陳萬(wàn)通，汪竹青

(1.中國(guó)民航大學(xué)民航航班廣域監(jiān)視與安全管控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300；2.中國(guó)民航大學(xué)天津市智能信號(hào)與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300)

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)包括單點(diǎn)定位和相對(duì)定位兩大類(lèi)，其中單點(diǎn)定位主要有精密單點(diǎn)定位(precise point positioning, PPP)和標(biāo)準(zhǔn)單點(diǎn)定位(standard single-point positioning, SPP)，相對(duì)定位主要有實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位(real-time kinematic positioning, RTK)。RTK依賴(lài)于基站提供的差分改正信息，這很大程度上限制了其在基站數(shù)量有限甚至沒(méi)有基站區(qū)域中的應(yīng)用[1]。相比之下，SPP和PPP具有無(wú)需基準(zhǔn)站、使用靈活、作用區(qū)域廣等優(yōu)勢(shì)。雖然PPP基于載波相位測(cè)量實(shí)現(xiàn)了高精度定位，但是其收斂時(shí)間較長(zhǎng)，仍然是限制其實(shí)際應(yīng)用的技術(shù)瓶頸[2]。另外，在具有挑戰(zhàn)性的環(huán)境下，如城市或者室內(nèi)區(qū)域等，GNSS接收機(jī)極易產(chǎn)生載波相位周跳甚至無(wú)法定位，這將導(dǎo)致PPP功能不可用。因此在某些具有高魯棒性要求的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，SPP仍然是最有效的導(dǎo)航技術(shù)[3]。但是，SPP可獲得的定位精度僅為米級(jí)，而且其垂直方向上的定位精度顯著小于水平方向，對(duì)于分米甚至厘米級(jí)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)精度仍然不能滿足實(shí)際需求。

學(xué)者們提出了一些能夠有效改善SPP的定位精度的方法。文獻(xiàn)[4]提出利用增強(qiáng)系統(tǒng)，如星基增強(qiáng)系統(tǒng)(satellite-based augmentation system, SBAS)和地基增強(qiáng)系統(tǒng)(ground-based augmentation system, GBAS)提供的誤差改正信息去提高SPP的定位精度。但是其構(gòu)造成本非常高而且應(yīng)用地域受限。文獻(xiàn)[5-7]提出通過(guò)消除誤差來(lái)提高SPP定位精度。其中，文獻(xiàn)[5]研究了電離層誤差對(duì)衛(wèi)星定位精度的影響，對(duì)比了不同模型下的衛(wèi)星定位精度，結(jié)果表明平均定位誤差在2～4 m范圍內(nèi)。文獻(xiàn)[6]基于網(wǎng)格產(chǎn)品和對(duì)流層模型，研究了如何利用GNSS基準(zhǔn)站先驗(yàn)估計(jì)對(duì)流層誤差的方法，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)得出利用地面GNSS參考站反演對(duì)流層延遲的方法具有很大潛力。隨著GNSS技術(shù)的發(fā)展，衛(wèi)星軌道偏差、差分碼偏差以及衛(wèi)星和接收機(jī)鐘偏差等均可有效消除[7]。另外，文獻(xiàn)[8]研究了接收機(jī)鐘偏差模型并提出一種鐘偏預(yù)測(cè)方法，通過(guò)在衛(wèi)星信號(hào)遮擋嚴(yán)重情況下的定位實(shí)驗(yàn)指出，針對(duì)可視衛(wèi)星較少的情況下，接收機(jī)鐘偏差預(yù)測(cè)在SPP中起著關(guān)鍵作用。但是上述研究主要集中在通過(guò)消除SPP定位過(guò)程中的誤差來(lái)改善定位精度。

