姜 文 呂傳漢

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

1 問(wèn)題提出

進(jìn)入21世紀(jì)，隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的相繼發(fā)布，“模型思想”和“數(shù)學(xué)建模”正式進(jìn)入我國(guó)基礎(chǔ)教育.2010年后，我國(guó)啟動(dòng)的新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂從核心素養(yǎng)的角度賦予了模型思想和數(shù)學(xué)建模新的涵義，模型思想和數(shù)學(xué)建模再次作為核心內(nèi)容進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、……、模型思想等十大數(shù)學(xué)核心概念，并指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模是其中之一.[3]由此可見(jiàn)，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視學(xué)生模型思想和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

“縱觀世界各國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革，通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系成為共同關(guān)注的焦點(diǎn)”.“數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天其在自身的舞臺(tái)上最精彩的表演”.今日之?dāng)?shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透，而各門(mén)學(xué)科向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，也成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì).[4]

當(dāng)今世界各國(guó)的競(jìng)爭(zhēng)，歸根到底是科技的競(jìng)爭(zhēng)、人才的競(jìng)爭(zhēng).而人才的培養(yǎng)，歸根于教育特別是基礎(chǔ)教育. 2018年9月10日，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上指出：培養(yǎng)一代又一代擁護(hù)中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)和我國(guó)社會(huì)主義制度、立志為中國(guó)特色社會(huì)主義奮斗終身的有用人才，要在增長(zhǎng)知識(shí)見(jiàn)識(shí)上下功夫，教育引導(dǎo)學(xué)生珍惜學(xué)習(xí)時(shí)光，心無(wú)旁騖求知問(wèn)學(xué)，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，豐富學(xué)識(shí)，沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進(jìn).

作為中國(guó)新時(shí)代教育的要求，可以將 “長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”作為課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，作為對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)培育的切入點(diǎn)，借以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

2 “長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”是課堂學(xué)習(xí)的目標(biāo)

“見(jiàn)識(shí)”是知識(shí)積累與實(shí)踐的產(chǎn)物， “見(jiàn)識(shí)”比“知識(shí)”重要，涉獵廣泛、視野開(kāi)闊，是一個(gè)人對(duì)某件事的洞察能力和對(duì)知識(shí)面涉獵廣泛的程度.它是人能明智地認(rèn)識(shí)事物和正確地做出判斷的能力，是一個(gè)人對(duì)事物的看法和態(tài)度；見(jiàn)識(shí)是智慧的展現(xiàn)，主要是來(lái)自于個(gè)人的豐富經(jīng)驗(yàn)以及知識(shí)的淬煉.

“道理”是指事情或論點(diǎn)的是非得失的根據(jù)、理由、情理.(1)中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室編.現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典(第6版)[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，2012： 269.道理需要去“悟”，“悟”的意思是理解、明白、感悟、覺(jué)醒；“悟”就是指體會(huì)到了某件事的意義.悟道理，就是認(rèn)識(shí)和把握事物的客觀規(guī)律.

學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，更多地是領(lǐng)悟和感受見(jiàn)識(shí). 學(xué)習(xí)上悟道理，就是領(lǐng)悟、理解了某篇文章、故事、情境、原理、定理或結(jié)構(gòu)中所包含的哲理.因此，將“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)培育學(xué)生核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?

3 在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”

已有研究[5]～[14]顯示，我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力和水平并不理想，數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)施也并不如意.一方面，數(shù)學(xué)建模能力是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)， 它需要學(xué)生有識(shí)別問(wèn)題、提煉數(shù)學(xué)信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題以及分析與檢驗(yàn)解答過(guò)程等能力，是一個(gè)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程.因此數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)是一個(gè)較長(zhǎng)期的累積性學(xué)習(xí)過(guò)程.[9]另一方面，數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)存在一些缺陷[5][8]，師資的配置也跟不上.總體來(lái)說(shuō)，導(dǎo)致我國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平不高的因素是多方面的.好在新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》均突出了“數(shù)學(xué)建?！钡闹匾?，相信今后這種局面將會(huì)得到大大改善.

在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型、特別是了解數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程是非常重要的.[15]就數(shù)學(xué)建模的課程和教學(xué)來(lái)說(shuō)，如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有所收獲、受到啟迪？我們認(rèn)為，從“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”的角度出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考將是一條有效的途徑.下面舉例加以說(shuō)明.

3.1 案例分析

案例[9]：(削菠蘿)四月剛好是菠蘿收獲的季節(jié)， 為使我們能品嘗到新鮮的菠蘿，水果店都有專人幫助我們削菠蘿皮，這是一個(gè)藝術(shù)性的刨削過(guò)程，削完后，菠蘿上留下的是一條條螺線.請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度來(lái)思考，人們?yōu)槭裁催@樣削菠蘿?

