文|倪斌強(qiáng)

在一次和新思維教育科學(xué)研究院共同開展的教研活動中，我們連續(xù)聽了幾節(jié)《倍的認(rèn)識》，課后感覺到學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”有點(diǎn)困難，根本原因在哪里呢？經(jīng)過與教研員的討論，認(rèn)識到主要原因有三點(diǎn)。

第一，認(rèn)識“倍”是學(xué)生從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”的一次質(zhì)的轉(zhuǎn)化，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。

第二，“倍”在刻畫兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，要從絕對數(shù)量的多少比較轉(zhuǎn)變到相對數(shù)量的關(guān)系認(rèn)識，這是很多學(xué)生不易想通的地方。

第三，日常的“倍”與數(shù)學(xué)上的“倍”稍有區(qū)別。日常的“倍”，商一般大于1，而數(shù)學(xué)上的“倍”，商大于、等于或小于1 都可以。

找到了學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”的困難之處，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)哪些有效教學(xué)活動來突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙呢？我們對《倍的認(rèn)識》進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，并進(jìn)行實(shí)踐，取得了較好的效果。

一、初步認(rèn)識“倍”

1.出示題目。

第一題：說說第一行的△和第二行的○有什么關(guān)系？

圖1

生：第一行比第二行少3 個(gè)。

生：第二行比第一行多3 個(gè)。

師：它們除了相差關(guān)系還有什么關(guān)系呢？這是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

第二題：出示下圖，要求根據(jù)前三幅圖的規(guī)律，畫出第四幅圖第二行的圖形。

圖2

圖3

圖4

2.反饋交流。

師：說說你是怎么想的。

生：我畫了8 個(gè)☆，因?yàn)榈谝恍袔讉€(gè)，第二行就比它多幾個(gè)。

生：我畫了8 個(gè)□，第一行的個(gè)數(shù)乘2 就是第二行的個(gè)數(shù)。

師：如果把第一幅圖中第一行三個(gè)△看為一份（邊說邊圈），那么第二行有這樣的幾份？

生：2 份！

師：另外幾幅圖，像老師這樣圈一圈，看看是不是都一樣。

（學(xué)生動手圈畫）

師：比較這幾幅圖有什么共同點(diǎn)？

生：都是第一行的個(gè)數(shù)為一份，第二行的個(gè)數(shù)有這樣的兩份。

師：那我們就可以說：第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2 倍。

師：按“（ ）為一份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的2倍?！闭f一說。

3.提煉。

師：每組圖的東西不一樣，個(gè)數(shù)也不一樣，為什么都可以說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2 倍呢？

生：因?yàn)槎际且缘谝恍械膫€(gè)數(shù)為一份，第二行都有這樣的兩份。

師：對啊，不管什么物體，有幾個(gè)，只要以第一行為一份，第二行有這樣的兩份，都可以說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2 倍。

【設(shè)計(jì)意圖：1.課始出示第一行3 個(gè)△和第二行6 個(gè)○的圖片，讓學(xué)生說說第一行的△和第二行○的關(guān)系，學(xué)生說出相差關(guān)系后，教師引導(dǎo)學(xué)生說“除了相差關(guān)系還有什么關(guān)系呢？”打破學(xué)生的認(rèn)知平衡（相差關(guān)系），激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣（除了相差關(guān)系還有什么關(guān)系），為“破”加法結(jié)構(gòu)“立”乘法結(jié)構(gòu)做好了準(zhǔn)備。2.學(xué)生根據(jù)前三幅圖畫圖時(shí)已初步體會到“倍”的結(jié)構(gòu)，也就是第一行都有一份，第二行都有這樣的兩份。引出“倍”后，再讓學(xué)生異中求同——“每組圖東西不一樣，個(gè)數(shù)也不一樣，為什么都可以說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2 倍呢？”這樣逐步剝離“倍”的非本質(zhì)屬性（與是什么物體、個(gè)數(shù)有幾個(gè)無關(guān)），顯現(xiàn)倍的本質(zhì)特征——只要以第一行為一份，第二行有這樣的兩份，都可以說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的2 倍?！?/p>