為了進(jìn)一步提高SPP定位精度，近年來(lái)，文獻(xiàn)[9-11]發(fā)現(xiàn)一些場(chǎng)景中存在的先驗(yàn)信息可用于增強(qiáng)定位性能。這些先驗(yàn)約束信息不僅應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)單點(diǎn)定位，在精密定位領(lǐng)域也受到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[9]利用道路幾何模型約束進(jìn)行導(dǎo)航定位，將車(chē)輛狀態(tài)投影到地圖段上，通過(guò)城市環(huán)境下的實(shí)驗(yàn)表明約束后的定位精度改善31.4%。文獻(xiàn)[10]提出一種先驗(yàn)海平面高度約束PPP方法，將高度方程進(jìn)行微分處理線性化后，作為新增的觀測(cè)方程，通過(guò)海上動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)分析了附加高度約束的定位性能，結(jié)果表明附加約束的定位精度在垂直方向上改善79%，3D方向上改善67%，并且定位魯棒性增強(qiáng)。文獻(xiàn)[11]將先驗(yàn)高度信息作為準(zhǔn)觀測(cè)方程補(bǔ)充到SPP觀測(cè)模型中，利用實(shí)驗(yàn)分析了高度約束對(duì)衛(wèi)星幾何構(gòu)型的影響并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示水平方向定位精度提高了42.84%。文獻(xiàn)[10-11]都是從線性化角度應(yīng)用高度約束，得到的估計(jì)值僅近似滿足非線性約束?，F(xiàn)提出一種二次型高度約束的SPP定位方法，采用非線性形式應(yīng)用高度約束方程，并基于實(shí)測(cè)的GPS(global positioning system)衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的定位性能，一定程度上改善了SPP的定位精度。

1 SPP數(shù)學(xué)模型

1.1 消電離層組合數(shù)學(xué)模型

基于雙頻偽距的消電離層(ionosphere-free, IF)組合觀測(cè)方程[12]可表示為

pi=ρi+cdtr-cdti+Ti+bpi-Bpi+ε(pi)

(1)

式(1)中：pi為雙頻偽距IF組合偽距觀測(cè)值；ρi為衛(wèi)星i與用戶接收機(jī)之間的幾何距離；dtr和dti分別為接收機(jī)和衛(wèi)星鐘偏差；c為真空中光速；Ti為對(duì)流層延遲；bpj和Bpj分別為接收機(jī)端和衛(wèi)星端的硬件延遲偏差；ε(pi)為觀測(cè)噪聲和未被模型化的誤差(多徑效應(yīng)也包含其中)。

對(duì)于上述偽距觀測(cè)模型，電離層已經(jīng)通過(guò)IF組合的方式消除。為了提高偽距單點(diǎn)定位精度，應(yīng)進(jìn)一步消除其他誤差項(xiàng)。其中，對(duì)流層延遲項(xiàng)采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)改正，衛(wèi)星位置偏差由(international GNSS service, IGS)提供的衛(wèi)星精密軌道產(chǎn)品改正。相對(duì)論效應(yīng)、地球自轉(zhuǎn)、固體潮、大洋潮汐等引起的誤差采用相應(yīng)的模型加以改正。通常，與衛(wèi)星相關(guān)的硬件延遲會(huì)整合到衛(wèi)星鐘差項(xiàng)中，由IGS提供的衛(wèi)星精密鐘差產(chǎn)品改正，與接收機(jī)相關(guān)的硬件延遲會(huì)整合到接收機(jī)鐘差項(xiàng)中，其表達(dá)式為

(2)

式(2)中：ζ為整合了衛(wèi)星端硬件延遲項(xiàng)的衛(wèi)星鐘偏差；μ為整合了接收機(jī)端硬件延遲項(xiàng)的接收機(jī)鐘偏差。因此，經(jīng)誤差改正后且不考慮觀測(cè)噪聲的情況下，式(1)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

pi=ρi+μ

(3)

1.2 SPP參數(shù)估計(jì)

偽距觀測(cè)方程的閉式解方法不同于傳統(tǒng)求解方法，不用進(jìn)行迭代運(yùn)算。假設(shè)有n(n≥5)顆可視衛(wèi)星，且第一顆衛(wèi)星高度角最大，設(shè)為參考星。將參考星對(duì)應(yīng)的偽距觀測(cè)方程分別與其他n-1顆衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的偽距觀測(cè)方程進(jìn)行作差，得到n-1個(gè)關(guān)于未知參數(shù)(x,y,z,μ)的線性方程，該組方程分別表示包含了兩個(gè)橢球相交部分的平面[13]。因此，得到SPP觀測(cè)方程的線性形式，可建立方程為

l=Er-emμ+v

(4)

