王 婷，吳君欽

（江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引言

未來無線通信網(wǎng)絡(luò)預(yù)計實現(xiàn)1 000 倍信息容量的增長，因此無線網(wǎng)絡(luò)的容量必須呈指數(shù)增長，才能滿足高數(shù)據(jù)速率的需求[1]。通過大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）信道編碼技術(shù)或通過縮小小區(qū)覆蓋面積的方法，只能提高有限的系統(tǒng)容量[2]。當(dāng)前蜂窩系統(tǒng)中的頻譜緊缺是提升系統(tǒng)容量的主要問題，因此未充分利用的毫米波得到了研究者的廣泛關(guān)注。毫米波的頻譜范圍為30～300 GHz，波長較小（1～10 mm），帶寬可達(dá)到10 GHz，因此允許在收發(fā)器處配置大規(guī)模天線陣列用于提供較高的波束成形增益。另外，如果結(jié)合MIMO 技術(shù)合成高方向性波束可以降低毫米波產(chǎn)生的巨大路徑損耗和降雨衰減。因此，可將其作為5G蜂窩系統(tǒng)中新頻譜的主要候選[3]。但高硬件成本與高功耗使得毫米波系統(tǒng)無法像傳統(tǒng)MIMO 技術(shù)為每一根天線配置單獨的射頻鏈路[4]。

為了解決該問題，近年來大量學(xué)者綜合數(shù)字預(yù)編碼和模擬預(yù)編碼的特點提出混合預(yù)編碼架構(gòu)，通過移相器將高維模擬預(yù)編碼與低維數(shù)字基帶預(yù)編碼相結(jié)合，可以大大減少射頻鏈路數(shù)以及系統(tǒng)功耗，并保持較好的系統(tǒng)性能[5]。同時，毫米波系統(tǒng)的預(yù)編碼結(jié)構(gòu)設(shè)計可以分解為兩個子問題，即預(yù)編碼和解碼問題[6]。而頻譜效率的最大化可通過最小化最佳全數(shù)字預(yù)編碼器和混合預(yù)編碼器之間的歐幾里德距離來近似[7]。這使得混合預(yù)編碼器的設(shè)計問題成為具有移相器施加的單位模數(shù)約束的矩陣分解[8]。

針對上述特殊問題，在文獻(xiàn)[7]中修改了毫米波大天線陣列的空間結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為稀疏重構(gòu)問題，并通過正交匹配追蹤算法求解，降低了計算復(fù)雜度。然而這種限制模擬預(yù)編碼可行空間集的解決方案，在簡化單位模數(shù)限制的模擬器件設(shè)計的同時也會導(dǎo)致系統(tǒng)性能的損失，此外提前獲取陣列響應(yīng)向量的信息也會帶來額外的開銷。文獻(xiàn)[9]中采用基于流形優(yōu)化的交替最小化算法，稱為MO?AltMin，其將單位模數(shù)成分嵌入復(fù)平面中的多個圓的乘積中，對數(shù)字預(yù)編碼與模擬預(yù)編碼進(jìn)行嵌套循環(huán)更新，這種方法雖然提高了系統(tǒng)性能，但算法復(fù)雜且求解過程中涉及Kronecker 乘積，在大矩陣下具有極高的復(fù)雜度，因此無法在實際中應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]中同時提出了通過引入數(shù)字預(yù)編碼器的正交特性，使用提取相位來實現(xiàn)模擬預(yù)編碼器更新的算法，稱為PE?AltMin。然而，PE?AltMin 算法涉及矩陣的奇異值（SVD）分解，其計算復(fù)雜度會隨著系統(tǒng)射頻鏈路的增加而增加，頻譜效率也會有所損失，屬于一個次優(yōu)方案。最后在文獻(xiàn)[10]中不采用近似的歐氏距離，而使用基于梯度的方法直接最大化可實現(xiàn)頻譜效率的方案，該方案在提高頻譜效率的同時也具有很高的計算復(fù)雜度。因此在非凸的單位模數(shù)約束下，低復(fù)雜度高性能的混合預(yù)編碼設(shè)計還有待進(jìn)一步研究。

