梁柱，陳繼，鐘晶，孟存喜，李偉，蒲浩

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙410075；2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙410075；3.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安710043；4.軌道交通工程信息化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710043；5.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢430063)

地鐵二線縱斷面的幾何形位不僅要滿足設(shè)計(jì)規(guī)范中的幾何常規(guī)約束，還要與基線全線重要工點(diǎn)位置相適應(yīng)，如二線設(shè)計(jì)時(shí)，基線車站，橫向聯(lián)絡(luò)通道及排水泵房等選址定位均已完成，限制了二線縱斷面的空間位置，構(gòu)成增強(qiáng)約束。人工設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)計(jì)人員必須耗費(fèi)大量的精力逐個(gè)坡段進(jìn)行手工調(diào)整，而且調(diào)整過程中會(huì)產(chǎn)生連鎖效應(yīng)，需要反復(fù)迭代才能產(chǎn)生滿足所有約束的縱坡方案，嚴(yán)重制約設(shè)計(jì)效率，因此迫切需要借助計(jì)算機(jī)開展輔助設(shè)計(jì)，其主要難點(diǎn)為：1)全線坡段數(shù)量眾多，相鄰坡段的調(diào)整互相影響，會(huì)改變坡段長度及變坡點(diǎn)位置，當(dāng)不能滿足約束要求時(shí)需要重復(fù)返工；2)排水泵房與橫向聯(lián)絡(luò)通道設(shè)置在相鄰車站間最低點(diǎn)，要求基線與二線最低點(diǎn)高程一致且能垂直連接，而該位置處于豎曲線上，需要反復(fù)試算調(diào)整方能滿足要求。因此，地鐵二線縱斷面設(shè)計(jì)需耗費(fèi)大量時(shí)間與精力進(jìn)行方案調(diào)整以滿足規(guī)范等常規(guī)約束以及重要結(jié)構(gòu)物聯(lián)合設(shè)置等增強(qiáng)約束，迫切需要借助高效的計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)對地鐵二線縱斷面進(jìn)行高效的精細(xì)化調(diào)整，自動(dòng)產(chǎn)生高質(zhì)量的地鐵二線縱斷面方案供設(shè)計(jì)者參考及進(jìn)一步優(yōu)化，以提高設(shè)計(jì)效率。軌道線路縱斷面設(shè)計(jì)一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，現(xiàn)有研究主要是將優(yōu)化算法[1?6](Fwa,2002;Goktepe,2009;Hare,2015;Ghanizaneh,2018;Booto,2019;Pu,2019)應(yīng)用于縱斷面優(yōu)化過程，以節(jié)能環(huán)保，經(jīng)濟(jì)適用，安全舒適等作為優(yōu)化目標(biāo)，并不考慮與既有結(jié)構(gòu)的匹配關(guān)系，約束條件與本文所研究問題存在較大差異。開展地鐵二線縱斷面自動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，要最大限度的產(chǎn)生適用范圍廣的設(shè)計(jì)方案，滿足復(fù)雜的約束條件以減輕設(shè)計(jì)者的二次優(yōu)化負(fù)擔(dān)。因此，地鐵二線縱斷面自動(dòng)設(shè)計(jì)不僅包含《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]對縱斷面坡度限值、坡段長度及豎曲線半徑等常規(guī)約束，還包含車站，橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房結(jié)構(gòu)聯(lián)合設(shè)置等多項(xiàng)增強(qiáng)約束。對此，許多學(xué)者為提高方案設(shè)計(jì)質(zhì)量和效率，對地鐵縱斷面調(diào)整方法進(jìn)行了研究:如李洪強(qiáng)[8]總結(jié)了坡段長與坡度值兩者的疊加調(diào)整方法；任碧能[9]采用“上下限法”協(xié)同變坡點(diǎn)與豎曲線半徑關(guān)系；葉霞飛等[10]對地鐵縱斷面調(diào)整的常規(guī)方法進(jìn)行了概括；黃鉑清[11]總結(jié)了以變坡點(diǎn)里程、高程為設(shè)計(jì)變量的縱斷面調(diào)整模型，并對模型的約束條件進(jìn)行了細(xì)致分析。以上針對縱斷面幾何線形的研究能很好解決坡度，坡段長度及豎曲線半徑等常規(guī)約束下的線路調(diào)整問題，但對于縱斷面沿線重要工程結(jié)構(gòu)物的設(shè)置未作討論。有關(guān)車站及排水泵房的研究包括郭俊義[12]指出了地鐵車站所處坡段的設(shè)計(jì)要求；李睿等[13]闡述了地鐵縱斷面基線與二線共同設(shè)置排水泵房的配合標(biāo)準(zhǔn)；但是這類研究也僅僅局限于結(jié)構(gòu)物所在坡段，不考慮相鄰坡段相互影響問題，未將規(guī)范限定的常規(guī)約束和因地鐵基線方案設(shè)計(jì)，重要工點(diǎn)選址所產(chǎn)生的增強(qiáng)約束進(jìn)行組合。劉志雄[14]論述了區(qū)間V形變坡點(diǎn)最低點(diǎn)的軌面高程計(jì)算原理，為計(jì)算最低點(diǎn)位置提供了數(shù)學(xué)方法，但這種方法是基于確定的兩側(cè)坡段計(jì)算最低點(diǎn)的正向過程，并非本文所面臨的基于最低點(diǎn)數(shù)據(jù)調(diào)整兩側(cè)坡段的反向過程。針對以上問題，本文提出負(fù)反饋線性轉(zhuǎn)化求交法，將復(fù)雜的調(diào)整過程分治于“參照法初始化—常規(guī)約束調(diào)整—增強(qiáng)約束調(diào)整—負(fù)反饋檢測與調(diào)整”4個(gè)階段，主要過程如下：

