文|何月豐

2020年11月19日，周四

今天教學(xué)了《梯形的認(rèn)識》一課。中午和學(xué)生一起討論了人教版四年級上冊“練習(xí)十一”中的幾道習(xí)題。當(dāng)討論到圖1 這道習(xí)題時，以往教學(xué)的情境就自然地浮現(xiàn)在腦海中，這讓我意識到：這道習(xí)題要好好對待。

圖1

師：同學(xué)們，第（1）小題你們會分嗎？我們就用畫直線的方式來表示自己的剪法，試一試吧！

（在黑板上畫兩個平行四邊形）

師：誰來展示？

我拿出三角板，示意大家只要把三角板放到黑板上表示自己的想法就可以了。此時舉手的學(xué)生很多，于是我請了一位學(xué)生來演示。在這位學(xué)生把三角板在黑板上放好以后，我畫出了直線。（如圖2）

圖2

師：我們來看一下，這樣剪是兩個梯形嗎？

生：（齊）是的。

此時分出的兩個梯形直觀看大小一樣，但學(xué)生的行為并沒有從“一樣”的角度思考，只是拿著尺子“豎著”一放。

師：你們都分對了嗎？

生：我還有不一樣的分法。

又看了兩幅學(xué)生作品，只是剪的位置不同，但都是“豎著”的。

師：我知道你們還有很多不一樣的剪法。不過老師在想，你們能不能分出兩個一樣的梯形？

生：（都信心十足的樣子）能！

師：好，那就開始吧！

教過這個內(nèi)容的教師對我這樣的改變一定不陌生，因為這是這道習(xí)題經(jīng)常會有的一種變式。

師：誰先來把你的方法展示給大家？

同樣請一位學(xué)生到黑板上用三角板在另一個平行四邊形中擺出自己分的方法，我畫出直線。（如圖3）

圖3

師：憑什么說這兩個梯形是一樣的呢？你這樣分是怎么想的？

生：我的想法是讓這一段和這一段一樣長。

根據(jù)這位學(xué)生的想法，我在圖上用大括號表示出他所說的一樣長的兩段。（如圖4）

圖4

師：這兩段一樣長就能說明這兩個梯形一樣，為什么呀？

生：因為這兩段一樣長了，那么這兩段也就一樣長了。這樣這兩個梯形的上底和下底就一樣了。

我隨著這位學(xué)生的解讀，進(jìn)一步在圖上標(biāo)注，（如圖5）然后與大家一起理解：平行四邊形的對邊相等，現(xiàn)在都去掉同樣長的一段，那么剩下的也是一樣長的，這樣兩個梯形的上底和下底就一樣了，高也一樣，這兩個梯形就一樣了。

圖5

師：看來，這樣分確實可以得到兩個一樣的梯形。還有不一樣的分法嗎？

此時舉手的學(xué)生當(dāng)然還有很多。其中一些學(xué)生是本來就有不一樣的想法，另一些學(xué)生則是通過剛才的解釋產(chǎn)生了新想法。于是我又請了一位學(xué)生上來擺一擺三角板并進(jìn)行解釋。

師：看了你們的方法我在想，這把三角板是不是可以繼續(xù)旋轉(zhuǎn)？

我將三角板放在第二位學(xué)生放的位置上，然后逆時針旋轉(zhuǎn)一點點。（如圖6）

圖6

師：這樣分出的兩個梯形一樣嗎？

生：（齊）一樣！

此時就不用再講道理了，我繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)問，如此重復(fù)幾次。

師：能一直旋轉(zhuǎn)過去嗎？

生：（齊）能。

我略停頓了一會兒，有幾位學(xué)生開始喊：不能不能！

師：為什么不能？

生：旋轉(zhuǎn)到角上就不行了，這樣不是梯形，是三角形。

現(xiàn)在學(xué)生都反應(yīng)過來了，紛紛表示到角上不可以。我則繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板到角上。（如圖7）

圖7

學(xué)生七嘴八舌說開了：不行不行，是三角形了。

師：看來真不行！那我現(xiàn)在往回旋轉(zhuǎn)。

于是我將三角板開始順時針旋轉(zhuǎn)，一邊旋轉(zhuǎn)一邊問“是不是兩個一樣的梯形”。等旋轉(zhuǎn)到直角梯形過一點點之后，我停下了。

師：這樣旋轉(zhuǎn)過去一直行嗎？生：到角上還是不行的。

根據(jù)這位學(xué)生的想法，我直接將三角板移動到另一條對角線上驗證。

師：看來確實到這里就不行了，又變成兩個三角形了。那么，在旋轉(zhuǎn)到這個角上之前一直行嗎？

我一邊說一邊晃動三角板。大部分學(xué)生還是在喊“行的”，不過也有一些學(xué)生開始意識到其中的問題。靜靜地觀察，那些意識到有問題的學(xué)生開始舉手了。

