，相對漂移速率δn，相對偏心率矢量δe進行主動調(diào)整；從另外一個角度，切向脈沖可以僅用于克服衛(wèi)星大氣阻力，若能避免使用徑向(z)推力，即可實現(xiàn)最小燃耗下的面內(nèi)軌道保持控制.

令Δvz=0，則式(8)可簡化為

(9)

3.1 面內(nèi)保持時機

傳統(tǒng)的一個軌道周期內(nèi)切向三脈沖面內(nèi)軌道保持算法，可以在一個軌道周期內(nèi)實現(xiàn)對虛擬星面內(nèi)軌道參數(shù)的捕獲[8]，對虛擬星軌道捕獲快，但部分速度增量會降低軌道高度，燃料消耗非最優(yōu).

本文提出的基于切向單脈沖的面內(nèi)軌道保持算法，在不約束軌道捕獲時間的前提下，采用時間換燃料的思想，選擇在面內(nèi)相對運動遠地點附近執(zhí)行一次切向軌道控制，軌道控制產(chǎn)生的速度增量僅用于抵消大氣衰減，利用主動軌控和被動大氣衰減效果，同時實現(xiàn)面內(nèi)所有軌道參數(shù)的捕獲及保持.

(10)

根據(jù)式(10)，且Δvx>0，可得最優(yōu)軌控點U0

U0=π+atan2(δe⊥,δe‖)

(11)

當軌道控制點為U0時，兩星相對偏心率矢量的模減小速度最快，及兩星相對運動橢圓尺寸減小最快.從軌道物理意義上描述：δe=[δe‖δe⊥]T是相對偏心率矢量，atan2(δe⊥,δe‖)代表基于相對偏心率矢量計算出的相對近地點角(相對近地點與升交點之間的角度)，U0即為相對遠地點.

反之，若Δvx<0(這里僅用于案例討論，該假設(shè)與本文軌道保持策略不符)，則在相對近地點執(zhí)行軌控，同樣可使軌控后兩星相對偏心率矢量的模盡量小.

3.2 面內(nèi)保持穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(9)，可以看出偏心率矢量增量方向滯后速度增量方向90°[17]，針對3.1節(jié)面內(nèi)保持時機為相對軌道的遠地點，即偏心率矢量增量方向與當前相對偏心率矢量方向相反，意味著相對偏心率矢量的模減小最快.

在虛擬星軌道面內(nèi)，建立偏心率矢量坐標系如圖1所示.

圖1中，δe0為初始相對偏心率矢量，δef為軌控后相對偏心率矢量，Δδe為實際軌控引起的相對偏心率矢量變化量，Δv為實際軌控產(chǎn)生的跡向速度增量，Δδe0為理想軌控引起的相對偏心率矢量變化量，Δv0為理想軌控產(chǎn)生的跡向速度增量.

圖1可以看出，Δδe與Δδe0夾角(即Δv與Δv0夾角)越小，軌控后|δef|最小，即在軌控量一定時，在相對遠地點進行軌道升高控制，軌控后相對偏心率矢量的模最小.

圖1還可以看出，如果一直在最佳軌控點軌控，當|Δδe|<|δe0|，則最佳軌控點一直保持不變，直到|Δδe|≥|δe0|，在最佳軌控點的軌控會使δe0反向，即最佳軌控點會變化180°，并持續(xù)如此循環(huán)往復.

當|Δδe|≤2|δe0|，只要Δδe和Δδe0夾角小于θ，就有|δef|≤|δe0|，即軌控后相對偏心率矢量的模比軌控前相對偏心率矢量的模小.根據(jù)圖1幾何關(guān)系有

(12)

根據(jù)式(12)，當|Δδe|?|δe0|時，θ趨近于90°，即當軌道保持引起的相對偏心率矢量變化量的模遠小于當前相對偏心率矢量的模時，在相對遠地點附近90°范圍內(nèi)沿跡向軌道保持，軌控后相對偏心率矢量的模就會趨于減小.

