安徽 沈德宏 王相陽(yáng)

本文詳細(xì)總結(jié)了利用旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓、平移圓確定粒子射出范圍的條件和使用方式，并利用動(dòng)態(tài)圓在幾種典型情景下突破難點(diǎn)、總結(jié)規(guī)律，做到基礎(chǔ)與能力并重，基礎(chǔ)與素養(yǎng)兼容，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

雖然帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中僅受洛倫茲力作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)單的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但高考對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的考查通常會(huì)有一定的條件變化和磁場(chǎng)邊界的限制，討論粒子運(yùn)動(dòng)范圍或變化中的極值，很多同學(xué)缺乏必備的分析方法和有效地使用數(shù)學(xué)工具，經(jīng)常是情景模糊，找不到圓心，確定不了臨界狀態(tài)，使得此類(lèi)問(wèn)題成為高考的難點(diǎn)。掌握必要的觀點(diǎn)和分析方法，直接使用動(dòng)態(tài)圓，或使用動(dòng)態(tài)圓與其他方法相結(jié)合，對(duì)一些有特殊規(guī)律的典型情景進(jìn)行詳細(xì)分析，在變化的過(guò)程中突破難點(diǎn)、尋找規(guī)律、確定范圍、總結(jié)結(jié)論，做到基礎(chǔ)與能力并重、基礎(chǔ)與素養(yǎng)兼容，有的放矢，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

一、分析粒子射出范圍問(wèn)題常用的方法

【例1】如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，方向與x軸成θ=45°角連續(xù)不斷地發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q、速度大小為v的粒子，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，在第一象限加一方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。求：

圖1

(1)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；

(2)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)距O點(diǎn)的最大距離。

圖2

圖3

【點(diǎn)撥】分析此類(lèi)問(wèn)題常用以下三種方法：

①“放縮圓”法

當(dāng)帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度v的方向一定，但射入的速度大小變化時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖4所示(圖中只畫(huà)出粒子帶正電的情景)，速度越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大，可以以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心一定位于與初速度垂直的直線PP′上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界情景，這種方法稱(chēng)為“放縮圓”法。

圖4

②“旋轉(zhuǎn)圓”法

當(dāng)帶電粒子(圖中只畫(huà)出粒子帶正電的情景)射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小一定，但射入的方向變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R是確定的，如圖5所示，可以以入射點(diǎn)O為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探索出臨界情景，這種方法稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)圓”法。

圖5

③“平移圓”法

圖7

二、幾種典型情景下特殊規(guī)律的突破與總結(jié)

(一)利用動(dòng)態(tài)圓確定粒子打到板上的范圍

【例2】如圖8所示，S處有一個(gè)可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子的電子源，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長(zhǎng)度L=9.1 cm，中點(diǎn)O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0×10-4T，電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg，電荷量e=-1.6×10-19C，不計(jì)電子重力，電子源發(fā)射速度v=1.6×106m/s的一個(gè)電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域長(zhǎng)度為l，則

( )

圖8

A.θ=90°時(shí)，l=9.1 cm B.θ=60°時(shí)，l=9.1 cm

C.θ=30°時(shí)，l=4.55 cm D.θ=45°時(shí)，l=4.55 cm

【答案】AC

甲

【點(diǎn)撥】本題中帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v的大小一定，但射入的方向變化，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R是確定的，所以由“旋轉(zhuǎn)圓”法作出一系列軌跡即可找到打在板上可能位置的區(qū)域，如圖10所示，可見(jiàn)左右兩邊的臨界情形是不同的，左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)和射入點(diǎn)在同一直徑上，右邊最遠(yuǎn)點(diǎn)是軌跡圓和板的切點(diǎn)，從而確定能夠打到的最大范圍，結(jié)合題中數(shù)據(jù)很容易得到四種情況下粒子都能打到板的最左邊，打到的最右端都是軌跡圓和板的切點(diǎn)，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算確定選項(xiàng)。