生：旋轉(zhuǎn)到和左右兩條邊平行的時候就不行了。

師：什么意思？他說有一個時候會不行，大家自己在數(shù)學(xué)書上擺一擺。

在操作過程中，越來越多的學(xué)生發(fā)現(xiàn)還有不行的時候。請學(xué)生到黑板上操作，我畫出直線。（如圖8）

圖8

師：你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為這樣就不行了呢？

生：因為這個時候是兩個平行四邊形，不是梯形。

師：果然不行。這樣一來老師想到一個問題，如果我旋轉(zhuǎn)一周，一共會有幾個位置不行呢？

生：（齊）3 個。

于是我將這3 個位置都畫出來如圖9。

圖9

當(dāng)我畫完之后，已經(jīng)可以聽到一些不同的聲音了：不對，應(yīng)該是4 個位置！

師：什么？有4 個位置，還有一個位置在哪里呀？

學(xué)生靜靜觀察、想象，舉手的學(xué)生開始多起來了。（此時不安排操作，而是借助想象）

師：第4 個不行的位置在哪里？誰能擺出這個位置？

請一位學(xué)生到黑板上操作，她的三角板所擺的位置如圖10。

圖10

這位學(xué)生一擺出這個位置，沒有舉手的學(xué)生便恍然大悟：對哦！這樣也分出兩個平行四邊形了。

我隨著這位學(xué)生的擺法和大家的聲音畫出這條直線，標(biāo)注第4個位置。（如圖11）

圖11

師：這4 個位置是不行的，另外的位置都行。現(xiàn)在你們認(rèn)為，要分成兩個一樣的梯形，一共有幾種方法？

生：（異口同聲）無數(shù)種。

【日志解讀】

回顧整個習(xí)題教學(xué)過程，在深化學(xué)生對梯形認(rèn)識的同時，較好地實現(xiàn)了鍛煉學(xué)生思維的目的。從要求學(xué)生“分出兩個一樣的梯形”開始，學(xué)生的學(xué)習(xí)就逐步進(jìn)入了思維鍛煉區(qū)。首先，面對“分出兩個一樣的梯形”這一要求時，雖然學(xué)生都表現(xiàn)出信心十足的樣子，但完成這個任務(wù)確實不易（學(xué)生需要找到實現(xiàn)兩個梯形上底和下底相等的方式，而且兩個梯形的方向還是顛倒的）。在這個過程中學(xué)生必然要經(jīng)歷較為深入的思考，由此就產(chǎn)生了比較深刻的思維活動，進(jìn)而實現(xiàn)了鍛煉思維的目的。其次，在“旋轉(zhuǎn)三角板”這個環(huán)節(jié)，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、想象、對比等思維活動，由此才能發(fā)現(xiàn)三角板旋轉(zhuǎn)過程中會出現(xiàn)分出兩個三角形和兩個平行四邊形的情況，這對學(xué)生空間觀念的要求是比較高的，思維鍛煉的目的再次實現(xiàn)。最后，在已經(jīng)可以直觀看到有三個位置不能分出兩個一樣的梯形時，進(jìn)一步思考“一共有幾個位置不行”，從而發(fā)現(xiàn)還有一種不成功的情況，則是對學(xué)生思維的再一次鍛煉。

以上便是我對這則教學(xué)日志中蘊(yùn)含的教學(xué)意義的理解，主要體現(xiàn)在對學(xué)生的思維鍛煉上。但其實，這個教學(xué)意義并不是我一開始就預(yù)設(shè)的。這道習(xí)題之所以這么教，起初只是基于自己以往教學(xué)經(jīng)歷的“就題論題”，即只想把這道習(xí)題教好。但在教學(xué)過程中我慢慢發(fā)現(xiàn)，這樣教，學(xué)生的思考深入了，思維活躍了。這引起了我的反思：其中是否有法可循？于是，我細(xì)細(xì)地梳理和記錄教學(xué)的過程，并從中找到了一點方法：整合與拓展。

