面向未知目標的柔性關(guān)節(jié)空間機器人滑?？刂?/h1>
2021-07-28 07:40張文輝陳浩文葉曉平
空間控制技術(shù)與應(yīng)用 2021年3期
張文輝， 陳浩文， 聞 志， 葉曉平
1. 南京曉莊學院電子工程學院, 江蘇 南京 211100 2. 南京工程學院, 江蘇 南京 211100 3. 浙江理工大學機械與自動控制學院， 浙江 杭州 310000 4. 浙江省航空航天金屬導(dǎo)管塑性成形技術(shù)與裝備重點實驗室， 浙江 麗水 323000 5. 麗水學院工學院，浙江 麗水 323000
0 引 言
近半個世紀以來，機器人技術(shù)在空間探索中的應(yīng)用越來越廣泛[1-2].從前蘇聯(lián)“禮炮號”空間站到歐盟“國際空間站”，再到我國“天空一號”空間實驗室，空間機器人已經(jīng)被越來越廣泛應(yīng)用于空間站的建設(shè)與維護.其中最著名的為歐盟“國際空間站”加拿大Canadarm-2空間機械臂，該機械臂主要對航天器艙內(nèi)和艙外不同目標進行拾取、搬運、定位和釋放.同時，協(xié)助航天員完成在軌建設(shè)或維修.2010年，Canadarm-2空間機械臂成功捕獲SpaceX龍飛船，實現(xiàn)了極低成本的空間載人往返.2019年5月加拿大航天局(CSA)宣布，將建設(shè)Canadarm-3空間機械臂項目，該機械臂采用碳纖維復(fù)合材料，具有輕質(zhì)，高速的特點，相比較1代、2代機械臂，其關(guān)節(jié)柔性無疑更高.
關(guān)節(jié)柔性能夠在空間機器人在抓捕目標載荷時，能吸收碰撞能量，避免損壞執(zhí)行機構(gòu).但其柔性特性會造成機械臂末端產(chǎn)生殘余振動和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制精度[3-5].因此，柔性機器人控制及振動抑制問題正逐漸成為國內(nèi)外學者研究的熱點[6-8].
當前，柔性機器人文獻研究主要集中在固定基座的地面柔性機械臂[9-10]，偶有空間漂浮基柔性機器人的研究，也未考慮目標載荷的情況，更很少涉及面向未知非合作目標載荷的空間柔性機器人控制系統(tǒng).空間機器人由于其基座的漂浮性，因此相對地面機器人具有更強的耦合性.且考慮到空間復(fù)雜的未知工況，非合作目標載荷的精確質(zhì)量難以獲得等問題，研究面向未知目標載荷捕獲的空間柔性機器人控制與振動抑制具有重要意義.
1986年， MARINO等[11]首次對柔性關(guān)節(jié)機器人的非線性控制問題進行了研究，基于機器人動力學模型的奇異攝動和積分流形，提出了全局反饋線性化控制律和非線性復(fù)合控制律.1987年，SPONG[12]給出了柔性關(guān)節(jié)機器人的簡化動力學模型，并對柔性關(guān)節(jié)機器人的位置控制問題進行了研究，通過反饋線性化將柔性關(guān)節(jié)機器人動力學方程進行解耦，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)進行控制，分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能和魯棒性.上述兩位學者奠定了柔性機器人控制與振動抑制的研究基礎(chǔ)，后續(xù)學者在此基礎(chǔ)上進行了更加深入的研究.LI等[13]通過將輸入整形技術(shù)和自適應(yīng)參數(shù)自抗擾控制器相結(jié)合，解決了強干擾情況下的雙關(guān)節(jié)柔性機械臂振動抑制問題，該方法不需要精確的數(shù)學模型，即使機械臂機構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，也能保證系統(tǒng)的魯棒性.ULRICH 等[14]研究了柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的非線性自適應(yīng)輸出反饋控制問題.提出了一種基于分散自適應(yīng)的復(fù)合控制方案，該方案在控制準穩(wěn)態(tài)機器人模型的基礎(chǔ)上，加入一個線性修正項來穩(wěn)定邊界層模型.陳力等[15]針對空間柔性機械臂協(xié)調(diào)運動，提出基于奇異攝動理論的魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PD振動抑制方法，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近慢變子系統(tǒng)的位置不確定模型，PD控制來實現(xiàn)快變子系統(tǒng)的振動抑制.這些研究成果雖然只針對合作目標，但為進一步深入研究非合作目標的柔性空間機器人控制提供了有價值的思想.