圖1

對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，第一步要理解情境，厘清關(guān)系，弄清問(wèn)題.情境中要求學(xué)生“從數(shù)學(xué)的角度思考為什么要這樣削菠蘿”，需要從兩方面考慮，一方面是從水果店的角度來(lái)看，他們總是希望削的時(shí)間越短越好；另一方面，從消費(fèi)者的角度來(lái)看，通常來(lái)講，消費(fèi)者往往希望削完菠蘿之后剩下的菠蘿肉越多越好.

第二步，考慮了這兩方面的因素之后，提什么樣的問(wèn)題才是合理的呢？也即是說(shuō)在削菠蘿的時(shí)候怎樣才能做到既快速又能剩下盡可能多的菠蘿肉呢？此時(shí)，需要將“剩下盡可能多的菠蘿肉”這一說(shuō)法做一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)述，即削菠蘿的時(shí)候，盡可能少地削除可食用的菠蘿肉就可以了.從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，就是要使削菠蘿的刀在菠蘿上走的路程盡可能短才行.

第三步，明確問(wèn)題之后，需考慮建立與之相關(guān)的數(shù)學(xué)模型.一個(gè)普遍而比較合理的認(rèn)識(shí)就是，可以把菠蘿近似地看成為圓柱體，菠蘿表面上的菠蘿籽按行或列來(lái)排列，每一行或列上有相同數(shù)量的菠蘿籽，這些菠蘿籽交錯(cuò)排列著，它們可以用螺旋線連接起來(lái)，如圖2所示.

圖2

進(jìn)一步觀察， 菠蘿上被削出的螺線有這樣的結(jié)構(gòu)，即上一行的菠蘿籽與下一行的相鄰的菠蘿籽可以連接起來(lái)成為一條“斜線”. 按照立體圖形的平面展開(kāi)圖，可將圓柱體展開(kāi)成平面矩形，這些螺旋線即變?yōu)橹本€，如果把菠蘿籽看成點(diǎn)，那么這些直線上就規(guī)律地排列著“點(diǎn)” ，與橫向直線和縱向直線比較，這些“斜線”以最短的距離將所有點(diǎn)連接起來(lái)，如圖3所示. 接下來(lái)就要從數(shù)學(xué)的角度來(lái)論證這個(gè)推測(cè).

圖3

第五步，根據(jù)實(shí)際檢驗(yàn)結(jié)果.一方面，按螺線的方法削菠蘿是最有效的，而且也是最快的；另外一方面，按照這種方法削菠蘿可以多保留近30%的菠蘿肉. 因而該方法兼顧了商家和消費(fèi)者的需求，削菠蘿的時(shí)候不僅節(jié)省時(shí)間，而且讓購(gòu)買(mǎi)者獲得盡可能多的菠蘿肉，是最佳方法.

3.2 討論

上述問(wèn)題學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題中提出問(wèn)題、建立模型、求解檢驗(yàn)等過(guò)程，每經(jīng)歷一個(gè)環(huán)節(jié)都是一次質(zhì)的飛躍.那么，從“實(shí)際情境”到“提出問(wèn)題”、“建立模型”、“求解模型”以及“檢驗(yàn)結(jié)果”的每一個(gè)環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生“長(zhǎng)什么見(jiàn)識(shí)、悟出什么道理”呢？

首先，如何確定研究的問(wèn)題？學(xué)生遇到實(shí)際生活中的一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是常見(jiàn)的，但是很多情況下學(xué)生并不在意，也不去深究為什么要這樣削菠蘿，更不會(huì)有意識(shí)地從數(shù)學(xué)的角度來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.現(xiàn)在問(wèn)題擺出來(lái)了，而且要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)“看”這個(gè)現(xiàn)象.無(wú)疑，這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，從情感、態(tài)度上重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)(即使有的同學(xué)根本不知道如何用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法來(lái)解決該問(wèn)題).接下來(lái)就應(yīng)該思考這個(gè)實(shí)際現(xiàn)象和數(shù)學(xué)的什么問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)？怎樣聯(lián)系？從哪些方面考慮二者之間的關(guān)聯(lián)？等等.一個(gè)基本的常識(shí)就是，作為消費(fèi)者，總是希望菠蘿削皮之后剩下盡可能多的菠蘿肉，對(duì)于商家，總是希望削菠蘿的時(shí)間越短越好.于是猜想，有可能這樣削皮剩下的菠蘿肉最多而且速度最快！那么，怎么從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)明這個(gè)事情呢？如果有幾種削皮的方案的話，那么就應(yīng)該尋找損失菠蘿肉最少且削的速度最快的一種.也就是說(shuō)，使削刀盡量短的時(shí)間內(nèi)在菠蘿上走的路程也盡可能短“應(yīng)該”就可以達(dá)到目的了.因此，需要研究的問(wèn)題就提出來(lái)了：用線將菠蘿籽連起來(lái)，怎樣連才能使得總長(zhǎng)度最小(而且削皮的速度盡可能地快)？在這一過(guò)程中，學(xué)生長(zhǎng)什么知識(shí)、悟出什么道理呢？我們認(rèn)為至少有兩點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)是有用的，有可能曾經(jīng)認(rèn)為數(shù)學(xué)無(wú)用武之地的一些學(xué)生會(huì)因此而改變自己對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度，開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣；二是如何從實(shí)際情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題.這一環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的道理是珍貴的！