1)參照地鐵基線縱斷面，快速構(gòu)建二線初始縱斷面，并按照豎曲線半徑>坡度值>坡段長的優(yōu)先級(jí)順序，對縱斷面幾何線形進(jìn)行有序檢測與調(diào)整，生成滿足規(guī)范約束的初步調(diào)整縱斷面；

2)以車站為界，劃分單位區(qū)間。對車站基線與二線站臺(tái)范圍軌面平行等高約束進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)；

3)利用相鄰坡段與豎曲線幾何關(guān)系V形坡變坡點(diǎn)里程及軌面高程，將精細(xì)化的人工調(diào)整過程進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá)，充分滿足合設(shè)橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房約束，解決了于豎曲線最低點(diǎn)聯(lián)合設(shè)置排水泵房及聯(lián)絡(luò)通道問題；

4)引入負(fù)反饋機(jī)制再次對各常規(guī)約束進(jìn)行后處理，保證最終方案的有效性。

1 地鐵二線縱斷面約束

地鐵二線縱斷面設(shè)計(jì)綜合了《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]所限定的常規(guī)約束和重要工點(diǎn)定位(車站，橫向聯(lián)絡(luò)通道及排水泵房)引入的增強(qiáng)約束。

1.1 縱斷面常規(guī)約束

規(guī)范對地鐵縱斷面所作約束主要包括豎曲線半徑R，坡度上、下限值imin和imax及最小坡段長為Lmin，應(yīng)分別滿足如下規(guī)定：

式中：Hk，ik，Rk，Tk和Sk分別為第k個(gè)變坡點(diǎn)軌面高程、坡度值、豎曲線半徑、切線長及連續(xù)里程，變坡點(diǎn)號(hào)k取值范圍?k=1,2,…,n。Ly為遠(yuǎn)期列車長。