對于載荷捕獲的漂浮基空間機器人控制問題，考慮到空間環(huán)境復(fù)雜未知工況導(dǎo)致的捕獲目標質(zhì)量未知問題，設(shè)計基于迭代的最小二乘法來辨識非合作目標質(zhì)量.考慮空間機器人載體自由漂浮特性，采用拉格朗日方法和動量矩守恒原理建立漂浮基座柔性關(guān)節(jié)空間機器人動力學模型.考慮空間機械臂關(guān)節(jié)的柔性特性，基于奇異攝動理論將系統(tǒng)模型近似地分解為快慢變子系統(tǒng)進行分別控制.其中針對慢變子系統(tǒng)，設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器，保證控制的實時性和魯棒性；針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計基于速度差值的反饋補償控制算法，抑制柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的殘余振動.
1 柔性關(guān)節(jié)空間機器人動力學建模
漂浮基柔性關(guān)節(jié)兩連桿空間機器人如圖1所示，其整體結(jié)構(gòu)包括：空間機器人載體B0、剛性連桿(B1、B2)、柔性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動鉸(O1、O2)與目標未知負載P.建模前作以下假設(shè)：
圖1 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人系統(tǒng)Fig.1 Floating flexible joint space robot system
假設(shè)1.漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人僅在OXY平面運動，忽略Z軸；
假設(shè)2.空間機器人臂桿及載體均為質(zhì)量均勻、形狀固定的剛體，其質(zhì)心位于各自幾何中心；
假設(shè)3.非合作目標載荷為簡化為一質(zhì)量未知的質(zhì)點.
根據(jù)Spong關(guān)節(jié)模型簡化原理[12],將柔性關(guān)節(jié)的變形近似等效為剛度系數(shù)為K的線性扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖2所示的結(jié)構(gòu).當關(guān)節(jié)Oi(i=1,2)處的電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角度θi時，與其相連的剛性連桿Bi由于扭簧彈性力的作用，會產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)動誤差Δi，因此剛性連桿轉(zhuǎn)動角度qi=θi+Δi.一般情況下，Δi≠0，若忽略關(guān)節(jié)柔性造成的傳動誤差，即假設(shè)θi=qi，則必然造成誤差的不斷累積，從而對控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性造成較大影響.
圖2 柔性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of flexible joint
由于空間柔性關(guān)節(jié)機器人處于自由漂浮狀態(tài)，則系統(tǒng)遵守動量守恒和動量矩守恒.利用拉格朗日方程推得漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人的動力學方程如下：
(1)
(2)
基于奇異攝動理論將系統(tǒng)近似地分解為表示彈性振動部分地快變子系統(tǒng)和表示剛性運動的慢變子系統(tǒng)，并分別設(shè)計快慢變子系統(tǒng)的獨立控制算法.
總控制算法表示為：
τ=τs+τf
(3)
式中,τs為慢變子系統(tǒng)控制器.τf為快變子系統(tǒng)控制器.
設(shè)正定對角矩陣K1=ζ2K，其中ζ為一個非常小的正常數(shù).定義彈性力z=K(θ-q)為快變量，則動力學方程近似分解為：
(4)
(5)
由上式K=K1/ζ2可知，當ζ→0時，K→∞，此時關(guān)節(jié)處可近似為剛性連接，即Δi=θi-qi=0，則慢變子系統(tǒng)動力學方程轉(zhuǎn)換為
(6)
2 基于奇異攝動的振動抑制控制
基于奇異攝動理論和最小二乘法參數(shù)辨識，設(shè)計如下控制系統(tǒng)如圖3所示.其中RLSM(recursive least square method)為遞推最小二乘法，SMC(sliding mode controller)為滑模變結(jié)構(gòu)控制器，SDC(speed difference controller)為速度差值控制器.
