羅 捷,魯良葉,何德峰 ,俞 立,杜海平

(1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310023;2.伍倫貢大學(xué)電氣與計算機(jī)和通訊工程學(xué)院,澳大利亞伍倫貢2522)

1 引言

車輛隊列作為提高交通效率和道路安全性的一種有效途徑,近年來受到了廣泛關(guān)注[1–3].通過對隊列的先進(jìn)控制,使一組車輛相互協(xié)作形成一致的隊形,并保持安全間距和相同速度行駛[4–5].目前,許多學(xué)者采用分布式模型預(yù)測控制(model predictive control,MPC)方法來解決不同約束條件下的車輛隊列協(xié)同控制問題[6–9].在車輛隊列的分布式MPC框架中,通常利用關(guān)聯(lián)車輛的狀態(tài)信息建立局部控制目標(biāo),同時車輛在運行過程中需要滿足特定的空間約束[8–9].

隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性是車輛隊列系統(tǒng)研究的關(guān)鍵問題之一.文獻(xiàn)[7]通過對局部最優(yōu)代價函數(shù)求和,在分布式MPC框架下建立了非線性車輛隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10]針對線性系統(tǒng)的隊列控制問題,提出了具有耦合約束的魯棒分布式MPC策略.除了隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性外,研究人員對隊列系統(tǒng)弦穩(wěn)定性做了大量工作[11–13].車輛隊列的弦穩(wěn)定性要求前車干擾信息不能沿著車隊反向傳播.文獻(xiàn)[12]提出一種能夠同時保證特定通信拓?fù)湎萝囕v隊列系統(tǒng)穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性的分布式MPC策略.進(jìn)一步,文獻(xiàn)[13]提出一種保證特定車輛隊列γ增益穩(wěn)定性的分布式MPC策略.

在車輛隊列分布式MPC框架中,通信拓?fù)鋵囕v隊列控制效果有著顯著影響.車輛隊列分布式MPC策略通常采用前車–跟隨車(predecessor-following,PF)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[7–9,12],而文獻(xiàn)[13]采用固定的前車–跟隨車–后車(predecessor-following-successor,PFS)雙向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[8]分析了不同通信拓?fù)鋵Ξ愘|(zhì)車輛隊列系統(tǒng)隊列控制性能的影響.由于無線通信距離的限制,大型隊列系統(tǒng)通常不采用單一的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),而是采用多種通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并存的通信方式[1].進(jìn)一步,考慮高速行駛車輛駛?cè)牒婉偝鲕囮犌闆r,可擴(kuò)展車輛隊列系統(tǒng)的通信拓?fù)湫枰l繁地更新,而通信拓?fù)涞念l繁切換會放大通信故障、網(wǎng)絡(luò)攻擊、網(wǎng)絡(luò)擁塞等惡劣通信條件對車輛隊列控制產(chǎn)生的不利影響[14–17].從網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的角度來看,通信拓?fù)涞淖兓瘯疖囕v隊列控制系統(tǒng)的切換現(xiàn)象.車輛隊列系統(tǒng)的切換現(xiàn)象意味著通信拓?fù)涞母淖兛赡軙茐那袚Q前原始通信拓?fù)湎萝囕v隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

另一方面,在切換系統(tǒng)與控制理論中,平均停留時間(average dwell-time,ADT)概念是一種用于處理切換控制問題的重要方法[18–21].文獻(xiàn)[22–23]研究了通信拓?fù)淝袚Q對線性多智能體系統(tǒng)的影響.文獻(xiàn)[24]采用比例–積分型控制律處理具有動態(tài)通信拓?fù)涞木€性車輛自適應(yīng)巡航控制問題,提升了車輛巡航控制系統(tǒng)在動態(tài)通信拓?fù)湎碌目刂菩阅?文獻(xiàn)[25]采用Lyapunov-Razumikhin 定理與Lyapunov-Krasovskii定理證明了通信拓?fù)淝袚Q下線性異質(zhì)隊列系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.據(jù)筆者可知,目前針對通信拓?fù)淝袚Q下隊列系統(tǒng)的控制研究成果僅適用于線性車輛隊列系統(tǒng),且無法顯式處理車輛隊列系統(tǒng)的位置誤差、速度和加速度變量的約束條件.

