馮依虎 莫嘉琪

(1-亳州學(xué)院電子與信息工程系，亳州 2 36800; 2-上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 2 00436;3-安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蕪湖 2 41003)

1 引言

非線性積分-微分方程模型在數(shù)學(xué)物理、工程數(shù)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)、物理化學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中都有很廣泛的應(yīng)用.利用奇異攝動(dòng)方法來求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，諸多學(xué)者已經(jīng)做了很多研究[1-9].Mo等[10-17]用多重尺度、同倫映射、變分迭代等理論，討論了一類反應(yīng)擴(kuò)散、大氣物理、光晶格等方面的問題.Feng等[18-26]也用奇異攝動(dòng)方法對一類孤立子波、分?jǐn)?shù)階微分方程、自治系統(tǒng)等模型也做了一些工作.

本文是利用奇攝動(dòng)理論和方法來討論一類發(fā)展方程Robin問題，得到了相應(yīng)模型的一致有效的廣義漸近解.

現(xiàn)討論如下奇攝動(dòng)積分-微分發(fā)展方程Robin問題

微分算子

系數(shù)αμσ是在C∞(Ω)中的實(shí)值函數(shù)，L為一致橢圓型算子，T為積分算子

(v,z)是被定義在H1(Ω)上的內(nèi)積.

我們假設(shè)：

(H1): 微分-積分發(fā)展方程(1)–(3)的退化情形的積分方程

有解U00∈H1(Ω)；

(H2): 下列方程

成立，其中c1為正的常數(shù).

2 Fredholm積分方程廣義解

現(xiàn)構(gòu)造發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義外部解U.設(shè)

將(6)式代入積分-微分發(fā)展方程(1)，按ε和μ的冪展開對應(yīng)的非線性項(xiàng)F，合并εrμs同次冪的系數(shù).取對應(yīng)ε0μ0的系數(shù)為零，它就是Fredholm積分方程(5).由假設(shè)知，它的解為U00.

取對應(yīng)εrμs(r,s=0,1,···,r+s?=0)冪的系數(shù)為零，可得如下Fredholm積分方程

其中

由Fredholm積分方程(7)，可以得到對應(yīng)的廣義解Urs(r,s=0,1,···,r+s?=0).將它們代入(6)式，便得到積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義外部解U.但它未必滿足模型的邊界條件(2)和初始條件(3),(4).因此，我們還需構(gòu)造積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義解的邊界層校正項(xiàng)V和初始層校正項(xiàng)W.

3 解的邊界層校正

在區(qū)域Ω邊界?Ω的鄰域上建立一個(gè)局部坐標(biāo)系(ρ,φ)：設(shè)在邊界?Ω的鄰域中的點(diǎn)P∈Ω的坐標(biāo)ρ(ρ≤ρ0)是點(diǎn)P到?Ω的距離，這里ρ0>0為足夠小的常數(shù)，使得在?Ω上的每一點(diǎn)的內(nèi)法線在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0中互不相交.坐標(biāo)φ=(φ1,φ2,···,φn?1)是在n?1維邊界?Ω上的一個(gè)非奇異坐標(biāo)系，并設(shè)?Ω的鄰域中點(diǎn)P的坐標(biāo)φ是通過點(diǎn)P的內(nèi)法線與邊界?Ω的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)φ相同.因此，在?Ω的鄰域0≤ρ≤ρ0中

其中

現(xiàn)作多重尺度變量[1,2]

而

設(shè)模型(1)–(4)的邊界層校正項(xiàng)為V，模型的廣義解z為

將(11)式代入關(guān)系式(1),(2)，可得

其中邊界算子～B[·]為

再設(shè)

將(11),(14)式代入式(12),(13)，并按ε及μ的冪展開，合并εrμs的同次冪項(xiàng)，有

其中Grs(r,s=1,2,···,r+s?=0)為逐次已知的函數(shù)，其表示式從略.

由廣義積分-微分發(fā)展方程問題(15)–(18)，依次可得vrs(r,s=1,2,···).再由假設(shè)知vrs具有如下廣義邊界層型的性態(tài)

4 模型廣義解的初始層校正

設(shè)廣義積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的初始層校正項(xiàng)為W，而模型的廣義解z為

且設(shè)

將(20),(21)式代入關(guān)系式(1),(3)和(4)，按ε,μ的冪展開非線性項(xiàng)，合并εrμs同次冪的系數(shù)，有

再由假設(shè)知，vrs具有如下廣義初始層型的性態(tài)

因此，我們構(gòu)造兩參數(shù)非線性廣義積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)的廣義解z有如下形式漸近展開式

5 廣義解的一致有效性

現(xiàn)在用泛函分析不動(dòng)點(diǎn)理論來估計(jì)積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義漸近展開式(29)的余項(xiàng)R.設(shè)

其中

利用(30)式和邊界層，初始層校正項(xiàng)的性態(tài)(19)和(28)式，有

由(31)–(35)式，有

固定ε,μ，取線性賦范空間N:N={q|q∈C2((0,T]×Ω)}，得

且有范數(shù)

設(shè)Banach空間B和范數(shù)分別為

由假設(shè)

其中C1,C2和C均為獨(dú)立于ε,μ的常數(shù)，且對任意的q1,q2在球KN(r),‖r‖≤1中成立.再由泛函分析不動(dòng)點(diǎn)定理[1,2]，奇攝動(dòng)非線性積分-微分發(fā)展方程模型(1)–(4)廣義解的漸近展開式(29)的余項(xiàng)R滿足

這里

λ=max(εM+1μM,εMμM+1),0<ε,μ?1.

因此，得到如下定理：

6 結(jié)論與應(yīng)用前景

廣義非線性奇異攝動(dòng)積分-微分發(fā)展方程模型的奇攝動(dòng)求漸近解的方法在應(yīng)用數(shù)學(xué)，工程數(shù)學(xué)等各學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.本文是利用冪級數(shù)展開技術(shù)，伸長變量和多重尺度變換技巧，合成展開理論來求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了廣義解的近似展開式并用不動(dòng)點(diǎn)理論證明了廣義解的漸近展開式的一致有效性.

用奇異攝動(dòng)方法得到的解是漸近解析式，它不同于用一般的數(shù)值計(jì)算方法得到的解.因?yàn)榈玫降臐u近解析式還可繼續(xù)進(jìn)行微分，積分等解析運(yùn)算，從而來進(jìn)一步得到解的更多性態(tài)及相關(guān)的物理量的定性、定量的描述.然而，用一般的數(shù)值計(jì)算方法所得到的模擬解是不能達(dá)到的.因此，從這一觀點(diǎn)來說，在本文中對廣義非線性奇異攝動(dòng)積分-微分發(fā)展方程模型用奇攝動(dòng)方法得到解的漸近解析式具有良好的應(yīng)用前景.