李浩申， 姜銳函， 徐紅梅

(延邊大學(xué) 工學(xué)院，吉林 延吉 133002)

憶阻器是一種表示磁通與電荷關(guān)系的電路器件.由于憶阻器具有記憶功能，且體積小、功耗低[1-3]，因此其在保密通信、非易失性存儲(chǔ)器、電路設(shè)計(jì)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[4-7].近年來(lái)，一些學(xué)者將憶阻器應(yīng)用到混沌電路設(shè)計(jì)中.例如：吳淑花等利用兩個(gè)荷控憶阻器模型設(shè)計(jì)了一個(gè)最簡(jiǎn)五階混沌電路，并利用常規(guī)動(dòng)力學(xué)分析方法研究了該電路的基本動(dòng)力學(xué)特性[8].王振等提出了一種基于雙憶阻器的文氏橋混沌電路，研究顯示該電路的穩(wěn)定性與非零特征根和零特征根密切相關(guān)[9].陳菊芳等利用RC單T選頻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了一種并聯(lián)型憶阻混沌電路和一種串聯(lián)型憶阻混沌電路，并分析了其動(dòng)力學(xué)行為[10].基于上述研究，本文構(gòu)建了一種新型磁控五階憶阻混沌電路，并通過(guò)理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖和Poincaré截面圖等分析了該電路的動(dòng)力學(xué)特性.

1 磁控憶阻器五階混沌電路的設(shè)計(jì)

本文基于經(jīng)典的Chua電路，用三次型非線性磁控憶阻器代替Chua電路中的Chua二極管，用電感代替Chua電路中的電阻，并將Chua電路中的電感串聯(lián)成一個(gè)電阻.由此得到的五階磁控憶阻器的電路如圖1所示.圖1中各元件對(duì)應(yīng)的5個(gè)狀態(tài)變量分別為i1、i2、v1、v2、W(φ).

圖1 五階磁控憶阻器的電路圖

(1)

其中α和β為常量.

根據(jù)基爾霍夫電壓定律(KVL)和基爾霍夫電流定律(KCL)以及各元件的伏安特性關(guān)系，可得到如下五階憶阻混沌電路的狀態(tài)方程：

(2)

(3)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，本文根據(jù)系統(tǒng)的耗散性，采用五階龍格-庫(kù)塔離散化算法,電路參數(shù)取a=13，b=12，c=9，d=11，e=14，α=-0.7，β=0.3，對(duì)初始條件為(0.01，0，0，0，0)的系統(tǒng)(3)進(jìn)行了仿真，仿真得到的系統(tǒng)的二維相軌跡和三維相軌跡如圖2和圖3所示.由圖2和圖3可以看出,各平面相軌圖上的混沌吸引子均具有復(fù)雜的拉伸和扭曲結(jié)構(gòu)，這表明在上述參數(shù)下電路系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

圖2 二維相軌跡圖

圖3 三維相軌跡圖

圖4為不同截面上的龐加萊截面圖.由圖4可以看到：在x=0截面上，四維Poincaré映射軌線投影在y-z平面上；在u=0截面上，四維Poincaré映射軌線投影在x-y平面上.圖5為5個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域波形圖.由圖5可知，5個(gè)時(shí)域波形圖都是非周期性的.

圖4 不同截面上的龐加萊截面圖

圖5 5個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域波形圖

利用Matlab計(jì)算系統(tǒng)的5個(gè)Lyapunov指數(shù)，得L1=5.244，L2=3.164，L3=0，L4=-16.072，L5=-20.735.利用公式(4)計(jì)算系統(tǒng)(3)的Lyapunov維數(shù)，得dL=3.63.

(4)

由上述五階磁控憶阻電路的相軌圖、Poincaré映射、時(shí)域波形圖以及Lyapunov指數(shù)和維數(shù)可知，該電路系統(tǒng)具有混沌特征[11-14].

2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)的耗散性分析

系統(tǒng)(3)的耗散性可由如下公式表示：

(5)

當(dāng)參數(shù)a=14，α=-0.7，c=9時(shí)，公式(5)滿足條件aα-c<0.這說(shuō)明當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)(3)的運(yùn)動(dòng)軌線總是分布在一個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)，且具有耗散性.

2.2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

(6)

為得到J在平衡點(diǎn)處的特征方程，令|λE-J|=0, 則集合A的特征方程為：

λ5+[aw(n)+e]λ4+aew(n)λ3=0,

(7)

式中w(n)=α+3βn2.