1.2 地鐵二線縱斷面增強(qiáng)約束

為保留基線與二線站臺(tái)共用車站設(shè)備的條件，向設(shè)計(jì)人員提供更為有利的優(yōu)化空間，要求站臺(tái)范圍軌面平行等高，以達(dá)到便利旅客乘降，節(jié)約用地，減少工程投資等目標(biāo)[15]。并且，將橫向聯(lián)絡(luò)通道與排水泵房合設(shè)于V形坡的最低點(diǎn)，并實(shí)現(xiàn)基線與二線聯(lián)合設(shè)置需求，以達(dá)到區(qū)間匯水，橫向排水和緊急情況下消防、疏散等目的[14]。

1.2.1 站臺(tái)范圍軌面平行等高約束

地鐵基線與二線在平縱面在車站位置匯集，為保留共用車站設(shè)備的條件，在站臺(tái)范圍內(nèi)，任意橫斷面上基線與二線軌面平行等高，即滿足：

式中：Hal及Hbl分別表示車站基線與二線在l里程處軌面高程值，Lj與Lc為進(jìn)出站站臺(tái)連續(xù)里程。

1.2.2 橫向聯(lián)絡(luò)通道與泵房合設(shè)

橫向聯(lián)絡(luò)通道與泵房具有溝通基線與二線的功能[16]，設(shè)置時(shí)要求橫向聯(lián)絡(luò)通道中軸線與基線及二線在平面上相交，并垂直于基線，嚴(yán)格控制其所處位置在基線及二線縱斷面上軌面高程一致。

根據(jù)基線縱斷面方案，以相鄰車站中心為界，劃分線路單位區(qū)間，并按圖1所示，以V形坡變坡點(diǎn)k連續(xù)里程Sk，設(shè)計(jì)高程Hk，豎曲線半徑Rk及兩側(cè)坡度值ik-1與ik為已知條件，求解V形坡最低點(diǎn)Ak連續(xù)里程ALk,2j-1及設(shè)計(jì)高程AHk,2j。

圖1 V形坡最低點(diǎn)計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation of the lowest point of V-shaped slope

根據(jù)兩側(cè)坡段坡度絕對值大小關(guān)系，V形坡最低點(diǎn)連續(xù)里程ALk,2j-1及設(shè)計(jì)高程AHk,2j按照式（6）計(jì)算。

以各相鄰車站中心為界，將全線劃分為m個(gè)單位區(qū)間，利用式(6)～(8)計(jì)算各單位區(qū)間V形坡最低點(diǎn)連續(xù)里程及軌面高程，并整合形成控制

式中：下標(biāo)m,n表示單位區(qū)間個(gè)數(shù)及單個(gè)區(qū)間V形坡最低點(diǎn)數(shù)量最大值。為滿足合設(shè)橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房需要，如圖2所示，基線與二線縱斷面V形坡最低點(diǎn)軌面高程相等。并且，基線平面與二線平面V形坡最低點(diǎn)位置連線(橫線聯(lián)絡(luò)通道中軸線)垂直于基線平面，記為映射關(guān)系：

圖2 基線與二線平縱斷面V形坡最低點(diǎn)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the lowest point of V-shaped slope between the baseline and the second-line horizontal and vertical alignments

為保持基線與二線縱斷面各V形坡最低點(diǎn)軌面高程一致，則要求基線縱斷面任意區(qū)間任意V形坡最低點(diǎn)高程AH2j與二線對應(yīng)區(qū)間及V形坡最低點(diǎn)BH2j相等：

根據(jù)式(10)～(11)整理得到與Am×2n對應(yīng)的二線約束控制矩陣Bm×2n。

Am×2n與Bm×2n為 同 型 矩 陣，其 相 關(guān) 性 可 根 據(jù)奇、偶列向量進(jìn)行分別表述：

奇數(shù)列：二線V形坡最低點(diǎn)所屬二線平面位置在基線平面的投影里程即基線V形坡最低點(diǎn)連續(xù)里程；

偶數(shù)列：基線與二線縱斷面對應(yīng)單位區(qū)間各V形坡最低點(diǎn)軌面高程相等。

2 地鐵二線縱斷面自動(dòng)生成與增強(qiáng)約束調(diào)整模型

增強(qiáng)約束條件下地鐵二線縱斷面自動(dòng)生成按照“參照法初始化—常規(guī)約束調(diào)整—增強(qiáng)約束調(diào)整—負(fù)反饋檢測與調(diào)整”實(shí)現(xiàn)分步設(shè)計(jì)，最終自動(dòng)生成能滿足工程實(shí)際約束條件的縱斷面方案，其實(shí)現(xiàn)流程如圖3所示。