假設(shè)大氣阻力不變，每次軌控引起的|Δδe|可視為常值，而|δe0|不斷變小.一旦|Δδe|>2|δe0|，|δe0|不再減小，相對偏心率矢量達到穩(wěn)定狀態(tài).因此，跟蹤星軌道偏心率穩(wěn)態(tài)誤差即單次軌道保持產(chǎn)生相對偏心率矢量變化量的模.

3.3 面內(nèi)保持控制量

實現(xiàn)跟蹤星軌道保持，不僅需要調(diào)整兩星相對偏心率，還需要調(diào)整兩星相對軌道幅角.

圖2 軌控前后兩星相對軌道幅角變化率Fig.2 Relative angular velocity of two satellites’ orbital arguments before and after orbit control

圖3 軌控前后兩星相對軌道幅角Fig.3 Relative orbital argument of two satellites before and after orbit control

根據(jù)上述規(guī)劃，有如下約束：

(13)

可以計算得，跟蹤星相對軌道幅角漂移率控制量為

(14)

衛(wèi)星半長軸衰減率與兩星軌道幅角相對漂移率的關(guān)系[18-19]：

(15)

式中，a0為虛擬星軌道半長軸，單位m.

結(jié)合式(14)和(15)，有

(16)

根據(jù)脈沖變軌假設(shè)，1s內(nèi)實現(xiàn)速度增量，結(jié)合式(15)和式(16)，變軌前后軌道半長軸增加量為

(17)

根據(jù)低軌圓軌小量調(diào)整時軌道高度變化量Δa與速度增量Δvx之間關(guān)系[17-19].

(18)

結(jié)合式(17)和式(18)，可得切向速度增量為

(19)

考慮到工程約束，僅有沿著飛行方向的速度增量，要求式(19)中Δvx≥0，因此

Δvx=

(20)

軌道幅角保也是軌道周期保持，根據(jù)開普勒第三定律，軌道周期保持也是軌道半長軸的保持，即軌道平均高度保持.

4 面外保持

面內(nèi)保持可實現(xiàn)軌道高度保持，因此在太陽同步軌道地方時保持時，可僅考慮軌道傾角保持.

由于衛(wèi)星軌道傾角漂移速率較慢，為10-13rad/s量級[11]，為簡化控制策略，可采用傳統(tǒng)閾值觸發(fā)的方式來實現(xiàn)衛(wèi)星傾角調(diào)整：即當?shù)胤綍r漂移超過閾值T，則擇機在附近的升/降交點執(zhí)行軌道傾角調(diào)整，傾角調(diào)整量為

Δi=2(i0-i)

(21)

式中，i0為虛擬星軌道傾角，單位rad；i為跟蹤星當前軌道傾角，單位rad.

軌道系y軸方向速度增量為(以在降交點控制為例)

Δvy=2(i0-i)n0a0

(22)

實際上，由于傾角漂移慢，軌控頻次低，若要提高地方時保持精度，適當提高傾角調(diào)整頻率即可.

5 仿真與分析

采用絕對保持策略，每顆衛(wèi)星正常執(zhí)行軌道保持，即實現(xiàn)星座保持，以其中某顆衛(wèi)星軌道保持為例仿真說明，仿真條件如下：仿真起始時間(北京時間)：2020-06-08 12時，仿真時長為4年.大氣阻力引起軌道平均衰減為每年降低10 km；要求降交點地方時保持精度為0.4 min(對應星下點赤經(jīng)漂移12.6 km，軌道面外控制閾值T取12 km)，星座成員與對應虛擬星之間相位保持精度為0.002°(對應飛行方向誤差0.252 km，軌道面內(nèi)控制閾值S取0.1 km).

表1 虛擬星和跟蹤星初始軌道參數(shù)Tab.1 Initial orbit parameters of the virtual satellite and tracking satellite

圖4和圖5可以看出，實現(xiàn)了針對虛擬星的逼近及穩(wěn)定伴飛，即實現(xiàn)了對指定站位的捕獲及保持，兩星相對距離保持精度約0.2 km，優(yōu)于指標要求0.252 km.