針對具有系統(tǒng)約束和通信拓?fù)淝袚Q的異質(zhì)非線性車輛隊列系統(tǒng),本文提出一種新穎的車輛隊列分布式MPC策略.通過在線求解局部滾動時域約束優(yōu)化控制問題,計算異質(zhì)非線性車輛隊列系統(tǒng)的分布式MPC控制律,其中,車輛的局部代價函數(shù)由其自身的暫態(tài)代價函數(shù)和平均協(xié)作代價函數(shù)構(gòu)成.基于動態(tài)圖描述的動態(tài)通信拓?fù)?平均協(xié)作代價函數(shù)由關(guān)聯(lián)車輛的狀態(tài)信息組成,體現(xiàn)車輛隊列協(xié)作控制目標(biāo).引入平均停留時間概念與切換系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性理論,建立保證通信拓?fù)淝袚Q下分布式MPC優(yōu)化問題遞推可行性和隊列閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性的充分條件.最后通過兩組仿真實驗驗證本文結(jié)果的有效性.

符號說明:Rm表示m維實數(shù)向量,Rm×n表示m×n維實數(shù)矩陣.令符號I表示非負(fù)整數(shù)集合,且I[m,n]表示集合{i ∈I:m≤i≤n}.符號Im表示m維單位矩陣.若給定一向量x ∈Rm,|x|表示該向量的歐幾里得范數(shù),‖x‖Q=(xTQx)1/2為其權(quán)值矩陣范數(shù),其中矩陣Q為半正定矩陣.

2 問題描述

考慮在同車道上行駛的有限n輛異質(zhì)車組成的車輛隊列系統(tǒng).令車輛i ∈I[1,n]在t時刻的位置和速度分別為pi(t)和vi(t).該車輛隊列控制目標(biāo)為各車以恒速vdes跟蹤理想位置軌跡si,des且與前車保持期望安全間距dr.定義車輛i∈I[1,n]的狀態(tài)變量為xi=[ei?vi]T,其中:ei=pi ?si,des為車輛i實際位置與理想位置之間的位置誤差,?vi=vi ?vdes為車輛i實際速度與期望速度之間的速度誤差.結(jié)合車輛i ∈I[1,n]的理想軌跡,其跟蹤誤差動態(tài)過程可由如下二階非耦合狀態(tài)方程描述:

其中:誤差狀態(tài)xi(t)∈Xi,控制變量ui(t)∈Ui,fi為車輛動力學(xué)模型確定的非線性函數(shù),Xi和Ui為包含原點為內(nèi)點的約束集.注意在車輛隊列中各車的誤差狀態(tài)方程彼此獨立,即全車隊的跟蹤誤差動態(tài)過程由n個非耦合的狀態(tài)方程描述.不失一般性,原點為車輛跟蹤誤差系統(tǒng)(1)的平衡點.進(jìn)一步,定義控制變量的約束為

其中常數(shù)umin,i <0和umax,i >0分別為控制量的上界和下界.

在車輛隊列系統(tǒng)中,各車通過車載傳感器和車聯(lián)網(wǎng)獲得鄰居車輛的行駛信息.但由于環(huán)境限制和車隊規(guī)模變化,車輛隊列的通信拓?fù)湓趯嶋H運行中可能會發(fā)生改變,導(dǎo)致用于隊列控制的信息流發(fā)生切換.為此,先定義集合P:={1,2,···,M}為包含各種通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集合.隊列系統(tǒng)的通信拓?fù)鋗 ∈P定義了車隊在任意時刻t的信息流.不同時刻之間,通信拓?fù)鋗可能會發(fā)生變化,即拓?fù)淝袚Q.切換信號記作σ(t),其中σ(t):R+→P是分段常數(shù)函數(shù),作為t時刻對應(yīng)的通信拓?fù)渌饕?切換時刻序列記為τ ∈I≥0,若切換時刻增加,表示通信拓?fù)浒l(fā)生了切換,即σ(τ1)σ(τ2).