圖3 增強(qiáng)約束條件下地鐵二線縱斷面自動(dòng)生成方法Fig.3 Research idea of automatic generation method of second-line vertical section of metro under enhanced constraints

2.1 二線初始縱斷面

首先參照基線縱斷面數(shù)據(jù)，構(gòu)建二線縱斷面初始方案。如圖4所示，根據(jù)基線縱斷面變坡點(diǎn)k連續(xù)里程Sk鎖定其在平面線位上的大地坐標(biāo)(N,E)，并沿基線平面法線方向求解其在二線的投影點(diǎn)(N′,E′)，在二線平面方案中計(jì)算點(diǎn)(N′,E′)處的連續(xù)里程，并將其作為二線縱斷面k2變坡點(diǎn)連續(xù)里程Sk2，保證(N′,E′)點(diǎn)與(N,E)點(diǎn)設(shè)計(jì)高程相等，并以基線各變坡點(diǎn)豎曲線半徑初始化二線各變坡點(diǎn)豎曲線半徑，形成地鐵二線初始縱斷面。

圖4 參照基線初始化二線Fig.4 Refer to the baseline and initialize the second-line

2.2 常規(guī)約束調(diào)整

對二線初始縱斷面各變坡點(diǎn)常規(guī)約束進(jìn)行檢測與調(diào)整。對原始二線數(shù)據(jù)逐步進(jìn)行豎曲線半徑，坡度值及坡段長的約束檢測，并對違規(guī)內(nèi)容進(jìn)行更新調(diào)整，最終達(dá)成常規(guī)約束，執(zhí)行流程如圖5所示。

圖5 二線初始縱斷面常規(guī)約束調(diào)整流程圖Fig.5 Flow chart of conventional constraints adjustment of second-line

2.3 增強(qiáng)約束調(diào)整

2.3.1 站臺(tái)范圍軌面平行等高

地鐵車站站臺(tái)范圍內(nèi)，將基線與二線的軌面進(jìn)行平行等高處理可為共用站臺(tái)設(shè)備提供有利條件。由于車站站臺(tái)范圍各斷面軌面高程值線性連續(xù)變化，因此通過保證基線與二線車站站臺(tái)中心里程處軌面高程及所在坡段坡度值一致，可將該約束線性化，如圖6所示，即：

圖6 車站坡段約束條件示意圖Fig.6 Schematic diagram of constraints on the slope within the station

2.3.2 橫向聯(lián)絡(luò)通道與泵房合設(shè)

為滿足同型矩陣Am×2n及Bm×2n奇偶列向量各元素對應(yīng)約束，要利用V形變坡點(diǎn)的最低點(diǎn)數(shù)據(jù)(BLk,2j-1,BHk,2j)確定V形坡變坡點(diǎn)連續(xù)里程及設(shè)計(jì)高程數(shù)據(jù)(Sk,Hk)。如圖7所示，已知目標(biāo)變坡點(diǎn)(Sk,Hk)兩側(cè)相鄰變坡點(diǎn)(x2,y2)，(x3,y3)，V形坡變坡點(diǎn)的最低點(diǎn)(BLk,2j-1,BHk,2j)及豎曲線半徑Rk，首先根據(jù)式(13)確定豎曲線圓心(x1,y1)：

圖7 最低變坡點(diǎn)求交示意圖Fig.7 Schematic diagram of the lowest vertical intersection point