式(4)中：v為觀測(cè)噪聲；l為測(cè)量向量；E為設(shè)計(jì)矩陣；r=[x,y,z]T為接收機(jī)位置坐標(biāo)向量；em=[1,1,…,1]T，m=n-1；μ為接收機(jī)鐘差參數(shù)。

測(cè)量向量可表示為

(5)

設(shè)計(jì)矩陣E可表示為

(6)

式(6)中：αj=2(x1-xj)，βj=2(y1-yj)，γj=2(z1-zj)，j=1,2,…,n-1。

(7)

式(7)中：Im-1為m-1階單位矩陣。

將式(4)兩邊同時(shí)左乘正交變換矩陣P，得

(8)

僅提取式(8)中不含接收機(jī)鐘差項(xiàng)部分，則得到關(guān)于接收機(jī)位置三維坐標(biāo)參數(shù)的線性觀測(cè)方程，即

(9)

式(9)可改寫(xiě)為

(10)

其最小二乘解以及方差協(xié)方差矩陣為

(11)

2 二次型等式約束最小二乘估計(jì)

2.1 高度約束

在一些實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，待估參數(shù)之間存在潛在的函數(shù)關(guān)系，而這些函數(shù)關(guān)系能夠加強(qiáng)定位的魯棒性，改善定位精度。

假設(shè)獲取的接收機(jī)先驗(yàn)高度h信息不存在誤差(相對(duì)于WGS-84參考橢球的高度)，可得到二次型高度約束的橢球方程，其矩陣形式[11]表示為

rTDDTr=1

(12)

2.2 高度約束最小二乘估計(jì)

基于高度方程[式(12)]和最小二乘法，構(gòu)造二次型等式約束的最小二乘。下面從幾何和代數(shù)角度進(jìn)行分析，利用迭代方法進(jìn)行求解。

(13)

rTWr=1

(14)

圖1 搜索橢球與約束橢球關(guān)系圖

從代數(shù)角度分析，基于式(13)和式(14)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L，有

(15)

(16)

(17)

圖2 搜索過(guò)程二維平面圖

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 數(shù)據(jù)處理策略

本實(shí)驗(yàn)是以PPPH開(kāi)源程序?yàn)榭蚣?，根?jù)本文提出的附加高度約束的最小二乘算法原理對(duì)程序進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造算法實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。誤差處理主要由IGS提供的精密產(chǎn)品和經(jīng)驗(yàn)誤差模型進(jìn)行改正。接收機(jī)鐘差參數(shù)通過(guò)正交變換消除，未進(jìn)行參數(shù)求解。電離層延遲誤差通過(guò)IF觀測(cè)模型消除。海平面高度信息可通過(guò)潮汐站和FES2014潮汐模型獲取[16]，本實(shí)驗(yàn)中先驗(yàn)高度值設(shè)置為接收機(jī)的真實(shí)高度。數(shù)據(jù)處理策略具體如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)處理策略

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了評(píng)估附加高度約束的SPP算法的定位性能，本實(shí)驗(yàn)基于采集的真實(shí)GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行定位解算。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集時(shí)間為2020年1月2日07：43：52—08：43：52，采集地點(diǎn)為中國(guó)山西省太原市中北大學(xué)校園內(nèi)，并通過(guò)RTKLIB開(kāi)源軟件的PPP模式解算得到接收機(jī)真實(shí)位置坐標(biāo)(38.014 8°N,112.444 1°E, 826.733 5 m)。GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)采樣間隔為1 s。實(shí)驗(yàn)采用無(wú)約束SPP和附加高度約束SPP兩種方案進(jìn)行對(duì)比分析。