圖1示例一種通信拓?fù)淝袚Q:由于通信設(shè)備故障或通信網(wǎng)絡(luò)受到攻擊,車輛隊列的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由領(lǐng)車–前車–跟隨車(leader-predecessor following,LPF)結(jié)構(gòu)切換為雙–前車–跟隨車(two-predecessor following,TPF)結(jié)構(gòu).

圖1 通信拓?fù)淝袚Q示例Fig.1 An example of switching topologies

將車輛隊列的通信拓?fù)浣閳DG={V,E},其中,V={1,2,···,n}是隊列中所有車的集合,而E ?V ×V是連接車與車的有序邊集.假設(shè)車輛隊列可切換的有向圖包含在有限圖集Gm內(nèi),其中m∈P.注意,為使隊列系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運行,切換后的通信拓?fù)湫铦M足通信距離、通信時延等條件要求,并考慮有限可切換的通信拓?fù)浼?將Gσ(t)記作t時刻的通信拓?fù)?對于任意時刻t≥0,有Gσ(t)∈GP.鄰接矩陣Aσ(t)表示t時刻的通信拓?fù)淝袚Q下隊列的信息流情況,其元素由下式定義:

其中:表示在t時刻存在從車輛i到車輛j的信息傳遞;若無信息傳遞,則.車輛i的鄰居集合記為,其對偶為.上述描述有助于處理下文中的拓?fù)淝袚Q協(xié)同控制問題.

定義1[12]如果隊列系統(tǒng)(1)對于任意初始狀態(tài)xi(0)∈Xi,i ∈I[1,n]都能漸近穩(wěn)定至原點,則稱該隊列系統(tǒng)具有內(nèi)部穩(wěn)定性.

定義2[12]如果隊列系統(tǒng)(1)具有內(nèi)部穩(wěn)定性,且對于任意初始狀態(tài)xi(0)∈Xi,i ∈I[1,n]都滿足

其中參數(shù)γi ∈(0,1),則稱隊列系統(tǒng)(1)具有弦穩(wěn)定性.

隊列系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性是定義在跟蹤誤差系統(tǒng)原點漸近穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上,而隊列系統(tǒng)弦穩(wěn)定性表明前車位置誤差波動不會沿著車隊反向擴(kuò)散,即抑制位置誤差波動在隊列系統(tǒng)中的傳播,是隊列安全行駛的重要性能[11].因此,隊列系統(tǒng)弦穩(wěn)定性比內(nèi)部穩(wěn)定性更加嚴(yán)格.

定義3[26]考慮切換系統(tǒng)z(t+1)=hσ(t)(z(t))及切換信號σ(t),如果存在標(biāo)量τa,N0≥0滿足

其中Nσ(K,t)是系統(tǒng)在時間間隔[t,K]內(nèi)的切換次數(shù),則τa稱為該系統(tǒng)的平均停留時間.

本文目標(biāo)是設(shè)計分布式MPC策略,使隊列系統(tǒng)在通信拓?fù)淝袚Q條件下具有穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性,同時滿足系統(tǒng)約束和車間保持理想間距dr,其數(shù)學(xué)描述為

3 分布式MPC控制器設(shè)計

結(jié)合隊列中車輛i和鄰居集合中的鄰居車輛狀態(tài),定義局部滾動時域優(yōu)化問題.為論述方便,令隊列中所有車輛的MPC策略具有相同的預(yù)測時域N.在預(yù)測時域內(nèi)分別定義為實際控制量、假設(shè)控制量、可行控制量和最優(yōu)控制量,其中k ∈I[0,N].相應(yīng)地,和分別為上述控制量作用于系統(tǒng)得到的實際狀態(tài)量、假設(shè)狀態(tài)量、可行狀態(tài)量和最優(yōu)狀態(tài)變量.假設(shè)隊列中車輛i能夠接收鄰居集中的車輛狀態(tài)信息,也可以向集合中的車輛發(fā)送自身的狀態(tài)信息.鄰居集合與其對偶集合中的車輛數(shù)目分別記作,滿足.