據(jù)半徑和圓心可確定豎曲線圓，過變坡點(diǎn)(x2,y2)與(x3,y3)可求解與該圓相切的2條切線斜率K1與K2，并根據(jù)直線相交，快速計(jì)算目標(biāo)變坡點(diǎn)(Sk,Hk)。

過點(diǎn)(x2,y2)與豎曲線圓相切的直線斜率K1根據(jù)式(14)確定：

根據(jù)圖7所示幾何關(guān)系，K1取值應(yīng)為非正值中的較大值，表示最接近V形坡最低點(diǎn)的坡度值。同理可得，過變坡點(diǎn)(x3,y3)的切線斜率K2，此時(shí)K2應(yīng)取非負(fù)值中的較小值才具有實(shí)際工程意義。

對K1及K2進(jìn)行整合可得統(tǒng)一表達(dá)式：

根據(jù)圖7所示最低點(diǎn)兩側(cè)變坡點(diǎn)位置確定K1及K2取值，可得兩側(cè)坡段所在直線表達(dá)式：

則2條直線交點(diǎn)即為變坡點(diǎn)(Sk,Hk)：

式(13)～(19)展示了獲取單位區(qū)間單個(gè)V形坡變坡點(diǎn)數(shù)據(jù)的過程，為進(jìn)一步提高求解效率，利用二線V形坡約束控制矩陣Bm×2n，按式(13)快速構(gòu)建全線V形坡豎曲線圓心矩陣Om×n。

依據(jù)豎曲線圓心矩陣Om×n與各V形坡兩側(cè)相鄰變坡點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)對二線各單位區(qū)間V形坡變坡點(diǎn)數(shù)據(jù)的批量計(jì)算與更新，使快速滿足合設(shè)橫向聯(lián)絡(luò)通道與泵房約束。但調(diào)整會(huì)導(dǎo)致V形坡兩側(cè)坡段坡度與坡段長度發(fā)生變化，對此，引入負(fù)反饋機(jī)制進(jìn)行調(diào)整，返回圖3所示第2階段進(jìn)行迭代檢測，最終自動(dòng)生成滿足1.1及1.2各項(xiàng)約束的地鐵二線縱斷面方案。

3 算例驗(yàn)證

本文以廈門地鐵6號(hào)線為例，自龍江明珠站—新店仔站，全長57 km，以全線40個(gè)車站中心為界，可劃分為39個(gè)單位區(qū)間。為詳細(xì)介紹負(fù)反饋線性轉(zhuǎn)化求交法的流程與優(yōu)勢，本文研發(fā)了結(jié)合ObjectARX編程，采用自定義實(shí)體技術(shù)對Auto‐CAD進(jìn)行二次開發(fā)的原型系統(tǒng)，基于上述方法分別構(gòu)建地鐵基線與二線實(shí)體，以社頭站—林埭西站單位區(qū)間為研究區(qū)間，對地鐵二線縱斷面自動(dòng)生成過程進(jìn)行解析。

3.1 縱斷面坡段約束調(diào)整

研究區(qū)間基線縱斷面方案如圖8所示，長約3 094 m，共計(jì)5個(gè)變坡點(diǎn)。由于區(qū)間內(nèi)存在2個(gè)連續(xù)V形變坡點(diǎn)，構(gòu)成W形坡，則在該區(qū)間內(nèi)為滿足合設(shè)橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房約束，需要結(jié)合A~E5個(gè)變坡點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，其最終調(diào)整目標(biāo)即按式(6)～(8)計(jì)算所得最低點(diǎn)軌面高程：

圖8 基線縱斷面方案Fig.8 Baseline profile scheme

按圖3所示調(diào)整流程，首先生成如圖9所示二線初始縱斷面，標(biāo)紅部分坡段長，坡度值方面與基線縱斷面表現(xiàn)出直觀的差異。然后依據(jù)規(guī)范對常規(guī)約束進(jìn)行檢測與調(diào)整，自動(dòng)生成圖10所示縱斷面，對滿足坡段長度要求的各坡段進(jìn)行坡度調(diào)整，使之滿足豎曲線設(shè)置要求：