當(dāng)參數(shù)取a=13，b=12，c=9，d=11，e=14，α=-0.7，β=0.3時(shí)，式(7)所對(duì)應(yīng)的特征根方程為：

λ3(λ2+a1λ+a2)=0.

(8)

求解式(8)可得a1=11.7n2+4.9，a2=163.8n2-127.4.再由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)(8)穩(wěn)定的充分必要條件為：

(9)

式中K=1，2.由式(9)可得：

H1=a1>0,

(10)

H2=a1a0>0.

(11)

再由式(10)和式(11)可得n的穩(wěn)定范圍為：

|n|>0.881 9.

(12)

若憶阻器的初值n在v軸上滿足式(12)(其他初值為零)，則系統(tǒng)(3)所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)集A的解是漸近穩(wěn)定的，且此時(shí)的平衡點(diǎn)集A的特征根實(shí)部均為負(fù)(除零特征根).若憶阻器的初值n在v軸上不滿足式(12)，則系統(tǒng)(3)所對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)集A的解是不穩(wěn)定的.由以上可知，系統(tǒng)(3)的解是趨于極限環(huán)或混沌的.

2.3 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)與分岔圖

系統(tǒng)的參數(shù)變化不僅會(huì)影響系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，同時(shí)也會(huì)使系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象發(fā)生改變[15].為了觀察和分析系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)的軌跡變化，本文以不同變量的Lyapunov指數(shù)和分岔圖來(lái)分析系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為.

改變參數(shù)b(b∈[0,20])，其他參數(shù)不變(a=14，c=9，d=11，e=14，α=-0.7，β=0.3)時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)和分岔圖如圖6和圖7所示.由圖6可以看出，當(dāng)參數(shù)b>7.28時(shí)，系統(tǒng)存在大于零的Lyapunov指數(shù)，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).由圖7可以看出：在0≤b<0.64時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了一小段混沌狀態(tài)；在0.64≤b<4.00時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡是一條穩(wěn)定的直線，表明系統(tǒng)處于極限環(huán)的狀態(tài)；在4.00≤b<7.28時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡開(kāi)始分岔，系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)；在7.28≤b<15.96時(shí)，系統(tǒng)不再分岔，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)；在15.96≤b<17.04時(shí)，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定；在17.04≤b<20.00時(shí)，系統(tǒng)收斂并再次進(jìn)入周期態(tài).為了驗(yàn)證系統(tǒng)分岔圖的準(zhǔn)確性，利用不同參數(shù)b所對(duì)應(yīng)的相軌跡圖對(duì)系統(tǒng)的分岔圖進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果如圖8所示.由圖8可以看出，系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性在[0,20]區(qū)間內(nèi)呈不同狀態(tài).

圖6 系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)b的變化情況

圖7 系統(tǒng)分岔圖隨參數(shù)b的變化情況

圖8 不同參數(shù)b所對(duì)應(yīng)的相軌跡

3 憶阻電路的仿真與實(shí)現(xiàn)

為了進(jìn)一步分析憶阻電路的特性，建立了電路系統(tǒng)的Simulink仿真模型，如圖9所示.該模型主要由加法器、減法器、乘法器、積分器、增益模塊和常數(shù)模塊組成.憶阻器模型由絕對(duì)值模塊、乘法器(1—3)、常數(shù)(1—2)、加法器1組成，其輸出為f+gv2.

圖9 電路系統(tǒng)的Simulink建模圖

電路系統(tǒng)的Simulink仿真結(jié)果如圖10所示.與圖2對(duì)比可以看出，在相同參數(shù)和初值下，二者表現(xiàn)出的動(dòng)力學(xué)特性相同，由此表明本文提出的五階憶阻系統(tǒng)具有混沌特性.

圖10 Simulink仿真的相軌跡圖

4 結(jié)論

基于分岔圖、Lyapunov指數(shù)、相圖、Poincaré截面圖和Simulink仿真等方法對(duì)本文設(shè)計(jì)的憶阻電路進(jìn)行分析表明，本文提出的五階憶阻電路具有混沌特性，且參數(shù)b不同時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在今后的研究中，我們將嘗試把該憶阻混沌電路應(yīng)用到存儲(chǔ)器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，以進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的可行性.