定義車輛i在t ∈I≥0時刻的有限時域最優(yōu)控制問題

其中:j為集合內(nèi)車輛的下標(biāo);控制序列ui(t)={ui(0|t),···,ui(k|t),···,ui(N?1|t)},xi(k|t),k ∈I[0,N]表示在t時刻對t+k時刻的預(yù)測狀態(tài)量,終端等式約束3)將用于建立隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性[27–28],不等式約束4)將用于建立隊列系統(tǒng)的弦穩(wěn)定性,故稱弦穩(wěn)定約束,?i為弦穩(wěn)定參數(shù),其設(shè)計將在后文闡述.由于頭車i=1無前車信息輸入,即,則約束4)退化為

其中:hi(xi,ui)=‖xi‖Qi+‖ui‖Ri為局部代價函數(shù),描述車輛i的穩(wěn)定性控制目標(biāo);為偏差代價函數(shù),描述車輛i對其假設(shè)軌跡的跟蹤目標(biāo);為車輛i與其鄰居車輛的平均協(xié)同代價函數(shù),描述車輛隊列的協(xié)同控制目標(biāo).顯然,代價函數(shù)滿足hi(0,0)=0,hsi(0,0)=0,qi(0,0)=0.進(jìn)一步,權(quán)重矩陣Qi ∈R2×2,Ri ∈R,Fi ∈R2×2和Gi∈R2×2為對稱正定矩陣,其中F1=G1=0;為優(yōu)化問題(7)的最優(yōu)值函數(shù).注意,優(yōu)化問題(7)是一個非線性非凸的規(guī)劃問題,如果其存在可行解,則可應(yīng)用SQP、積極集法等數(shù)值算法求解最優(yōu)解.

下面,給出通信拓?fù)淝袚Q下車輛隊列分布式MPC算法描述:

算法1通信拓?fù)淝袚Q下車輛隊列分布式MPC算法.

注1初始化步驟2)和3)將保證隊列系統(tǒng)在初始時刻的弦穩(wěn)定性和優(yōu)化問題(7)的初始可行性[12],即由步驟3)可得如下不等式組:

則車輛i與i ?1之間的位置誤差關(guān)系滿足

其中:ψ2=(1+ξ2)?2,ψi=(1+ξi)?i/(1?ξi?1)?i?1,?i ∈I[3,n].選擇合適的參數(shù){ξi,?i}使ψi ∈(0,1),?i ∈I[2,n].則由定義2可知,該隊列系統(tǒng)在初始時刻滿足弦穩(wěn)定性.

4 穩(wěn)定性分析

為建立車輛隊列系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性,累加車輛i ∈I[1,n]的代價函數(shù)(8),得

假設(shè)1設(shè)XN=X1N×X1N×X2N×···×XnN是隊列系統(tǒng)的初始狀態(tài)可行集.假設(shè)存在正定函數(shù)W1(x),W2(x),W3(x)和常數(shù)α1,α2,α3,β1,β2,β3>0,使得對于所有x ∈XN和u ∈U,hΣ(x,u)≥α1W1(x),hsΣ(x)≥α2W2(x)與qsΣ(x)≥α3W3(x),且hΣ(x,u)≤β1W1(x),hsΣ(x)≤β2W2(x),qsΣ(x)≤β3W3(x).

假設(shè)1給出了代價函數(shù)(8)中各目標(biāo)子函數(shù)的上下界條件.由于代價函數(shù)(8)中各子函數(shù)為二次型正定目標(biāo)函數(shù),根據(jù)正定函數(shù)性質(zhì)可保證假設(shè)1成立.

定理1考慮具有給定通信拓?fù)洇?t)=m∈P的隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10).如果假設(shè)1成立且優(yōu)化問題(7)在初始時刻t=0存在可行解,則問題(7)在任意時刻t ∈I≥0都是可行的.進(jìn)一步,如果代價函數(shù)(8)中的加權(quán)矩陣滿足

則該閉環(huán)系統(tǒng)是關(guān)于原點漸近穩(wěn)定的,即車輛隊列系統(tǒng)具有內(nèi)部穩(wěn)定性.

證首先證明優(yōu)化問題(7)的遞推可行性.根據(jù)t+1時刻假設(shè)控制量的構(gòu)造方式可知,控制序列是該優(yōu)化問題在t+1時刻的一個可行解,即該優(yōu)化問題是遞推可行的.又優(yōu)化問題(7)在初始時刻是可行的,故該優(yōu)化問題在任意t ∈I≥0時刻都是可行的.