基于上述分析，本文提出了一種基于黎曼最陡下降（RSD）法的改進(jìn)流形交替最小化算法（RSD?AltMin）。所提出的算法遵循交替最小化算法的基本思想，該算法不需要預(yù)先確定模擬預(yù)編碼器的候選集，并使用FRF和FBB結(jié)合交替優(yōu)化的單回路結(jié)構(gòu)，解決了MO?AltMin 算法中FRF和FBB交替優(yōu)化的嵌套循環(huán)結(jié)構(gòu)而導(dǎo)致的收斂速度慢的問題。同時，改進(jìn)梯度計算方法使用黎曼最陡下降避免了MO?AltMin 算法中Kronecker 乘積，從而有效地降低了算法的計算復(fù)雜度，并且擁有近乎全數(shù)字預(yù)編碼的頻譜效率。

1 系統(tǒng)模型

1.1 系統(tǒng)模型

考慮如圖1 所示的單用戶（點對點）毫米波MIMO 系統(tǒng)，其中，Ns數(shù)據(jù)流由Nt個發(fā)射天線發(fā)送和Nr個接收天線接收。發(fā)射器和接收器處的射頻鏈數(shù)量分別表示為和，其中，Ns≤≤Nt和Ns≤≤Nr。因此，接收信號可以表示為x=FRFFBBs，其中s是Ns×1 具有的符號向量。

圖1 毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)混合預(yù)編碼器

由于混合預(yù)編碼器由一個Nt×模擬射頻預(yù)編碼器FRF和一個×Ns數(shù)字基帶預(yù)編碼器FBB組成，并施加歸一化傳輸功率約束，即。因此，在窄帶信道用戶端經(jīng)過解碼器的接收信號可以表示為：

式中：ρ代表平均接收功率；H為信道矩陣；WBB是接收處數(shù)字基帶解碼器；WRF是接收處Nr×射頻模擬解碼器；n表示獨立同分布（i.i.d）并且滿足CN的噪聲向量。為簡單起見，假設(shè)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)都具有完美信道狀態(tài)信息。實際上，可以通過接收機(jī)處的信道估計準(zhǔn)確有效地獲得信道狀態(tài)信息，并通過有效的反饋技術(shù)在發(fā)射機(jī)處進(jìn)一步共享信道狀態(tài)信息[11]。當(dāng)傳輸符號遵循高斯分布時，可實現(xiàn)的頻譜效率可以表示為：

此外，模擬預(yù)編碼器用移相器實現(xiàn)，移相器只能調(diào)整信號的相位。因此，F(xiàn)RF和WRF的所有非零相都應(yīng)滿足單位數(shù)模約束，即

1.2 信道模型

由于毫米波具有巨大的空間路徑損耗和降雨衰減，其傳播壞境的特征很好地體現(xiàn)在集群信道模型上，即Saleh?Valenzuela 模型。該模型將毫米波信道矩陣描述為：

式中：γ=；Ncl和Nray表示簇的數(shù)量和每個簇中的射線數(shù)量；αil表示第i個傳播簇中第l個射線增益，假設(shè)αil是獨立同分布（i.i.d），遵循分布CN和這是滿足=NtNr的歸一化因子；另外，和代表接收和發(fā)射陣列響應(yīng)向量，其中和分別代表信號到達(dá)和離開的方位角和仰角?？紤]到的均勻正方形平面天線陣列（USPA）。因此將對應(yīng)于第i簇中第l射線的陣列響應(yīng)向量可以寫成：

式中：d和λ分別是天線間距和信號波長，0 ≤p≤和0 ≤q≤是2D 平面中天線索引。雖然此天線陣列模型用于系統(tǒng)仿真，但所提出的混合預(yù)編碼器算法也適用其他的天線陣列。

1.3 毫米波寬帶正交頻分復(fù)用系統(tǒng)

毫米波系統(tǒng)具有高損耗、高帶寬的特點，而采用正交頻分復(fù)用技術(shù)可以用于對抗毫米波系統(tǒng)中由于多徑傳播引起的快衰落，并且提高頻譜利用率。因此對于寬帶正交頻分復(fù)用系統(tǒng)混合預(yù)編碼的研究具有實際意義。