先看整合。在前文敘述中已經(jīng)提及，這道習(xí)題這么教主要是基于以往的教學(xué)經(jīng)歷。這是指我知道學(xué)生在后續(xù)的練習(xí)中極有可能還會遇到要求將一個平行四邊形分成兩個一樣的梯形的習(xí)題。那么，何不在此時就將教材上的這道習(xí)題與學(xué)生后續(xù)可能還會遇到的類似習(xí)題整合在一起呢？特別是，教材上的原題過于簡單，而“分成兩個一樣的梯形”則一下子提升了其思考的力度，兩者主題一致，實現(xiàn)遞進(jìn)。因此，這樣的整合就極大地增強(qiáng)了這道習(xí)題的思維鍛煉價值，使習(xí)題更有生長力。

再看拓展。這道習(xí)題不管是“分出兩個梯形”還是“分出兩個一樣的梯形”，教學(xué)中必然會牽涉分出兩個三角形和兩個平行四邊形的情況，但教學(xué)最終的落腳點更多還是在如何分成功的方法上，對于不成功的方法則是點到即止，即這道習(xí)題的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生學(xué)會正確分的方法。對此，我在教學(xué)中不僅將不成功的情況開展“大張旗鼓”的教學(xué)，還向前走了一步———思考“一共有幾個位置不行”，這在我以往的教學(xué)中是不曾出現(xiàn)過的，我也不曾在一些相關(guān)的習(xí)題中見到過這樣的要求。因此，向前又邁出的這一步，不管是對我還是對這道習(xí)題而言，都具有拓展性。當(dāng)然，更重要的是，拓展的一步再次增強(qiáng)了這道習(xí)題的思維鍛煉價值，使習(xí)題更有生長力。

由此可見，對習(xí)題的整合與拓展才是上述習(xí)題教學(xué)中實現(xiàn)對學(xué)生進(jìn)行思維鍛煉的關(guān)鍵。那么，整合與拓展能否成為在習(xí)題教學(xué)中鍛煉學(xué)生思維的常規(guī)手段呢？這當(dāng)然是可行的。比如上面教學(xué)日志中所講的“練習(xí)十一”第6 題的第（2）小題：在梯形紙上剪一刀，使剪下的圖形中有一個是平行四邊形。有一定教學(xué)經(jīng)驗的教師很快就能想到與此題相關(guān)的習(xí)題，如：在梯形紙上剪一刀，剪下的兩個圖形可能會是什么圖形？如此，便可將兩者進(jìn)行整合。在教學(xué)過程中，進(jìn)一步可以拓展認(rèn)識到“在梯形紙上剪一刀，剪下的兩個圖形不可能是兩個平行四邊形”。

仔細(xì)一想，像這樣同一主題下具有一定關(guān)聯(lián)的習(xí)題，在我們的日常教學(xué)中是非常多見的。備課時，面對一道習(xí)題，經(jīng)常性地想一想與此題相關(guān)聯(lián)或相似的習(xí)題有哪些、這些習(xí)題可否整合、還能不能進(jìn)一步拓展，常常能讓習(xí)題更具生長力，更能鍛煉學(xué)生的思維。

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，整合與拓展其實是內(nèi)在的兩個抓手，而其在習(xí)題上和教學(xué)上的外在表現(xiàn)形式，則是變式教學(xué)。

變式教學(xué)，是中國數(shù)學(xué)“雙基教學(xué)”的四大理論特征之一，“變式練習(xí)”更是已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)教育的“中國經(jīng)驗”之一。具體做法有很多，比如針對同一類數(shù)學(xué)問題，可以變換條件、變換問題、變換內(nèi)容、變換形式、變換位置、變換敘述方式、變換解題思路等等。這樣的變換在我們平時的習(xí)題教學(xué)中已經(jīng)普遍存在，教師經(jīng)常使用。比如在上面的教學(xué)日志中，基于整合與拓展，我采取了“變換問題”的方式開展變式教學(xué)，即將“分出兩個梯形”變換成“分出兩個一樣的梯形”，進(jìn)一步變換成“三角板能一直旋轉(zhuǎn)過去嗎”和“一共有幾個位置不行”。

由此可見，有效開展變式教學(xué)，需要有一定的前期準(zhǔn)備，整合與拓展無疑是一種比較好的準(zhǔn)備方式。特別是，基于整合與拓展的變式教學(xué)，不僅僅是為了避免機(jī)械重復(fù)，即實現(xiàn)“在變化中進(jìn)行重復(fù)，在重復(fù)中獲取變化”，更是想讓習(xí)題具有更強(qiáng)的生長力，追求“在變化中加深理解，在理解中鍛煉思維”的高階目標(biāo)。