現(xiàn)證明隊列閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于優(yōu)化問題(7)具有遞推可行性,在t+1時刻存在一個可行控制序列,滿足xi(N|t+1)=0.則對相鄰時刻的對應(yīng)值函數(shù)做如下差分運算:

其中

利用向量范數(shù)的三角不等式,結(jié)合矩陣不等式(13)可得

將式(16)代入式(14),可得

注2當(dāng)求和項ΣGj隨著隊列規(guī)模擴(kuò)大而增大,不等式(13)右邊的平均取值有助于矩陣Qi,Ri,Fi系數(shù)的選取.相比于文獻(xiàn)[8],平均矩陣不等式(13)可以更靈活地為大型異質(zhì)隊列系統(tǒng)的協(xié)同編隊控制選擇矩陣系數(shù),利于隊列系統(tǒng)滿足可擴(kuò)展性.

令τ1和τ2為通信拓?fù)湎嗬^切換的兩個不同時刻.不失一般性,令τ1+1<τ2,則基于定理1的結(jié)論,車輛隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10)在通信拓?fù)淝袚Q下具有下列穩(wěn)定性結(jié)果.

定理2考慮通信拓?fù)淝袚Q隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10),其中切換行為由切換信號σ(t)描述.令是該系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)(12)的最優(yōu)值函數(shù).在定理1的條件下,如果存在常數(shù)μ≥1和0 ≤λ0≤1,使得如下不等式組:

成立,且切換信號σ(t)滿足不等式

其中:τa,i表示拓?fù)淝袚Q的時間間隔,表示拓?fù)淝袚Q的平均停留時間,則該閉環(huán)系統(tǒng)在通信拓?fù)淝袚Q下是關(guān)于原點漸近穩(wěn)定的.

證在滿足定理1的條件下,能夠保證給定通信拓?fù)湎玛犃虚]環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.下面考慮通信拓?fù)淝袚Q下隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性.

考慮不等式(18a),在相繼切換時刻τ1與τ2之間的切換信號滿足σ(t)=σ(t+1),則

由式(20)可得

對式(21)在[τ,t]上進(jìn)行遞歸,可得

若通信拓?fù)淝袚Q次數(shù)為Nσ(t,0),結(jié)合式(22)與式(18b),得

則根據(jù)定義1,通信拓?fù)淝袚Q下隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10)是關(guān)于原點漸近穩(wěn)定的,即隊列系統(tǒng)滿足內(nèi)部穩(wěn)定性.

證畢.

注3定理2表明,隊列閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于通信拓?fù)涞那袚Q間隔.為計算通信拓?fù)淝袚Q的ADT,需要估計式(18)中的衰減系數(shù)λ0和比例系數(shù)μ,進(jìn)而根據(jù)式(19)計算保證隊列系統(tǒng)滿足內(nèi)部穩(wěn)定性的平均停留時間.

定理3考慮通信拓?fù)淝袚Q下隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10)及其拓?fù)淝袚Q信號σ.在定理2的假設(shè)條件下,如果存在參數(shù)θi與ψi ∈(0,1)滿足

證先由定理2可知,隊列閉環(huán)系統(tǒng)(10)在通信拓?fù)淝袚Q下具有漸近穩(wěn)定性.再參考文獻(xiàn)[12]定理4的證明思路可直接得到定理3的結(jié)論.下面為保證論文結(jié)果的完整性,給出該定理的主要證明步驟.

由算法1初始化過程可知,在t=0時刻位置偏差滿足

再考慮t=1時刻,結(jié)合向量三角不等式與優(yōu)化問題(7)的約束4),車輛i ∈I[2,n]滿足不等式

結(jié)合式(31)和式(34),對t ∈I≥0采用數(shù)學(xué)歸納法可得

將式(25)和式(36)代入式(35)可得定理3成立.

證畢.