在傳統(tǒng)正交頻分復(fù)用多輸入多輸出（MIMO?OFDM）系統(tǒng)中（載波頻率低于6 GHz），其混合預(yù)編碼在頻域內(nèi)先對每個子載波進(jìn)行數(shù)字預(yù)編碼，再進(jìn)行快速傅里葉逆變換（ITTF），最后再進(jìn)行模擬預(yù)編碼。這種特殊預(yù)編碼方式也可以在寬帶毫米波MIMO?OFDM 系統(tǒng)中使用，由于模擬預(yù)編碼在ITTF 之后，而ITTF 操作會將所有的子載波信號組合在一起，所以在毫米波MIMO?OFDM 系統(tǒng)中所有的子載波信號只能共享一個公共的模擬預(yù)編碼[12]。在這個限制下，系統(tǒng)解碼后每個子載波的接收信號可以表示為：

式中：k∈[0,K-1]是子載波索引；H[k]是第k個子載波的頻域信道矩陣，表達(dá)式為：

式中：γ=是歸一化因子；K是子載波總數(shù)。

2 混合預(yù)編碼

2.1 問題描述

混合毫米波預(yù)編碼器設(shè)計可以轉(zhuǎn)化為頻譜效率表達(dá)式最大化的問題，在文獻(xiàn)[7]中指出，毫米波系統(tǒng)的頻譜效率最大化可以近似轉(zhuǎn)化為最小化混合預(yù)編碼和全數(shù)字預(yù)編碼器之間的歐幾里德距離。相應(yīng)的問題公式如下所示：

式中：Fopt代表最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼器；無約束最優(yōu)預(yù)編碼和解碼器分別由V和U的第Ns列組成，V和U是由信道的奇異值分解（SVD）導(dǎo)出的酉矩陣，即H=UΣVH；FRF和FBB是要優(yōu)化的模擬和數(shù)字預(yù)編碼器。

此外，用于減輕多徑衰落影響的多載波技術(shù)正交頻分復(fù)用系統(tǒng)的擴(kuò)展問題公式可以定義為：

式中：L是子載波的總數(shù)；l∈[0,L-1]是子載波索引；FRF[l]和FBB[l]分別表示第l個子載波的最佳數(shù)字預(yù)編碼器和基帶預(yù)編碼器。

2.2 算法描述

為了簡化算法流程，首先介紹窄帶毫米波系統(tǒng)。公式（7）本質(zhì)可以看作矩陣分解問題，其涉及兩個矩陣變量FRF和FBB，又因為FRF的所有非零元素都應(yīng)滿足單位數(shù)模約束，使得聯(lián)合優(yōu)化這兩個變量變得非常復(fù)雜。交替最小化算法可以有效地解決以上問題，其核心思想為：在固定FRF和FBB的同時交替求解FRF和FBB。所提出的算法遵循交替最小化算法的思想，優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)和改進(jìn)梯度算法，具體算法如下：

受FRF上的元素單位數(shù)模約束，即，可將FRF的矢量化表示為vec(FRF)∈，形成復(fù)雜的傾斜流形OB(m,C)，具體表達(dá)式如下：

式中：m=注意OB(m,C)相當(dāng)于m個復(fù)圓的乘積。因此，上述問題的表述變成了一個關(guān)于復(fù)雜斜流形和歐幾里德空間的問題，在概念上被轉(zhuǎn)化為搜索空間上無約束優(yōu)化問題。由此，忽略式（7）被重新表述為：

這種基于矩陣的G(FRF) 計算方法不同于依賴Fopt的矢量化和FBB的Kronecker 乘積的MO?AltMin 算法：

因此，梯度計算方式將基于Kronecker 乘積改變?yōu)榛诰仃囅喑?，大大降低了計算?fù)雜度。接下來，通過將?f(x)投影到切線空間TxOB(m,C)上，得到x處的黎曼梯度為：