其次，建立什么樣的模型來(lái)求解問(wèn)題？要尋求一種將菠蘿籽連起來(lái)長(zhǎng)度最短的線，需要找到一個(gè)具體的模型.通過(guò)觀察菠蘿的形狀，可以考慮用圓柱體來(lái)近似代替菠蘿，菠蘿籽用圓柱體表面規(guī)律排列的一些點(diǎn)代替.在這一過(guò)程中，學(xué)生明白用數(shù)學(xué)來(lái)研究生活中的問(wèn)題，不可能像研究數(shù)學(xué)本身那樣是精確的，近似計(jì)算往往是處理問(wèn)題的一種手段.而近似的追求目標(biāo)是使得結(jié)果盡可能接近真實(shí)的問(wèn)題，因而如何選擇模型進(jìn)行研究就是關(guān)鍵的.

再次，怎樣確定參數(shù)和求解參數(shù)？當(dāng)問(wèn)題、模型都確定了，接下來(lái)就是尋找什么參數(shù)進(jìn)行計(jì)算了.要確定研究的參數(shù)，需結(jié)合問(wèn)題和目標(biāo).一個(gè)事實(shí)是，兩點(diǎn)之間的連線，線段最短.本問(wèn)題的最終目標(biāo)是尋找線段連線之和最小，故而參數(shù)可以考慮圖形的邊長(zhǎng).在假設(shè)的條件下，橫豎相鄰兩個(gè)菠蘿籽的距離相等，因此可以設(shè)這個(gè)距離的長(zhǎng)度為x，然后用它來(lái)計(jì)算斜線的點(diǎn)連線之和，并分別與橫線或者縱線上的點(diǎn)的連線之和作比較，探尋哪種連線之和最短(這與實(shí)際中不是豎著削，也不是橫著削，而是斜著削的情況類似).這一過(guò)程能讓學(xué)生明白，在確定了研究的問(wèn)題之后，如何抓關(guān)鍵——準(zhǔn)確確定參數(shù).找準(zhǔn)參數(shù)是求解結(jié)果和應(yīng)用結(jié)果的關(guān)鍵一步，參數(shù)不合理、不準(zhǔn)確，求解過(guò)程可能很繁雜，結(jié)果與實(shí)際情境也可能會(huì)相差較大，沒(méi)有說(shuō)服力.當(dāng)然，遇到這種與實(shí)際情況相差較大的，還可以重新修改方案，再次求解，畢竟，數(shù)學(xué)建模往往不能一次成功，而是一個(gè)不斷改進(jìn)模型求解參數(shù)并檢驗(yàn)結(jié)果的循環(huán)過(guò)程.但是，這不是我們希望遇到的，我們期望的是盡可能少的次數(shù)就能完成任務(wù).

最后，如何檢驗(yàn)和應(yīng)用結(jié)果？當(dāng)完成了以上各個(gè)步驟之后，就是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情境是否吻合了.這一過(guò)程能讓學(xué)生明白準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果如何近似地解釋實(shí)際問(wèn)題.因?yàn)槲覀兊玫降氖菍?shí)際問(wèn)題的一個(gè)近似值，這個(gè)值的可信度有多大？能不能接受？是否需要修改？等等，需要從多個(gè)角度來(lái)考慮.

在整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，或許只有極少數(shù)學(xué)生能夠完成全部過(guò)程的每個(gè)環(huán)節(jié)和階段，利用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法解決該實(shí)際問(wèn)題，而大部分學(xué)生只能完成其中的一個(gè)或兩個(gè)步驟.盡管如此，即使對(duì)于只能完成其中一個(gè)步驟的學(xué)生，這樣的過(guò)程也有助于提高他們數(shù)學(xué)建模的信心，積淀建模的核心素養(yǎng).例如，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)相鄰的四個(gè)菠蘿籽可以構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究圖形的關(guān)系.這一過(guò)程或許使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待外部世界，樹(shù)立良好的數(shù)學(xué)情感和態(tài)度.

4 結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，長(zhǎng)了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界”的見(jiàn)識(shí)，領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)”的道理.

盡管中學(xué)數(shù)學(xué)建模目前的狀況并不理想，絕大部分學(xué)生的建模能力都比較低.然而，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”應(yīng)該是我們追求的一種課堂教學(xué)價(jià)值取向，將“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”作為課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)之一來(lái)培育學(xué)生核心素養(yǎng).“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”需要通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)來(lái)實(shí)現(xiàn)，探索、嘗試、實(shí)驗(yàn)和實(shí)施有利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)形態(tài)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)值得關(guān)注的問(wèn)題.理解和把握與“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)”“悟道理”相關(guān)的教學(xué)之道，是數(shù)學(xué)教學(xué)深入改革的方向.