圖3 控制系統(tǒng)原理圖Fig.3 Schematic diagram of control system
2.1 非合作目標的質(zhì)量觀測器設(shè)計
考慮空間非合作目標質(zhì)量的不確定性，將動力學方程中的矩陣模型表示為兩部分：
(7)
(8)
將式(7)～(8)代入慢變子系統(tǒng)動力學方程(3)得
(9)
式中,
(10)
2.2 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計
針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計基于速度差值的反饋控制器
(11)
將式(3)和式(11)代入式(4)，則快變子系統(tǒng)動力學方程為
(12)
2.3 慢變子系統(tǒng)控制器設(shè)計
將式(6)整理得
(13)
其中
則設(shè)計雙曲正切滑模變結(jié)構(gòu)控制器為
(14)
這里式(14)中具有以下性質(zhì)：
3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
定理.針對柔性機器人系統(tǒng)方程(1)～(2)中的慢變子系統(tǒng)(6)，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器 (14)，能夠保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.
證明. 定義Lyapunov函數(shù)
(15)
對V進行求導(dǎo)
(16)
由于
(17)
將式(14)和(17)代入式(16)中，得
從而
下面的證明用到了如下性質(zhì)：
則：
(18)
4 仿真研究
如圖4所示為雙關(guān)節(jié)漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人，以此模型為被控對象，利用本文設(shè)計的混合控制算法進行數(shù)值仿真實驗.
圖4 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人Fig.4 Floating flexible joint space robot
表1 柔性關(guān)節(jié)空間機器人參數(shù)Tab.1 Parameters of flexible joint space robot
其中，基座質(zhì)心C0與關(guān)節(jié)O1的距離為0.5 m，桿B1、B2的質(zhì)心分別位于連桿的中間位置，電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量矩Jθ1、Jθ2均為0.33 kg·m2.假設(shè)空間機器人關(guān)節(jié)角運動的期望軌跡為
設(shè)初始值為q(0)=[0.2 1.4]Trad、θ(0)=[0.2 1.4]Τrad.Kf=diag{0.17,0.17}，Kp=diag{3 000, 3 000}，Kd=diag{300,300}，Λ=diag{0.5,0.5}，γ=10，ε=0.03.
4.1 非合作目標質(zhì)量觀測器數(shù)值仿真
圖5 非合作目標質(zhì)量的估算Fig.5 Estimation of non-cooperative target quality
從圖5中可以看出，非合作目標初始值設(shè)定為0，所以在初始階段誤差較大，但經(jīng)過0.2 s后，估算值接近實際值，估計誤差大約為5.0%.當達到0.5 s后，從圖中可以看出估計值和實際值基本重合，采用改進的最小二乘算法設(shè)計的質(zhì)量觀測器基本能夠很好的獲得真實的非合作目標質(zhì)量.在初始階段出現(xiàn)較大超調(diào)的主要原因在于電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的角度、角速度與連桿轉(zhuǎn)動的角度、角速度在運動初始階段都很小，含有質(zhì)量等不確定因素部分Φ≈0，對非合作目標質(zhì)量的估算值近似奇異，造成初始誤差較大.
4.2 基于奇異攝動的混合振動抑制控制
針對非合作目標捕獲的柔性關(guān)節(jié)空間機器人，基于奇異攝動理論的快變子系統(tǒng)采用速度差值控制器，慢變子系統(tǒng)分別采用滑?？刂?SMC)和PD控制進行比較分析.控制效果如圖6～圖10所示.圖6為柔性關(guān)節(jié)空間機器人各連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡與實際運動軌跡對比圖，圖7為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的期望軌跡與實際軌跡的對比圖，圖8為兩關(guān)節(jié)處電機輸出力矩對比圖，圖9為關(guān)節(jié)處臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值圖，圖10為漂浮基體的軌跡對比圖.