式中Px是投影到TxOB(m,C) 上的投影算子。最后，第k次迭代xk更新為xk+1=Rk(-αk ξk)，其中，αk是步長，ξk∈TxOB(m,C)是從梯度f(x)導(dǎo)出的方向，ξk的推導(dǎo)取決于所使用的算法，例如黎曼最陡下降和黎曼共軛梯度[13]。Rx:TxΜ→Μ:ζ?Rx(ζ) 稱為在x處的收縮，并將切線空間TxΜ映射到Μ上，具有一個局部優(yōu)化條件，該條件保留了x處的梯度。這種情況使用循環(huán)結(jié)束后，通過將FBB=歸一化為FBB，從而滿足式（7）中約束的要求。

現(xiàn)在，通過式（11）進(jìn)一步導(dǎo)出正交頻分復(fù)用的寬帶系統(tǒng)梯度計算擴(kuò)展公式。相對于FRF的歐幾里德梯度計算公式為：

基于上述，提出基于RSD 算法具體步驟如下：

輸入：最優(yōu)預(yù)編碼器Fopt

步驟1：初始化x0；

步驟2：迭代次數(shù)k=0,1,2,…；

步驟3：將xk逆矢量化為

步驟5：使用式（12）計算歐幾里德梯度?f(xk) ；

步驟6：計算黎曼梯度ξk=

步驟7：找到步長αk，并更新xk+1=

步驟8：k=k+1，返回到步驟3；

步驟9：輸出FRF=vec-1(xk+1) ；

步驟10：輸出FBB=

此算法步驟適用于窄帶系統(tǒng)也適用于OFDM 系統(tǒng)。值得注意的是，與MO?AltMin 算法相比，該算法中和FRF的更新是相互結(jié)合的，實現(xiàn)了算法的快速收斂。

3 復(fù)雜度分析

所提出算法需要計算式（12）中的歐幾里德梯度，是影響算法計算復(fù)雜度的主要因素，而梯度計算復(fù)雜度為在文獻(xiàn)[9]中所提出的MO?AltMin 算法，主要的計算復(fù)雜度在于式（13），公式涉及Kronecker 乘積，其計算復(fù)雜度為而PE?AltMin 算法由于其每次迭代都進(jìn)行SVD 計算，其計算復(fù)雜度為綜合以上復(fù)雜度分析，MO?AltMin 的計算對于大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)來說復(fù)雜度極高，是所提出的RSD?AltMin 算法的十幾倍。在高數(shù)據(jù)流及高射頻數(shù)的計算復(fù)雜度所提出算法比PE?AltMin 算法低，在毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中具有實際價值。

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)在毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中對所提出基于RSD 的交替最小化算法性能進(jìn)行了仿真分析。仿真參數(shù)設(shè)置為：傳播環(huán)境為Ncl=5 的簇環(huán)境，Nray=10 為每簇射線數(shù)，具有拉普拉斯分布的方位角、到達(dá)角和偏離仰角，平均角度均勻分布在[]0,2π 上，角度擴(kuò)展為10°。實驗假設(shè)L=128 的多載波情況，并且天線陣列以半波長距離分離，所以模擬結(jié)果使用平均超過1 000 信道實現(xiàn)。所有的實驗都是在一臺4.0 GHz、64 GB 內(nèi)存的英特爾酷睿i7 電腦上用Matlab 編程實現(xiàn)。

為驗證算法在低信噪比（Signal?to?Noise Ratio，SNR）下頻譜效率的優(yōu)越性，圖2 將所提出的算法與MO?AltMin 算法、OMP 算法、PE?AltMin 算法和最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼器在不同參數(shù)下進(jìn)行了比較。