注4盡管定理3的弦穩(wěn)定性結(jié)論與文獻(xiàn)[12]相同,但由于文獻(xiàn)[12]只考慮通信拓?fù)洳蛔兿萝囕v隊列分布式MPC策略,不涉及切換概念,故兩者結(jié)論成立的充分條件不同;而文獻(xiàn)[21]考慮連續(xù)時間非線性系統(tǒng)的切換MPC策略,不涉及分布式控制系統(tǒng)和通信拓?fù)涓拍?

5 數(shù)值仿真

采用一組同車道行駛的車輛隊列驗證所提出的分布式MPC策略的有效性.令采樣時間Ts=0.5 s,采用如下離散時間非線性模型描述車輛跟蹤誤差動態(tài)系統(tǒng)[12–13]:

其中:ei(m)為車輛i與參考軌跡之間的相對位置誤差,?vi(m/s)為車輛i與期望速度之間的相對位置誤差,控制變量ui(N)為車輛i的驅(qū)動力,mi(kg)為車輛i的質(zhì)量,ci為車輛i的氣動阻力系數(shù).設(shè)置隊列系統(tǒng)的狀態(tài)約束為|ei|≤10 m和?vi≤10 m/s,控制輸入約束為|ui|≤4500 N.設(shè)置各車的動力學(xué)參數(shù)為mi=1841 kg和ci=0.41.令各車分布式MPC策略中預(yù)測時域和控制時域相等,并取為N=6.進(jìn)一步,設(shè)置車輛隊列的參考速度為15 m/s(即54 km/h),理想安全間距dr=3 m.假設(shè)車聯(lián)網(wǎng)通信質(zhì)量滿足理想要求,參考信息傳輸時不存在時延和丟包等情況[29–30].仿真實驗首先驗證通信拓?fù)淝袚Q的必要性,再驗證通信拓?fù)淝袚Q下所提出的分布式MPC策略的有效性.仿真中設(shè)計的優(yōu)化問題將由MATLAB2016 命令函數(shù)fmincon調(diào)用積極集法(active set method)求解.

5.1 通信拓?fù)淝袚Q的必要性驗證

利用三車隊列系統(tǒng)驗證通信拓?fù)淝袚Q的必要性.設(shè)置權(quán)值矩陣Qi=I2,Ri=10?4,i=1,2,3和F1=0,G1=0,Fi=I2,Gi=I2,i=2,3,參數(shù)ψ1=ψ2=ψ3=0.88,θ1=θ3=0.01,θ2=0.02.在t=0時刻,設(shè)置隊列系統(tǒng)三車初始狀態(tài)分別為[e1(0),?v1(0)]=[1,1],[e2(0),?v2(0)]=[0.8,1],[e3(0),?v3(0)]=[0.56,1].設(shè)定初始時刻隊列系統(tǒng)的通信拓?fù)洳捎们败嚚C跟隨車拓?fù)?假設(shè)在t=2 s時前車通信信道失效,此時分別考慮通信拓?fù)淝袚Q與非切換兩種情況:采用通信拓?fù)淝袚Q,前車通信信道失效后,通信拓?fù)鋵那败嚚C跟隨車拓?fù)淝袚Q為領(lǐng)導(dǎo)車–跟隨車拓?fù)?隊列系統(tǒng)分布式MPC仿真結(jié)果如圖2所示;通信拓?fù)洳磺袚Q,前車通信信道失效后,車輛將接收不到前車信息,隊列系統(tǒng)分布式MPC仿真結(jié)果如圖3所示.

圖2 通信拓?fù)淝袚Q下各車相對位置誤差Fig.2 Relative position error of each vehicle with changing topologies

圖3 無通信拓?fù)淝袚Q下各車相對位置誤差Fig.3 Relative position error of each vehicle without changing topologies

