武 瑛, 高萌瑤, 張雪林

(1-西安科技大學(xué)理學(xué)院，西安 7 10054;2-陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安 7 10062)

1 引言

Shannon采樣定理是信號重構(gòu)理論的基礎(chǔ)，并已成為通信工程和信息論中最重要的數(shù)學(xué)技術(shù)之一.與此同時該定理也滲透了許多物理和工程分支，如信號分析、圖像處理、雷達(dá)、聲納、聲學(xué)、光學(xué)、全息、氣象學(xué)、海洋學(xué)、晶體學(xué)、物理化學(xué)、醫(yī)學(xué)成像等等[1].該定理具有悠久的研究歷史，曾被多位學(xué)者獨立研究發(fā)現(xiàn).最早于1915年由Whittake在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中做出闡述[2]，而后Kotel’nikov于1933年在工程文獻(xiàn)上發(fā)表了采樣定理的相關(guān)文章[3].1948年Shannon利用采樣定理證明了模擬帶限信號在信息意義上等價于其按Nyquist速率采集的樣本級數(shù)[4].因此，它也被稱為Nyuist-Shannon采樣定理和Whittaker-Kotel’nikov-Shannon采樣定理，并作為插值理論中的基本定理.Shannon采樣定理闡述了用離散樣本重構(gòu)連續(xù)信號的方法，具體來說它主要分析了兩個問題：第一，哪類具有有限能量的連續(xù)時間信號，可以通過僅使用等距離采樣來做出唯一地表示；第二，如何進(jìn)行重構(gòu).關(guān)于更詳盡的相關(guān)解釋建議參考文獻(xiàn)[5].在數(shù)學(xué)上，這個定理描述如下.

其中

前人已經(jīng)對(1)中主級數(shù)的收斂速率進(jìn)行了廣泛研究.原始的研究致力于采樣定理在每一個點t∈R處的點點收斂，并證明了該主級數(shù)在R的每一個緊支集上是一致收斂的.此外，文獻(xiàn)[6]證明了主級數(shù)依L2范數(shù)收斂到信號f，即

在p=2時成立.當(dāng)1

理論上來說，要得到精確的重構(gòu)就需要無限多的樣本.然而在實際應(yīng)用中，只能獲得有限個樣本，這也就勢必造成了所謂的截斷誤差.一般地，信號f的n階截斷誤差定義為

其中Sn是n階有限維重構(gòu)算子，定義為

截斷誤差可以根據(jù)采樣率和范數(shù)來估計，然而這些估計總是需要某些函數(shù)類內(nèi)信號的先驗界，并且一般不適用于帶限信號.因此，盡管可以得到某些信號的收斂速率，但是對于所有帶限信號，其收斂速率慢的程度依然無從估計.

眾所周知，過采樣可以加速重構(gòu)序列的收斂.具體來說，過采樣是對[?πW,πW]上的帶限信號采用更高的采樣率?W>W來采取樣本.在文獻(xiàn)[9]中，作者證明了用過采樣技術(shù)后，對于p=∞，(2)式全局一致收斂.然而，對于一般的帶限信號，收斂速率依然是未知的.在文獻(xiàn)[10]中，作者證明了應(yīng)用過采樣并認(rèn)真選擇重構(gòu)基底函數(shù)后，在局部有界區(qū)間上收斂速度能夠達(dá)到指數(shù)收斂.這也為實際應(yīng)用中只能選取有限個樣本的情況提供了更好的重構(gòu)方法.

正是由于重構(gòu)收斂速率的慢，和對于所有帶限信號而言的收斂速率有多慢的未知性，在一定程度上影響了采樣重構(gòu)理論的實際應(yīng)用.因此，研究重建的收斂速度有多慢，在理論上是有意義的.此外，在文獻(xiàn)[11]中討論了收斂速率有多慢，并且遺留了關(guān)于加速技術(shù)下的重建算子序列是否仍然是“任意慢”的問題.根據(jù)于本文的研究成果，也對上述遺留問題做出了回答，即加速技術(shù)并沒有為慢收斂帶來改善.