如圖3所示，可視衛(wèi)星總數(shù)在8～10之間變化，衛(wèi)星數(shù)隨觀測(cè)時(shí)間遞增，可見(jiàn)觀測(cè)期間接收機(jī)觀測(cè)質(zhì)量良好。圖4給出了整個(gè)觀測(cè)歷元間的衛(wèi)星分布天空視圖，該圖直觀地顯示了可視衛(wèi)星的方位角和高度角信息以及衛(wèi)星的PRN編號(hào)。

圖3 可視衛(wèi)星數(shù)量

圖4 衛(wèi)星分布天空視圖

以東北天3個(gè)方向的定位誤差的RMS值為評(píng)價(jià)指標(biāo)，評(píng)價(jià)各方向上SPP的定位精度。如表2所示,水平方向誤差的RMS值由1.25減小為1.09，定位精度改善12.8%；三維方向上誤差的RMS值由13.27減小為1.10，定位精度改善了91.7%。由此可見(jiàn)，SPP定位精度在兩個(gè)維度上得到了不同程度的改善。而且，無(wú)約束SPP方法的垂直方向定位精度較差，高度約束SPP不僅大大提高了U方向定位精度，還有效改善了水平方向定位精度。

表2 定位誤差的RMS統(tǒng)計(jì)

圖5和圖6分別給出了在WGS-84直角坐標(biāo)系和東北天(ENU)坐標(biāo)系下附加高度約束與無(wú)約束SPP兩種方案的定位解算誤差對(duì)比圖。如圖5所示，綠色實(shí)線表示約束后的誤差曲線，藍(lán)色虛線表示無(wú)約束的誤差線。附加高度約束的SPP定位誤差在X、Y、Z3個(gè)方向上顯著小于無(wú)約束SPP的定位誤差，并且高度約束的SPP定位誤差穩(wěn)定保持較小。如圖7所示，從E、N、U 3個(gè)方向上看，與無(wú)約束SPP方案相比，附加高度約束的SPP在U方向上定位精度改善明顯，而水平方向(E、N方向)定位精度略有所改善。

圖5 WGS-84直角坐標(biāo)系下位置估計(jì)誤差

圖6 ENU坐標(biāo)系下位置估計(jì)誤差

圖7 接收機(jī)三維位置坐標(biāo)分布散點(diǎn)圖

如圖7所示，給出了接收機(jī)3D位置估計(jì)散點(diǎn)圖。從圖7可以看出，附加高度約束SPP的靜態(tài)接收機(jī)位置估計(jì)分布具有一定的收斂性，而無(wú)約束SPP的位置分布相對(duì)發(fā)散，遠(yuǎn)離真實(shí)位置。而且，由于垂直方向的發(fā)散性，接收機(jī)參考坐標(biāo)點(diǎn)被完全覆蓋。另外，在垂直方向上，附加高度約束SPP的接收機(jī)位置分布絕大部分固定在更接近真實(shí)值的水平面上，而無(wú)約束SPP的接收機(jī)位置隨機(jī)性較大，這也體現(xiàn)了高度約束對(duì)接收機(jī)位置估計(jì)產(chǎn)生的影響。

綜上分析，與無(wú)約束SPP相比，附加高度約束的SPP算法能夠有效改善定位精度，特別是垂直方向定位精度和三維定位精度。雖然水平方定位精度改善較小，改善程度為12.8%,但是3D方向定位精度改善高達(dá)91.7%。

4 結(jié)論

利用某些場(chǎng)景下存在的先驗(yàn)高度信息提出一種高魯棒性的附加高度約束的偽距單點(diǎn)定位方法，該方法的優(yōu)勢(shì)在于以非線性方式應(yīng)用高度約束方程，進(jìn)行二次型約束的最小二乘參數(shù)估計(jì)。實(shí)際實(shí)驗(yàn)表明，與無(wú)約束SPP相比，附加高度約束對(duì)SPP的定位性能影響較大，其3D定位精度改善91.7%。因此文中給出的實(shí)際實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了該方法的有效性。