圖6 連桿轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.6 Trajectory tracking of space robot link angle
圖7 電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.7 Trajectory tracking of motor rotor angle
圖8 關(guān)節(jié)處力矩的輸入Fig.8 Joints torque input
圖9 關(guān)節(jié)處相對誤差Fig.9 Relative errors at joints
圖10 自由漂浮基體位姿Fig.10 Free floating body poses
從圖6～ 7中可以看出，針對未知非合作目標捕獲問題，兩種控制系統(tǒng)均在0.2 s時產(chǎn)生較大超調(diào)量，但SMC控制能夠更快的抑制殘余振動，由圖中可以看出，在0.5 s內(nèi)快速準確跟蹤到期望軌跡，獲得較好的控制效果.而采用PD控制時，臂桿關(guān)節(jié)角度產(chǎn)生的超調(diào)相比SMC更大，在超過2 s后跟蹤誤差才逐漸變小，且無法精確跟隨期望軌跡，依然存在一定的誤差波動.由圖8可知，臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值在1 s內(nèi)均接近0，表明彈性形變造成的誤差已經(jīng)消除，其中采用SMC控制誤差更小.由圖9可知，兩種控制方法的控制力矩均不大，其中SMC為了保證控制系統(tǒng)魯棒性，初始輸出力矩更大，但迅速穩(wěn)定，波動更小.采用PD控制，其輸出力矩具有一定波動，但不大.由圖10可以看出，空間機器人漂浮基座依然能夠保持期望位姿姿態(tài)，具有較好的魯棒性.
通過仿真對比說明了采用奇異攝動理論的SMC控制或PD控制均能夠獲得不錯的控制效果.但SMC控制算法相比PD控制能夠更好的消除彈性振動，獲得更高控制精度.
4.3 關(guān)閉快變控制τf，采用獨立SMC控制
當關(guān)閉快變控制器τf時，相當于采用獨立SMC控制，其控制效果見圖11～15.
圖11 空間機器人連桿轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.11 Trajectory tracking of space robot link angle
由圖11可以看出，關(guān)節(jié)角度在6s內(nèi)都無法達到較好軌跡跟蹤，且控制階段前期誤差較大.由圖12可知，電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角在初始階段產(chǎn)生了較大振蕩，并在后期一直伴隨一定誤差.由圖13可知，采用獨立SMC控制所輸出的控制力矩較大，且存在一定抖動，這會對執(zhí)行器造成損害.從圖14可以看出，臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值始終存在，最大達到了0.3 rad，這表明彈性形變造成的誤差沒有消除.由圖15中可以看出，采用獨立SMC控制，漂浮基的位置與姿態(tài)均受到了較大影響，在Y軸方向上最大產(chǎn)生了8 m的偏移，控制效果不佳.
圖12 電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.12 Trajectory tracking of motor rotor angle
圖13 關(guān)節(jié)處力矩的輸入Fig.13 Joints torque inputs
圖14 關(guān)節(jié)處相對誤差Fig.14 Relative errors at joints
圖15 自由漂浮基體位姿Fig.15 Free floating body poses
通過仿真分析可以看出，采用獨立SMC控制難以取得較好控制效果.而基于奇異攝動理論實現(xiàn)對快慢變子系統(tǒng)的混合控制能夠獲得更好控制效果，同時證明所設(shè)計的基于速度差值的控制器對于柔性關(guān)節(jié)機器人振動抑制是有效的.
5 結(jié) 論
針對非合作目標的柔性關(guān)節(jié)空間機器人控制問題，提出了一種基于質(zhì)量觀測器的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法.
(1)考慮到空間非合作目標質(zhì)量的未知性，設(shè)計了基于改進的最小二乘法質(zhì)量觀測器，實現(xiàn)了非合作目標的質(zhì)量辨識.