圖2 相同信噪比下不同預(yù)編碼算法頻譜效率比較

圖2a）顯示出天線陣列數(shù)(Nt,Nr)=(144,36)時，射頻鏈路數(shù)NRF=6、數(shù)據(jù)流Ns=4 時，相同信噪比下不同混合預(yù)編碼方案所獲得的頻譜效率的比較。由圖2a）可知，OMP 算法的頻譜效率最低，MO?AltMin 算法與PE?AltMin 算法次之，而所提出的算法即使在射頻鏈路有限的情況下也能夠逼近最優(yōu)的數(shù)字預(yù)編碼器。圖2b）將天線數(shù)設(shè)置為(Nt,Nr)=(256,64)，在保持?jǐn)?shù)據(jù)流Ns=6，增加射頻鏈路數(shù)NRF=12。由圖2b）對比圖2a）可看出，所有算法的頻譜效率都有所提高，而提出的算法更接近最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼的頻譜效率，這是OMP 算法、MO?AltMin 算法及PE?AltMin 算法無法實現(xiàn)的。

為進(jìn)一步驗證系統(tǒng)在高射頻數(shù)下，系統(tǒng)性能的高頻譜效率，圖3 將提出的算法與MO?AltMin 算法、OMP 算法、PE?AltMin 算法及最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼器在不同射頻下的頻譜效率進(jìn)行了比較。

圖3a），圖3b）分別顯示出了天線陣列數(shù)為(Nt,Nr)=(144,36)和(Nt,Nr)=(256,64)，在SNR=0 dB、低數(shù)據(jù)流Ns=6 時，不同的混合預(yù)編碼的頻譜效率隨著NRF的變化情況。由圖3 可以看出，PE?AltMin 算法、MO?AltMin 算法的頻譜效率隨著NRF數(shù)量的增加幾乎沒有得到改善，而OMP 算法由于簡化單位模數(shù)限制的模擬器件設(shè)計，導(dǎo)致初始系統(tǒng)性能損失較大，但隨著射頻鏈路的增加，OMP 算法可以比PE?AltMin 算法的頻譜效率更高。本文所提出的算法比上述三算法有著更好、更穩(wěn)定的系統(tǒng)性能，隨著NRF數(shù)量的增加，頻譜效率在不斷地接近最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼器。

圖3 相同信噪比不同RF 數(shù)預(yù)編碼算法頻譜效率比較

圖4設(shè)置天線陣列數(shù)為(Nt,Nr)=(256,64)，數(shù) 據(jù)流Ns=8 時，對所提出的算法與OMP 算法、PE?AltMin 算法及最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼器在不同射頻數(shù)NRF下算法處理時間進(jìn)行了對比。此外，由于MO?AltMin 算法的處理時間是其他算法的幾十倍，無法進(jìn)行比較，將其忽略。

圖4 不同預(yù)編碼算法處理時間比較

由圖4 可知，OMP 的處理時間最低，因為OMP 算法只需要進(jìn)行基本的搜索，不需要進(jìn)行迭代優(yōu)化。在低射頻數(shù)時，PE?AltMin 算法比所提出算法要低，而隨著射頻數(shù)的增加，PE?AltMin 算法的處理時間比所提出的算法要長，與文中上一節(jié)復(fù)雜度分析結(jié)論一致。在實際的毫米大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，射頻數(shù)不會太低，所以所提出的算法相對而言更具有優(yōu)勢。

5 結(jié)語

考慮現(xiàn)有的混合預(yù)編碼設(shè)計方案的復(fù)雜度過高及系統(tǒng)性能損失較高，本文提出了基于RSD 的交替最小化算法（RSD?AltMin），使用數(shù)字預(yù)編碼器與混合預(yù)編碼器結(jié)合交替優(yōu)化的單回路結(jié)構(gòu)，避免了傳統(tǒng)算法循環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，加快了收斂速度。改進(jìn)了梯度計算方法，使用RSD 法降低了計算復(fù)雜度。此外，考慮到實際應(yīng)用，又將算法進(jìn)一步擴(kuò)展到采用正交頻分復(fù)用的寬帶系統(tǒng)實驗。仿真結(jié)果表明，所提出的算法結(jié)構(gòu)簡單，計算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于MO?AltMin，比PE?AltMin 算法有著更快的處理速度，系統(tǒng)性能高于現(xiàn)有的傳統(tǒng)算法，更滿足實際需求。未來可進(jìn)一步擴(kuò)展到多用戶場景下的混合預(yù)編碼系統(tǒng)中。