范習(xí)昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 212143)

在高考中，相比其它知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于解三角形這一內(nèi)容來(lái)說(shuō)，其?？碱}型和考查方式相對(duì)較為固定，難度也不算太大，是考生的基礎(chǔ)得分處，其重要性不言而喻.在我的教學(xué)實(shí)踐中，卻總發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生依然顯得頗為困難，失分嚴(yán)重.在近十年的各地的高考試卷中，特精選了部分經(jīng)典的高考題加以分類例析，從此類問(wèn)題的常規(guī)解題思路出發(fā)，分析和總結(jié)了一些具有規(guī)律性的東西，希望對(duì)讀者有幫助.

一、求解三角形中的角與邊或其它相關(guān)要素

(1)求A；

a2=b2+c2-2bccosA?4=b2+c2-bc,

反思總結(jié)求解三角形的某個(gè)角或者邊，是高考中解三角形?？碱}型中最為基礎(chǔ)的一類，難度一般不大，主要考查正余弦定理的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在與邊角的合理互化，出現(xiàn)多解要注意檢驗(yàn)取舍.一些高考題中還會(huì)考查三角形的外接圓的半徑或者面積公式，但學(xué)生只要用對(duì)公式，有一定的轉(zhuǎn)化能力還是可以順利求解的.

(1)求△ABD的面積.

(2)若∠BAC=120°,求AC的長(zhǎng).

練一練A答案：

2.(1)由題意，∠BDA=120°

在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°

即28=16+AD2+4AD?AD=2或AD=-6(舍)，

二、判斷三角形的形狀

例4在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，若c=2acosB,則三角形一定是( ).

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等邊三角形

解析∵c=2acosB,由正弦定理c=2RsinC,a=2RsinA,∴sinC=2sinAcosB

∵A,B,C為△ABC的內(nèi)角，∴sinC=sin(A+B),A,B∈(0,π),

∴sin(A+B)=2sinAcosB,sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得sin(A-B)=0,

∴A-B=0,即A=B.故△ABC一定是等腰三角形.故選C.

例5 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且b2+c2=a2+bc，若sinB·sinC=sin2A,則△ABC的形狀是( ).

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等邊三角形 D.腰直角三角形

反思總結(jié)判斷三角形的形狀是高考中解三角形中常見(jiàn)的題型，頻率很高，由于都是涉及三角形的核心知識(shí)并且起點(diǎn)低深受命題者的青睞.解題的關(guān)鍵是將題目的條件一般是含有邊和三角函數(shù)方程統(tǒng)一為邊或者角的形式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)就可以判斷出來(lái).值得注意的是，這類題往往會(huì)結(jié)合三角恒等變換，比如兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等等，這對(duì)考生的三角恒等變換能力提出了很高的要求.

練一練B：1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c且滿足acosB-bcosA=c，則△ABC是( ).

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

A.直角三角形 B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形 D.等邊三角形

練一練B答案：

sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sin(A-B)=sinC,

則△ABC為直角三角形，故選B.

三、求解三角形中相關(guān)要素的最值或范圍

解析在△ABC中，由角C的余弦定理可知：

例7已知△ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C，則sinB+cosB的取值范圍是____.

解析∵△ABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，

解析∵(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC,

練一練C：

練一練C答案：

反思總結(jié)求解三角形中邊、角或者面積等三角形相關(guān)要素的最值或范圍是高考解三角形題型的?？碱}型，也是讓學(xué)生感到較為困難的題型.解三角形題型的最值問(wèn)題最為本質(zhì)的方法是構(gòu)建某個(gè)角的三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求其最值或者范圍.有時(shí)也轉(zhuǎn)化為邊，這時(shí)可以利用基本不等式進(jìn)行放縮求最值，但對(duì)于求范圍來(lái)說(shuō)并不理想，這也是轉(zhuǎn)化為邊之后處理方式的最大弊端，在學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求解范圍不全的情況.彌補(bǔ)的方法是尋找邊之間的其它不等關(guān)系，比如三角形中任意兩邊之和大于第三邊等等一些邊之間的關(guān)系，再次利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮求最值.

四、基于解三角形的簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題

例9在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知m=(a,c-2b)，n=(cosC,cosA)，且m⊥n.

(1)求角A的大小；

解析(1)由m⊥n，可得m·n=0，即2bcosA=acosC+ccosA，

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)，

∵sin(A+C)=sin(π-B)=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB(2cosA-1)=0，

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，

反思總結(jié)三角函數(shù)綜合題有時(shí)以向量為背景進(jìn)行命制，比如結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與平行的充要條件、向量的數(shù)量積等等，其本質(zhì)依然是考察三角恒等變換或者三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).對(duì)于這類問(wèn)題，我們的基本策略是將向量條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角條件，即關(guān)于三角形中邊角的三角方程或者表達(dá)式，然后依照案例的方法就可以解決.

練一練D：

1.在△ABC中，AB=7,BC=5,AC=6,則AB·BC等于( ).

A.19 B.-19 C.18 D.-18

(1)求tan2A的值；

練一練D答案：

1.解析∵AB=7，BC=5，AC=6，

故選B.

2.(1)設(shè)△ABC的角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

由正弦定理知：