(2) 基于奇異攝動理論將系統(tǒng)動力學模型近似地分解為快慢變子系統(tǒng).針對慢變子系統(tǒng)，設(shè)計了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，保證了控制精度；針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計了基于速度差值的反饋補償控制器，抑制了柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的殘余振動，提高了系統(tǒng)魯棒性.
(3)通過仿真實驗揭示了快變子系統(tǒng)對于柔性環(huán)節(jié)振動抑制的作用機理，慢變子系統(tǒng)對于剛性部分的軌跡跟蹤作用機理.實驗同時驗證了SMC控制相比PD控制更優(yōu)，基于奇異攝動理論的混合控制相比獨立SMC控制效果更佳.
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關(guān)節(jié)柔性能夠在空間機器人在抓捕目標載荷時，能吸收碰撞能量，避免損壞執(zhí)行機構(gòu).但其柔性特性會造成機械臂末端產(chǎn)生殘余振動和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制精度[3-5].因此，柔性機器人控制及振動抑制問題正逐漸成為國內(nèi)外學者研究的熱點[6-8].
當前，柔性機器人文獻研究主要集中在固定基座的地面柔性機械臂[9-10]，偶有空間漂浮基柔性機器人的研究，也未考慮目標載荷的情況，更很少涉及面向未知非合作目標載荷的空間柔性機器人控制系統(tǒng).空間機器人由于其基座的漂浮性，因此相對地面機器人具有更強的耦合性.且考慮到空間復(fù)雜的未知工況，非合作目標載荷的精確質(zhì)量難以獲得等問題，研究面向未知目標載荷捕獲的空間柔性機器人控制與振動抑制具有重要意義.
1986年， MARINO等[11]首次對柔性關(guān)節(jié)機器人的非線性控制問題進行了研究，基于機器人動力學模型的奇異攝動和積分流形，提出了全局反饋線性化控制律和非線性復(fù)合控制律.1987年，SPONG[12]給出了柔性關(guān)節(jié)機器人的簡化動力學模型，并對柔性關(guān)節(jié)機器人的位置控制問題進行了研究，通過反饋線性化將柔性關(guān)節(jié)機器人動力學方程進行解耦，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)進行控制，分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能和魯棒性.上述兩位學者奠定了柔性機器人控制與振動抑制的研究基礎(chǔ)，后續(xù)學者在此基礎(chǔ)上進行了更加深入的研究.LI等[13]通過將輸入整形技術(shù)和自適應(yīng)參數(shù)自抗擾控制器相結(jié)合，解決了強干擾情況下的雙關(guān)節(jié)柔性機械臂振動抑制問題，該方法不需要精確的數(shù)學模型，即使機械臂機構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，也能保證系統(tǒng)的魯棒性.ULRICH 等[14]研究了柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的非線性自適應(yīng)輸出反饋控制問題.提出了一種基于分散自適應(yīng)的復(fù)合控制方案，該方案在控制準穩(wěn)態(tài)機器人模型的基礎(chǔ)上，加入一個線性修正項來穩(wěn)定邊界層模型.陳力等[15]針對空間柔性機械臂協(xié)調(diào)運動，提出基于奇異攝動理論的魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PD振動抑制方法，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近慢變子系統(tǒng)的位置不確定模型，PD控制來實現(xiàn)快變子系統(tǒng)的振動抑制.這些研究成果雖然只針對合作目標，但為進一步深入研究非合作目標的柔性空間機器人控制提供了有價值的思想.
對于載荷捕獲的漂浮基空間機器人控制問題，考慮到空間環(huán)境復(fù)雜未知工況導(dǎo)致的捕獲目標質(zhì)量未知問題，設(shè)計基于迭代的最小二乘法來辨識非合作目標質(zhì)量.考慮空間機器人載體自由漂浮特性，采用拉格朗日方法和動量矩守恒原理建立漂浮基座柔性關(guān)節(jié)空間機器人動力學模型.考慮空間機械臂關(guān)節(jié)的柔性特性，基于奇異攝動理論將系統(tǒng)模型近似地分解為快慢變子系統(tǒng)進行分別控制.其中針對慢變子系統(tǒng)，設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器，保證控制的實時性和魯棒性；針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計基于速度差值的反饋補償控制算法，抑制柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的殘余振動.