圖4 虛擬星軌道坐標系下X和Z位置Fig.4 X & Z position in orbital coordinate system of the virtual satellite

圖5 虛擬星軌道坐標系下X和Z位置放大圖Fig.5 Enlarged drawing of X & Z position in orbital coordinate system of the virtual satellite

圖6可以看出，實現(xiàn)了升交點赤經(jīng)保持，升交點赤經(jīng)相對漂移誤差小于指標要求的12.6 km.

圖6 升交點赤經(jīng)相對漂移Fig.6 Relative drift of the RAAN

圖7可以看出，初始時刻跟蹤星軌道高度比虛擬星低1 km，跟蹤星軌道幅角比虛擬星小2°，系統(tǒng)判定無需軌道保持，待兩星軌道幅角差大于控制閾值，執(zhí)行一次脈沖軌道保持，即實現(xiàn)對虛擬星軌道幅角的捕獲.

圖7 虛擬星軌道坐標系下X-Z位置相平面圖Fig.7 Phase plane of X-Z position in orbital coordinate system of the virtual satellite

圖8，圖9，圖10可以看出，實現(xiàn)了虛擬星軌道偏心率矢量的捕獲及保持，即實現(xiàn)了凍結(jié)軌道保持，軌道偏心率保持精度約5×10-6.

圖8 跟蹤星軌道偏心率Fig.8 Orbital eccentricity of the tracking satellite

圖9 跟蹤星軌道偏心率放大圖Fig.9 Enlarged drawing of the tracking satellite orbital eccentricity

圖10 相對偏心率矢量相平面圖Fig.10 Phase plane of relative eccentricity vector

圖11可以看出，實現(xiàn)了虛擬星軌道半長軸捕獲及保持.圖12可以看出，實現(xiàn)了太陽高度角(星下點地方時)的保持.

圖11 跟蹤星軌道半長軸Fig.11 Orbital semi-major axis of the tracking satellite

圖12 跟蹤星太陽高度角Fig.12 Beta angle of the tracking satellite

圖13給出了軌道保持所需速度增量的變化過程.

圖13 跟蹤星燃料消耗歷程Fig.13 Fule consumption history of the tracking satellite

本仿真中，跟蹤星軌道動力學模型考慮了大氣衰減，J2攝動，太陽引力攝動，采用的解析法軌道遞推，基于脈沖變軌假設(shè)模型，因此本文計算燃料消耗可供定性參考；本仿真所有軌道參數(shù)描述均為平根；本仿真未考慮軌道確定誤差.

6 結(jié) 論

1)軌控時機選在軌道遠地點執(zhí)行軌控，可實現(xiàn)對目標軌道偏心率矢量的捕獲和保持.相對運動橢圓大小，與大氣衰減速度有關(guān)，衰減速度越快，則執(zhí)行切向控制的速度增量相應越大，偏心率矢量改變量越大，相對運動橢圓收斂越快(即與目標軌道重合度越好).

2)保持精度主要與定軌精度、最小速度脈寬和軌道演變速度有關(guān).定軌精度越高，最小速度脈寬越小，軌道演變速度越慢，則軌道保持精度越高.

3)采用切向單脈沖的軌道保持策略，所有速度增量均沿衛(wèi)星飛行方向，完全用于抵消大氣阻力引起的軌道高度衰減，因此屬于最小燃耗軌道保持.

4)通過控制本星與虛擬星的軌道偏差，可使星座成員均保持在各自軌位附近，最終實現(xiàn)整個星座的保持.如果把虛擬星從星座替換為低軌衛(wèi)星編隊或集群，且虛擬星半長軸不衰減或衰減速度慢于所有編隊成員真實衰減速度，本文面內(nèi)軌道保持技術(shù)也適用.