圖9 二線初始縱斷面Fig.9 Initial profile of second-line

如圖10所示縱斷面，車站坡段坡度值與基線呈現(xiàn)較大差異，為滿足站臺(tái)范圍軌面平行等高約束，需按2.3.2所述對車站段進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果如圖11所示。在保持縱斷面初步調(diào)整成果的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了與二線車站相關(guān)坡段坡度值的調(diào)整。此時(shí)，圖11所示各V形坡最低點(diǎn)軌面高程：

圖10 顧及常規(guī)約束初步調(diào)整縱斷面Fig.10 Preliminary adjustment of longitudinal section with conventional constraints

圖11 車站坡段調(diào)整Fig.11 Adjustment of station slope

與式(21)V形坡B，D最低點(diǎn)軌面高程數(shù)據(jù)相比，誤差達(dá)到分米級(jí)，必須按照2.3.2調(diào)整原則對V形坡變坡點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整。W形坡在人工調(diào)整時(shí)存在坡段間耦合約束，難以達(dá)到工程運(yùn)用要求，新方法以V形坡為基礎(chǔ)，將W形坡，甚至多個(gè)V形坡組成的廣義W形坡視為分段V形坡，固定V形坡兩端相鄰變坡點(diǎn)，采用分段線性求交的思想，實(shí)現(xiàn)對廣義W形坡的分段處理，生成圖12所示，滿足增強(qiáng)約束條件的縱斷面。

此時(shí)二線V形坡變坡點(diǎn)B，D最低點(diǎn)軌面高程如下：

結(jié)果表明，V形坡最低點(diǎn)軌面高程，完全滿足區(qū)間合設(shè)橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房約束。

最后，為保證最終方案合理有效，引入負(fù)反饋機(jī)制再次進(jìn)行約束檢測，成功則以圖12縱斷面作為自動(dòng)設(shè)計(jì)方案為設(shè)計(jì)者提供參考，否則返回圖3所示第2階段進(jìn)行迭代調(diào)整，以達(dá)到最終要求。

圖12 滿足增強(qiáng)約束條件縱斷面Fig.12 Vertical alignment meeting the enhanced constraints

3.2 平面投影關(guān)系調(diào)整

式(10)所示平面投影映射關(guān)系，可根據(jù)基線及二線平面方案，如圖13所示得到直接檢核。至此，基線與二線平縱斷面滿足了《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]的常規(guī)約束及重要工點(diǎn)定位的增強(qiáng)約束的要求。

圖13 社頭—林埭西區(qū)間平面方案Fig.13 Horizontal alignment of Shetou-Lindai west area

4 結(jié)論

1)建立了縱面幾何線形常規(guī)約束調(diào)整算法，可參照設(shè)計(jì)基線縱斷面，自動(dòng)生成符合規(guī)范幾何常規(guī)約束的二線初始縱斷面。

2)建立了站臺(tái)范圍二線與基線軌面平行等高約束的數(shù)學(xué)表達(dá)，并制定坡度調(diào)整策略，實(shí)現(xiàn)了雙線站臺(tái)范圍內(nèi)的自動(dòng)平行等高縱斷面設(shè)計(jì)。

3)推導(dǎo)V形坡與豎曲線的幾何調(diào)整關(guān)系，并提出了廣義W形坡分段處理思想，據(jù)此構(gòu)建了分坡段調(diào)整策略，破解了基線與二線橫向聯(lián)絡(luò)通道及泵房自動(dòng)聯(lián)合設(shè)置難題。

4)基于本文的理論與方法，研發(fā)了軌道交通二線縱坡自動(dòng)生成模塊。實(shí)例表明該方法可實(shí)現(xiàn)常規(guī)及增強(qiáng)等復(fù)雜約束條件下二線縱坡方案的自動(dòng)生成，使設(shè)計(jì)人員擺脫繁瑣的二線坡段調(diào)整，顯著提高了設(shè)計(jì)效率。