1 柔性關(guān)節(jié)空間機器人動力學建模
漂浮基柔性關(guān)節(jié)兩連桿空間機器人如圖1所示，其整體結(jié)構(gòu)包括：空間機器人載體B0、剛性連桿(B1、B2)、柔性關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動鉸(O1、O2)與目標未知負載P.建模前作以下假設(shè)：
圖1 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人系統(tǒng)Fig.1 Floating flexible joint space robot system
假設(shè)1.漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人僅在OXY平面運動，忽略Z軸；
假設(shè)2.空間機器人臂桿及載體均為質(zhì)量均勻、形狀固定的剛體，其質(zhì)心位于各自幾何中心；
假設(shè)3.非合作目標載荷為簡化為一質(zhì)量未知的質(zhì)點.
根據(jù)Spong關(guān)節(jié)模型簡化原理[12],將柔性關(guān)節(jié)的變形近似等效為剛度系數(shù)為K的線性扭轉(zhuǎn)彈簧，如圖2所示的結(jié)構(gòu).當關(guān)節(jié)Oi(i=1,2)處的電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角度θi時，與其相連的剛性連桿Bi由于扭簧彈性力的作用，會產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)動誤差Δi，因此剛性連桿轉(zhuǎn)動角度qi=θi+Δi.一般情況下，Δi≠0，若忽略關(guān)節(jié)柔性造成的傳動誤差，即假設(shè)θi=qi，則必然造成誤差的不斷累積，從而對控制精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性造成較大影響.
圖2 柔性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of flexible joint
由于空間柔性關(guān)節(jié)機器人處于自由漂浮狀態(tài)，則系統(tǒng)遵守動量守恒和動量矩守恒.利用拉格朗日方程推得漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人的動力學方程如下：
(1)
(2)
基于奇異攝動理論將系統(tǒng)近似地分解為表示彈性振動部分地快變子系統(tǒng)和表示剛性運動的慢變子系統(tǒng)，并分別設(shè)計快慢變子系統(tǒng)的獨立控制算法.
總控制算法表示為：
τ=τs+τf
(3)
式中,τs為慢變子系統(tǒng)控制器.τf為快變子系統(tǒng)控制器.
設(shè)正定對角矩陣K1=ζ2K，其中ζ為一個非常小的正常數(shù).定義彈性力z=K(θ-q)為快變量，則動力學方程近似分解為：
(4)
(5)
由上式K=K1/ζ2可知，當ζ→0時，K→∞，此時關(guān)節(jié)處可近似為剛性連接，即Δi=θi-qi=0，則慢變子系統(tǒng)動力學方程轉(zhuǎn)換為
(6)
2 基于奇異攝動的振動抑制控制
基于奇異攝動理論和最小二乘法參數(shù)辨識，設(shè)計如下控制系統(tǒng)如圖3所示.其中RLSM(recursive least square method)為遞推最小二乘法，SMC(sliding mode controller)為滑模變結(jié)構(gòu)控制器，SDC(speed difference controller)為速度差值控制器.
圖3 控制系統(tǒng)原理圖Fig.3 Schematic diagram of control system
2.1 非合作目標的質(zhì)量觀測器設(shè)計
考慮空間非合作目標質(zhì)量的不確定性，將動力學方程中的矩陣模型表示為兩部分：
(7)
(8)
將式(7)～(8)代入慢變子系統(tǒng)動力學方程(3)得
(9)
式中,
(10)
2.2 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計
針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計基于速度差值的反饋控制器
(11)
將式(3)和式(11)代入式(4)，則快變子系統(tǒng)動力學方程為
(12)
2.3 慢變子系統(tǒng)控制器設(shè)計
將式(6)整理得
(13)
其中
則設(shè)計雙曲正切滑模變結(jié)構(gòu)控制器為
(14)
這里式(14)中具有以下性質(zhì)：
3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
定理.針對柔性機器人系統(tǒng)方程(1)～(2)中的慢變子系統(tǒng)(6)，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制器 (14)，能夠保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.