從圖2與圖3可以看出,兩種情況下隊列系統(tǒng)都可以到達(dá)期望狀態(tài)而不發(fā)生任何碰撞.考慮通信拓?fù)淝袚Q下分布式MPC策略的控制效果如圖2所示,在時刻t=2 s時,雖然車隊中車輛丟失了前車通信信道,但是車隊的通信拓?fù)浼皶r從前車–跟隨車拓?fù)淝袚Q為領(lǐng)導(dǎo)車–跟隨車拓?fù)?從而保證了車隊的內(nèi)部穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性.但通信拓?fù)洳磺袚Q下分布式MPC策略的控制效果如圖3所示,由于前車信道失效后車隊沒有及時地切換通信拓?fù)?隊列系統(tǒng)由分布式控制退化為分散式控制,即后車無法利用鄰居車輛的信息,導(dǎo)致車輛隊列雖然能夠保證內(nèi)部穩(wěn)定性,但是無法保證弦穩(wěn)定性.結(jié)果表明,當(dāng)隊列系統(tǒng)出現(xiàn)通信故障等問題時,及時切換通信拓?fù)涫潜匾?但由切換控制理論可知,通信拓?fù)漕l繁切換可能對隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成不利影響.對此,實驗2將利用切換控制理論中的平均停留時間概念,計算保證車輛隊列系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和弦穩(wěn)定性的通信拓?fù)淝袚Q容許最大頻率.

5.2 拓?fù)淝袚Q下隊列控制

考慮由7車組成的隊列系統(tǒng)在通信拓?fù)淝袚Q下的隊列控制問題,相應(yīng)的通信拓?fù)淝袚Q如圖1所示,即車輛隊列的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由LPF結(jié)構(gòu)切換為TPF結(jié)構(gòu).注意,這兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在車輛隊列系統(tǒng)中具有代表性,已廣泛用于車輛隊列控制的研究[1–5].分別定義如下二次型函數(shù)和表示與拓?fù)銵PF和TPF相對應(yīng)的車輛i ∈I[1,7]的代價函數(shù):

為滿足假設(shè)1與定理1條件,對分布式MPC控制器參數(shù)設(shè)置如下:對車輛i∈I[1,7],令Qi=I2,Ri=10?4,Fi=0.1I2;對車輛i=1設(shè)置G1=0;對車輛i ∈I[2,7]有Gi=0.1I2;系數(shù)α1=β1=1.0,α2=α3=β2=β3=0.1.考慮由LPF拓?fù)湎騎PF拓?fù)淝袚Q下隊列閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采用文獻(xiàn)[21,31]方法估計λ0=0.0279和μ=1.1667.根據(jù)式(19)計算切換信號平均停留時間=5.4686,因此隊列系統(tǒng)的通信拓?fù)淝袚Q信號σ(t)的切換間隔應(yīng)滿足.令切換信號σ(t)=0表示LPF通信拓?fù)?σ(t)=1表示TPF通信拓?fù)?根據(jù)平均停留時間條件,為保證切換通信拓?fù)湎萝囕v隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采用如圖4所示的通信拓?fù)淝袚Q信號σ(t).進(jìn)一步,為滿足定理3中的弦穩(wěn)定約束條件,設(shè)置參數(shù)ψi=0.97,i ∈I[1,7];θi=θ1=0.01,i ∈I[3,7],θ2=0.02.

圖4 通信拓?fù)淝袚Q信號Fig.4 Switching signal of communication topologies

在仿真中,考慮如下行駛工況:在時間段t ∈[0,2.5]s內(nèi),車輛隊列穩(wěn)定行駛,在時刻t=2.5 s時,控制中心廣播隊列參考速度vdes從26 m/s降為25 m/s,等價于車輛隊列的新初始可行狀態(tài)變?yōu)閇ei(0),?vi(0)]=[0,?1],i ∈I[1,7],即該隊列中各車都處于其參考位置,但是初始速度大于其參考速度.運行本文提出的分布式MPC策略,對應(yīng)數(shù)值仿真結(jié)果如圖5–7所示,其中圖5–7分別表示隊列中各車輛相應(yīng)的相對位置誤差、速度誤差和控制量的變化曲線.

