甘亦苗， 侯成敏

(延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分方程在許多自然科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.近年來，一些學(xué)者研究了帶有邊值問題微分方程正解的存在唯一性，并取得了較好的研究成果[1-5].本文研究如下一類Hadamard型具有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在唯一性：

(1)

1 相關(guān)知識和引理

定義1[1]函數(shù)g∶[1,+∞)→R+,g∈L1[1,+∞)的Hadamard型α∈R+階分?jǐn)?shù)階積分為

(2)

定義2[1]函數(shù)g∶[1,+∞)→R+的α∈R+階的Hadamard型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

(3)

引理1[1]若β-1>γ≥0,t>a>1，則有

(4)

引理3設(shè)h(t)∈C[1,∞), 則邊值問題

(5)

(6)

(7)

引理4[6]由式(6)定義的格林函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1)G(t,s)∶[1,e]×[1,e]→[0,∞)是連續(xù)的；

2)?t,s∈[1,e]，有:

0≤(lnt)α-1(1-lns)α-γ-1[1-(1-lns)γ]≤Γ(α)G(t,s)≤(lnt)α-1(1-lns)α-γ-1,

(8)

0≤(lnt)α-β-1(1-lns)α-γ-1[1-(1-lns)γ]≤HDβ1+Γ(α-β)G(t,s)≤

(lnt)α-β-1(1-lns)α-γ-1.

(9)

引理5[1]設(shè)P是一個(gè)正規(guī)錐，A,B∶P×P→P是兩個(gè)混合單調(diào)算子，且C∶P→P是一個(gè)減算子.假設(shè)以下條件成立：

(A1)?t∈(0,1)，存在φ(t)∈(0,1]，使得A(tx,t-1y)≥φ(t)A(x,y),?(x,y)∈P；

(A2)?t∈(0,1)，有B(tx,t-1y)≥tB(x,y),?x,y∈P；

(A3)?t∈(0,1)，有C(t-1y)≥tC(y),?y∈P；

(A4)?h>θ且h∈Ph，使得A(h,h)∈Ph,B(h,h)∈Ph,C(h)∈Ph；

(A5)?δ>0，使得?x,y∈P，有A(x,y)≥δ(B(x,y)+C(y)).

根據(jù)以上假設(shè)有:

(1)A∶Ph×Ph→Ph，B∶Ph×Ph→Ph，C∶Ph→Ph；

(2)?u0,v0∈Ph，且存在r∈(0,1)，使得rv0≤u0≤v0,u0=A(u0,v0)+B(u0,v0)+C(v0)≤A(v0,u0)+B(v0,u0)+C(u0)≤v0;

(3)A(x,x)+B(x,x)+C(x)=x有唯一的解x*∈Ph;

(4)?x0,y0∈Ph, 依次構(gòu)造如下序列：

xn=A(xn-1,yn-1)+B(xn-1,yn-1)+C(yn-1),n=1,2,…;

yn=A(yn-1,xn-1)+B(yn-1,xn-1)+C(xn-1),n=1,2,…,

則有xn→x*,yn→y*(n→∞).

2 主要結(jié)果及其證明

(10)

其中G(t,s)與式(6)相同.

定理1假設(shè)以下條件成立：

(H1)f(t,x,y),g(t,x,y)∶[1,e]×R+×R+→R+均為連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于第2個(gè)變量都是單調(diào)遞增的，關(guān)于第3個(gè)變量都是單調(diào)遞減的.k(y)∶R+→R+為連續(xù)的單調(diào)遞減函數(shù)，N∶R+→R+為減算子.

(H3)?γ∈(0，1)，使得?t∈(1,e),λ∈(0,1)，有f(t,λx,λ-1y)≥λγf(t,x,y),g(t,λx,λ-1y)≥λg(t,x,y),k(λ-1y)≥λk(y),N(λu)≥λN(u).

(H4)?t∈(1,e),x∈R+,y∈R+, 存在常數(shù)δ1,δ2>0, 有f(t,x,y)≥δ1g(t,x,0)，f(t,x,y)≥δ2k(y).

(H5)p(t),q(t)∶(1,e)→[0,∞)為連續(xù)函數(shù)，且p(t)≥q(t)≥m>0，其中m∈R+.

則問題(1)有唯一的解u*∈Ph,h(t)=(lnt)α-1.設(shè)初始值u0,v0∈Ph，構(gòu)造兩組迭代序列，且un→u*,vn→v*(n→∞)，其中：

證明定義以下算子：

(11)

(12)

(13)

T(u,v)=A(u,v)+B(u,v)+Cv.

(14)

為了方便證明，本文令u(t)u,v(t)v,(u,v)(t)(u,v).由式(9)可得到以下式子:

(15)

(16)

(17)

首先證明A和B是混合單調(diào)算子，C是減算子.實(shí)際上，對于u1u2,v1v2，有由此根據(jù)條件(H1)以及引理4易得：

即A(u1,v2)A(u2,v1)，故算子A是混合單調(diào)算子.同理可證B是混合單調(diào)算子，C是減算子.

由(H3)有A(λu,λ-1v)≥λγA(u,v),B(λu,λ-1v)≥λB(u,v),C(λ-1v)≥λC(v)，因此算子A、B、C滿足引理5的條件(A1)—(A3).

令h=(lnt)α-1,t∈(1,e)，則?u,v∈Ph存在μ≥1，使得μ-1h≤x,y≤μh.結(jié)合引理3和f的單調(diào)性可證得:

令:

因?yàn)?

令：

最后證明算子A、B、C滿足引理5中的條件(A5).根據(jù)條件(H4)可得：

因此有A(u,v)δ1B(u,v).再根據(jù)條件(H3)和(H4)以及引理4可得：

綜上，由引理5可知，算子T存在一個(gè)不動點(diǎn)u∈Ph，滿足T(u,u)=A(u,u)+B(u,u)+Cu=u，因此問題(1)有唯一的解u∈Ph,h=(lnt)α-1,t∈(1,e).設(shè)初始值u0,v0∈Ph，構(gòu)造兩組迭代序列{un}和{vn}，t∈(1,e)：

根據(jù)引理5可知，存在(u*，v*), 滿足un→u*,vn→v*(n→∞)，且u*,v*∈Ph.