證明. 定義Lyapunov函數(shù)
(15)
對V進行求導(dǎo)
(16)
由于
(17)
將式(14)和(17)代入式(16)中，得
從而
下面的證明用到了如下性質(zhì)：
則：
(18)
4 仿真研究
如圖4所示為雙關(guān)節(jié)漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人，以此模型為被控對象，利用本文設(shè)計的混合控制算法進行數(shù)值仿真實驗.
圖4 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機器人Fig.4 Floating flexible joint space robot
表1 柔性關(guān)節(jié)空間機器人參數(shù)Tab.1 Parameters of flexible joint space robot
其中，基座質(zhì)心C0與關(guān)節(jié)O1的距離為0.5 m，桿B1、B2的質(zhì)心分別位于連桿的中間位置，電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量矩Jθ1、Jθ2均為0.33 kg·m2.假設(shè)空間機器人關(guān)節(jié)角運動的期望軌跡為
設(shè)初始值為q(0)=[0.2 1.4]Trad、θ(0)=[0.2 1.4]Τrad.Kf=diag{0.17,0.17}，Kp=diag{3 000, 3 000}，Kd=diag{300,300}，Λ=diag{0.5,0.5}，γ=10，ε=0.03.
4.1 非合作目標質(zhì)量觀測器數(shù)值仿真
圖5 非合作目標質(zhì)量的估算Fig.5 Estimation of non-cooperative target quality
從圖5中可以看出，非合作目標初始值設(shè)定為0，所以在初始階段誤差較大，但經(jīng)過0.2 s后，估算值接近實際值，估計誤差大約為5.0%.當達到0.5 s后，從圖中可以看出估計值和實際值基本重合，采用改進的最小二乘算法設(shè)計的質(zhì)量觀測器基本能夠很好的獲得真實的非合作目標質(zhì)量.在初始階段出現(xiàn)較大超調(diào)的主要原因在于電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的角度、角速度與連桿轉(zhuǎn)動的角度、角速度在運動初始階段都很小，含有質(zhì)量等不確定因素部分Φ≈0，對非合作目標質(zhì)量的估算值近似奇異，造成初始誤差較大.
4.2 基于奇異攝動的混合振動抑制控制
針對非合作目標捕獲的柔性關(guān)節(jié)空間機器人，基于奇異攝動理論的快變子系統(tǒng)采用速度差值控制器，慢變子系統(tǒng)分別采用滑?？刂?SMC)和PD控制進行比較分析.控制效果如圖6～圖10所示.圖6為柔性關(guān)節(jié)空間機器人各連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡與實際運動軌跡對比圖，圖7為電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的期望軌跡與實際軌跡的對比圖，圖8為兩關(guān)節(jié)處電機輸出力矩對比圖，圖9為關(guān)節(jié)處臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值圖，圖10為漂浮基體的軌跡對比圖.