在本文中，作者應(yīng)用算子列的慢收斂理論，從重構(gòu)算子序列Sn的角度來分析香農(nóng)重構(gòu)的收斂速率.文章的主要結(jié)論見第3節(jié)，作者證明了重構(gòu)算子序列Sn“任意慢”地收斂到恒等算子.具體來說，當(dāng)1

2 預(yù)備知識

設(shè)Lp(R),1≤p<∞，是所有R上p次冪Lebesgue可積信號的函數(shù)空間，其中Lp定義為

對于σ>0，Bσ是所有復(fù)平面C上整函數(shù)的函數(shù)空間，其整函數(shù)需滿足如下性質(zhì)：對任意的ε>0，存在一個常數(shù)C(ε)，使得

文獻(xiàn)[12,13]中Banach空間的算子序列慢收斂理論，提供了描敘線性算子序列強收斂的定量方法.令O是收斂到0的所有遞減正序列的集合，即

X和Y是同一個標(biāo)量域上的兩個賦范線性空間，且將L(X,Y)定義為所有從X到Y(jié)的有界線性算子構(gòu)成的賦范線性空間.當(dāng)X=Y時，L(X,Y)簡化為L(X).對于序列{Ln}?L(X,Y)，該序列強收斂到L∈L(X,Y)，即

文獻(xiàn)[12]中給出任意慢收斂的定義如下.

定義1 對于任意α∈O，若存在x=xα∈X，使得

‖Ln x?Lx‖Y≥α(n),?n∈N,

則稱序列{Ln}任意慢收斂到L.

以下兩個定理是本文所用到的結(jié)果.其中定理2意味著滿足一定條件時，一個強收斂到恒等算子的有界線性算子序列實際上是任意慢收斂的.定理3是對經(jīng)典Bernstein嗜睡定理的概括，它為后續(xù)任意慢收斂的證明提供了啟發(fā)和理論支撐.我們先列出定理[14,15].

定理2 設(shè)Fn是從Banach空間X到它自身的映射序列，且使得

則有下列敘述等價：

1)Fn強收斂到恒等算子I；

2)Fn任意慢收斂到恒等算子I；

3)Fn幾乎任意慢收斂到恒等算子I.

定理3 設(shè){0}=L0?L1?L2···是Banach空間X的有限維閉子空間序列，Y是X的無限維閉子空間.那么對于任意α∈O，存在y?∈Y，使得

3 重構(gòu)算子序列的收斂速度

下述定理說明了重構(gòu)算子序列{Sn}在奈奎斯特速率下的收斂速度.

證明 由Sn的定義可知，對任意的n∈N，Sn都是有限維的，即

故根據(jù)已知等式(8)和定理2可知，Sn強收斂到恒等算子I且Sn任意慢地收斂到恒等算子I.

其中

W3=W2+δ>W2>W1.

下述定理也是本節(jié)內(nèi)容的主要結(jié)果之一.

為了證明定理6，我們需要來自文獻(xiàn)[17]中的引理如下.

由引理1，我們有

根據(jù)(11)和(12)式可得，對于任意m，有

于是，由(15)和(16)式，可得

因為m=k時sinc(m?k)=1，m?=k時sinc(m?k)=0，所以(17)式右邊的雙求和可簡化為對滿足m=k的m和k求和，這里使用k作為求和指標(biāo)，我們有

再次利用引理1，級數(shù)

是收斂的，即意味著隨著n→0，

4 結(jié)論與應(yīng)用

其中C僅依賴于p和W.我們可以構(gòu)造出信號f使得該信號滿足

即說明奈奎斯特速率下重構(gòu)算子序列是任意慢收斂的.以p=2為例，對收斂速度很慢的

構(gòu)造信號f為

ε=(c?∞,···,c?1,c0,c1,···,c∞),

其中

該數(shù)列ε的余項收斂到0也是任意慢的.