二、著力構(gòu)建2 倍

1.課件把物體隱去，留下第一行一個(gè)圈圈，第二行兩個(gè)圈圈。

師：這兩樣比較的東西除了作業(yè)紙上的這些，還可以是什么？

生：還可以是鉛筆、書本、男生、女生……

師：個(gè)數(shù)除了1、2、3、4，還可以是幾個(gè)？

生：5、6、7、8……

2.畫一畫。

要求：畫的兩種量，一種量是另一種量的2 倍。并且盡量畫得與眾不同。

3.反饋交流。

（1）出示學(xué)生的各種畫法。

（2）比較這些圖：為何都可以說一種物體是另一種物體的2 倍？

4.提煉。

師：只要一種物體的個(gè)數(shù)為一份，另一種有這樣的兩份，都可以說兩份的物體個(gè)數(shù)是一份物體個(gè)數(shù)的2 倍。

師：一份的如果是20 個(gè)、50個(gè)、100 個(gè)，兩份的分別是多少？

師：一份的如果是a 個(gè)，那么兩份的有多少個(gè)？

生：b 個(gè)。

師：很好，能用字母來表示，但b 個(gè)能看出有這樣的兩份嗎？

生：不能。

師：那到底怎么表示呢？

生：2 個(gè)a。

【設(shè)計(jì)意圖：1.由于要求畫得不一樣，學(xué)生就會存同求異，出現(xiàn)了以第二行為標(biāo)準(zhǔn)量、不工整排等幾種變式情況，也就“破”了一定以第一行為標(biāo)準(zhǔn)量的思維定勢，更好地建立了“2 倍”的模型。然后又進(jìn)行了異中求同的比較——“為何都可以說一種物體是另一種物體的2 倍”，使學(xué)生明白“只要一種物體的個(gè)數(shù)為一份，另一種有這樣的兩份，都可以說兩份的物體個(gè)數(shù)是一份物體個(gè)數(shù)的2 倍”。2.“一份的如果是a 個(gè)，那么兩份的有多少個(gè)？”嘗試在三年級就滲透用字母表示數(shù)，讓學(xué)生體會符號的含義。經(jīng)過實(shí)踐，學(xué)生完全能夠接受，一開始很多學(xué)生會想到用“b”來表示，“但b 個(gè)能看出有這樣的兩份嗎？”經(jīng)教師提醒，有部分學(xué)生會想到用“2 個(gè)a”來表示，這樣也就突破了低段學(xué)生只局限于具體數(shù)量的問題，出現(xiàn)了用代數(shù)符號表達(dá)的“2 倍”概念?！?/p>

三、拓展到幾倍

練習(xí)一：第一行△△△。

畫一畫：第二行的△是第一行的3 倍。

師：如果第二行的△是第一行的5 倍、10 倍，又怎么畫？

師：如果是1 倍呢？

練習(xí)二：

第一行△△△

第二行△△△△△△

師：第一行如果去掉一個(gè)△，第二行還是第一行的2 倍嗎？那是幾倍呢？為什么？

師：第一行如果去掉兩個(gè)△，第二行是第一行的幾倍呢？

練習(xí)三：

第一行△△△

第二行△△△△△△

師：如果以第二行為一份，第一行是第二行的幾倍呢？

（畫一畫、說一說）

生：半倍。

生：0.5 倍。

師：這幾位同學(xué)說得都對，這個(gè)我們以后會學(xué)到。

小結(jié)：如果以第一行的個(gè)數(shù)為一份，第二行有這樣的幾份，我們就說第二行的個(gè)數(shù)是第一行的幾倍。

【設(shè)計(jì)意圖：1.在這個(gè)環(huán)節(jié)有兩個(gè)“變”：一是標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化（即兩個(gè)量之間成正比例關(guān)系）。由于對“2 倍”有較為深刻的認(rèn)識，所以對其他倍數(shù)，學(xué)生基本沒有問題。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識較難理解的“1倍”，由于前期鋪墊充分，學(xué)生的理解也水到渠成。二是比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量變化（即兩個(gè)量之間成反比例關(guān)系）。“第一行如果去掉一個(gè)△，第二行還是第一行的2 倍嗎？那是幾倍呢？為什么？”“第一行如果去掉兩個(gè)△，第二行是第一行的幾倍呢？”讓學(xué)生感受到比較標(biāo)準(zhǔn)的重要性，潛移默化地滲透反比例關(guān)系。在兩個(gè)變中尋不變，基于豐富的體驗(yàn)，建立好“幾倍”的結(jié)構(gòu)。2.第一行3 個(gè)△，第二行6 個(gè)△。如果以第二行為一份，第一行是第二行的幾倍呢？讓學(xué)生打破剛剛形成的商大于或等于1 的幾倍模型，滲透也有可能是不到1 倍的情況，為高段進(jìn)一步學(xué)習(xí)分率（分?jǐn)?shù)倍）做好鋪墊。】

四、變式練習(xí)

第一題：

（ ）看作1 份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

（ ）看作1 份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

空白部分的大小是陰影部分的（ ）倍，整個(gè)長條的大小是陰影部分的（ ）倍。

第三題：○○●●○●○○

○○○○●○○○

○的個(gè)數(shù)是●的（ ）倍。

【設(shè)計(jì)意圖：課的最后階段，進(jìn)一步通過變式檢測和提升學(xué)生對倍的認(rèn)識。分三個(gè)層次處理：第一題中的兩個(gè)量雖然仍上下分開擺放，但需要學(xué)生自己辨識誰是標(biāo)準(zhǔn)量，誰是比較量。第二題是融成一行，探討總體和部分之間的倍比關(guān)系。第三題是打亂了圖形的排列，需要學(xué)生自己概括出兩個(gè)量的關(guān)系。至第三題，學(xué)生完全擺脫了刻板的倍的圖示，建立了抽象的倍的圖式?！?/p>

類似于《倍的認(rèn)識》這樣的概念起始課，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)生是本質(zhì)性的躍升。在這樣的課中，學(xué)生對概念的理解程度，將深刻影響到后期學(xué)生解決問題、創(chuàng)造新知的水平。本節(jié)課設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處在于：一、學(xué)生在學(xué)習(xí)中，不斷經(jīng)歷“破”與“立”的過程，層層剝離概念的非本質(zhì)屬性，建立新的數(shù)量關(guān)系模型。二、處處為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊?；凇氨丁钡母拍睿匀坏芈?lián)系到字母符號意識的滲透、標(biāo)準(zhǔn)量的變化、分?jǐn)?shù)（小數(shù)）倍的建立、正反比例的涉及等等?！扒坝谢A(chǔ)，中有突破，后有發(fā)展”是新思維數(shù)學(xué)的一貫理念，我們一線教師完全可以利用這樣的理念，創(chuàng)造性地組織和改編學(xué)習(xí)材料，邊破邊立，融通教學(xué)，讓概念教學(xué)更加扎實(shí)有效，真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展！