圖6 連桿轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.6 Trajectory tracking of space robot link angle
圖7 電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.7 Trajectory tracking of motor rotor angle
圖8 關(guān)節(jié)處力矩的輸入Fig.8 Joints torque input
圖9 關(guān)節(jié)處相對誤差Fig.9 Relative errors at joints
圖10 自由漂浮基體位姿Fig.10 Free floating body poses
從圖6～ 7中可以看出，針對未知非合作目標捕獲問題，兩種控制系統(tǒng)均在0.2 s時產(chǎn)生較大超調(diào)量，但SMC控制能夠更快的抑制殘余振動，由圖中可以看出，在0.5 s內(nèi)快速準確跟蹤到期望軌跡，獲得較好的控制效果.而采用PD控制時，臂桿關(guān)節(jié)角度產(chǎn)生的超調(diào)相比SMC更大，在超過2 s后跟蹤誤差才逐漸變小，且無法精確跟隨期望軌跡，依然存在一定的誤差波動.由圖8可知，臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值在1 s內(nèi)均接近0，表明彈性形變造成的誤差已經(jīng)消除，其中采用SMC控制誤差更小.由圖9可知，兩種控制方法的控制力矩均不大，其中SMC為了保證控制系統(tǒng)魯棒性，初始輸出力矩更大，但迅速穩(wěn)定，波動更小.采用PD控制，其輸出力矩具有一定波動，但不大.由圖10可以看出，空間機器人漂浮基座依然能夠保持期望位姿姿態(tài)，具有較好的魯棒性.
通過仿真對比說明了采用奇異攝動理論的SMC控制或PD控制均能夠獲得不錯的控制效果.但SMC控制算法相比PD控制能夠更好的消除彈性振動，獲得更高控制精度.
4.3 關(guān)閉快變控制τf，采用獨立SMC控制
當關(guān)閉快變控制器τf時，相當于采用獨立SMC控制，其控制效果見圖11～15.
圖11 空間機器人連桿轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.11 Trajectory tracking of space robot link angle
由圖11可以看出，關(guān)節(jié)角度在6s內(nèi)都無法達到較好軌跡跟蹤，且控制階段前期誤差較大.由圖12可知，電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角在初始階段產(chǎn)生了較大振蕩，并在后期一直伴隨一定誤差.由圖13可知，采用獨立SMC控制所輸出的控制力矩較大，且存在一定抖動，這會對執(zhí)行器造成損害.從圖14可以看出，臂桿轉(zhuǎn)角和電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角差值始終存在，最大達到了0.3 rad，這表明彈性形變造成的誤差沒有消除.由圖15中可以看出，采用獨立SMC控制，漂浮基的位置與姿態(tài)均受到了較大影響，在Y軸方向上最大產(chǎn)生了8 m的偏移，控制效果不佳.
圖12 電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角軌跡跟蹤Fig.12 Trajectory tracking of motor rotor angle
圖13 關(guān)節(jié)處力矩的輸入Fig.13 Joints torque inputs
圖14 關(guān)節(jié)處相對誤差Fig.14 Relative errors at joints
圖15 自由漂浮基體位姿Fig.15 Free floating body poses
通過仿真分析可以看出，采用獨立SMC控制難以取得較好控制效果.而基于奇異攝動理論實現(xiàn)對快慢變子系統(tǒng)的混合控制能夠獲得更好控制效果，同時證明所設(shè)計的基于速度差值的控制器對于柔性關(guān)節(jié)機器人振動抑制是有效的.
5 結(jié) 論
針對非合作目標的柔性關(guān)節(jié)空間機器人控制問題，提出了一種基于質(zhì)量觀測器的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法.
(1)考慮到空間非合作目標質(zhì)量的未知性，設(shè)計了基于改進的最小二乘法質(zhì)量觀測器，實現(xiàn)了非合作目標的質(zhì)量辨識.
(2) 基于奇異攝動理論將系統(tǒng)動力學模型近似地分解為快慢變子系統(tǒng).針對慢變子系統(tǒng)，設(shè)計了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，保證了控制精度；針對快變子系統(tǒng)，設(shè)計了基于速度差值的反饋補償控制器，抑制了柔性關(guān)節(jié)產(chǎn)生的殘余振動，提高了系統(tǒng)魯棒性.
(3)通過仿真實驗揭示了快變子系統(tǒng)對于柔性環(huán)節(jié)振動抑制的作用機理，慢變子系統(tǒng)對于剛性部分的軌跡跟蹤作用機理.實驗同時驗證了SMC控制相比PD控制更優(yōu)，基于奇異攝動理論的混合控制相比獨立SMC控制效果更佳.
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