圖5 隊列中各車的相對位置誤差Fig.5 Relative position errors of each vehicle in the platoon

由圖5–7分析可知,在本文分布式MPC控制器作用下,該車輛隊列閉環(huán)系統(tǒng)在每個時刻都滿足狀態(tài)約束和控制量約束.進(jìn)一步,分析圖5和圖6可知,在t=4 s時刻與t=7.5 s時刻,該車輛隊列的通信拓?fù)浒l(fā)生了兩次切換,但由于拓?fù)淝袚Q時間間隔滿足平均停留時間條件,隊列閉環(huán)系統(tǒng)仍是關(guān)于原點漸近穩(wěn)定的.從圖5中還可以看出,即使隊列系統(tǒng)存在通信拓?fù)淝袚Q,隊列中所有車輛的位置誤差在任意時刻仍滿足弦穩(wěn)定性條件(6c).同時分析圖6可知,當(dāng)參考速度發(fā)生變化后,該車輛隊列系統(tǒng)在分布式MPC策略作用下能夠快速跟蹤新的參考速度,進(jìn)而實現(xiàn)快速協(xié)同隊列控制目標(biāo),而圖7則表明,該車輛隊列系統(tǒng)的分布式MPC優(yōu)化問題在任意時刻都存在控制序列解.

圖6 隊列中各車的速度誤差Fig.6 Velocity errors of each vehicle in the platoon

圖7 隊列中各車的控制量Fig.7 Control profiles of each vehicle in the platoon

為進(jìn)一步驗證本文分布式MPC策略對通信拓?fù)淝袚Q下車輛隊列控制的有效性,比較文獻(xiàn)[12]分布式MPC 策略的運行結(jié)果.為便于書寫,記本文分布式MPC策略為(S–DMPC),文獻(xiàn)[12]分布式MPC策略為(T–DMPC).采用隊列系統(tǒng)各車輛的相對位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差[24]和速度誤差標(biāo)準(zhǔn)差作為控制效果衡量指標(biāo),標(biāo)準(zhǔn)差越小表明控制效果越好.當(dāng)車輛隊列的通信拓?fù)溆蒐PF結(jié)構(gòu)切換為TPF結(jié)構(gòu),S–DMPC 和T–DMPC控制下的各車位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差和速度誤差標(biāo)準(zhǔn)差如圖8和圖9所示,其中:橫坐標(biāo)表示第i輛車,縱坐標(biāo)表示標(biāo)準(zhǔn)差;“?”對應(yīng)S–DMPC結(jié)果,“o”對應(yīng)T–DMPC結(jié)果.分析圖8和圖9的標(biāo)準(zhǔn)差可知,對通信拓?fù)淝袚Q下車輛隊列系統(tǒng)的控制,S–DMPC在相對位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差和速度誤差標(biāo)準(zhǔn)差方面都優(yōu)于T–DMPC的結(jié)果,即本文分布式MPC策略在車輛隊列系統(tǒng)通信拓?fù)淝袚Q下的控制效果較現(xiàn)有分布式MPC策略有顯著提升.

圖8 隊列中各車的位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.8 Standard deviation of position error of each vehicle

圖9 隊列中各車的速度誤差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.9 Standard deviation of velocity error of each vehicle

綜上可知,本文所提出的分布式MPC策略能夠保證通信拓?fù)浒l(fā)生切換下閉環(huán)隊列系統(tǒng)的穩(wěn)定性和弦穩(wěn)定性,同時能夠避免編隊過程中發(fā)生車輛碰撞,使所有車輛都能夠快速跟蹤參考軌跡和期望速度,實現(xiàn)協(xié)同隊列控制目標(biāo).

6 結(jié)語

針對通信拓?fù)淝袚Q下異質(zhì)車輛隊列系統(tǒng)的非線性協(xié)同隊列控制問題,提出了一種保證隊列系統(tǒng)穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性的分布式MPC策略.采用時間相關(guān)圖函數(shù)描述動態(tài)通信拓?fù)淝袚Q過程,據(jù)此接收鄰居集合內(nèi)車輛的狀態(tài)信息,定義描述車輛之間協(xié)同編隊的耦合代價函數(shù).再將平均協(xié)同代價函數(shù)引入滾動時域優(yōu)化問題,結(jié)合平均停留時間概念與切換系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性理論,建立關(guān)于加權(quán)矩陣和值函數(shù)相關(guān)的隊列系統(tǒng)穩(wěn)定性與弦穩(wěn)定性充分條件.仿真結(jié)果驗證了本文分布式MPC策略的有效性.在本文結(jié)果基礎(chǔ)上,后續(xù)將研究車輛隊列系統(tǒng)不等式終端約束分布式MPC策略及其高效計算方法.