圖10

在利用旋轉(zhuǎn)圓確定邊界范圍的過(guò)程中，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)在部分范圍內(nèi)粒子會(huì)兩次打到同一點(diǎn)，通過(guò)對(duì)打到同一點(diǎn)時(shí)的特殊情況和一般情況的分析和總結(jié)，有利于我們計(jì)算能夠打到板的粒子占總粒子的比例問(wèn)題。如圖11所示軌跡圓再次經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A時(shí)，連接射出點(diǎn)S、圓心O1、圓心O2和A點(diǎn)，可得四邊形SO1AO2是菱形，則SO2∥O1A，所以O(shè)2點(diǎn)在S點(diǎn)正下方，粒子在先后打到切點(diǎn)A的時(shí)間里速度方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度在數(shù)值上等于∠O1SO2；如圖12所示軌跡圓兩次經(jīng)過(guò)同一位置B時(shí)，連接射出點(diǎn)S、圓心O3、圓心O4和B點(diǎn)，可得四邊形SO3BO4是菱形，粒子在先后打到B點(diǎn)的時(shí)間內(nèi)速度方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度在數(shù)值上等于∠O3SO4，由幾何知識(shí)可得∠O3SO4=2∠O3SB。

圖11

圖12

(二)動(dòng)態(tài)圓發(fā)現(xiàn)、幾何論證確定磁發(fā)散中粒子射出的范圍

【例3】如圖13所示，真空中有一以(R，O)為圓心、半徑為R的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里，在y≥R的范圍內(nèi)，有x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)。已知質(zhì)子的電荷量為e，質(zhì)量為m，質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為R，不計(jì)重力。求：

(1)質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大?。?/p>

(2)速度方向與x軸正方向成30°角范圍內(nèi)的質(zhì)子到達(dá)y軸時(shí)的位置？

圖14

【點(diǎn)撥】上述的解題過(guò)程直接使用了磁聚焦的結(jié)論：當(dāng)粒子的軌跡圓和磁場(chǎng)的區(qū)域圓半徑相等時(shí)，從一點(diǎn)沿不同方向以大小不變的速度射入的粒子一定從垂直于該點(diǎn)所在直徑的方向射出。對(duì)于沒(méi)有磁聚焦知識(shí)儲(chǔ)備的同學(xué)如何突破這一難點(diǎn)呢？由表象到本質(zhì)，由形象到抽象是重要的研究方式，由于帶電粒子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小一定，射入的方向變化，符合“旋轉(zhuǎn)圓”特點(diǎn)，利用“旋轉(zhuǎn)圓”能大致看出粒子飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向都是向上的，這樣就有了利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行論證的方向，由于圓周運(yùn)動(dòng)中線速度的方向與半徑垂直，而兩圓的半徑相同，所以想到從半徑相等入手做如下處理：在圖14中假設(shè)P點(diǎn)是任意射出點(diǎn)，連接射入點(diǎn)、射出點(diǎn)、粒子軌跡圓圓心、磁場(chǎng)區(qū)域圓圓心，由于粒子軌跡圓和磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑相等，所以此四邊形一定是菱形，那么O′P一定平行于射入點(diǎn)和磁場(chǎng)區(qū)域圓圓心的連線即x軸，由于圓周運(yùn)動(dòng)中線速度與半徑垂直，所以射出時(shí)速度方向一定豎直向上。那么磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)就非常清晰，電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)就是典型的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，解題就沒(méi)什么障礙了。

(三)抓住動(dòng)態(tài)圓錯(cuò)綜關(guān)系下的共性確定組合場(chǎng)中粒子射出的范圍

【例4】如圖15甲所示的坐標(biāo)系xOy，一、四象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，極板右端位于y軸上，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，P、Q極板間加如圖乙所示的電壓。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射速度相同，重力不計(jì)的帶正電粒子，已知t=t0時(shí)刻(UPQ=U0)發(fā)出的粒子恰好在2t0時(shí)刻經(jīng)極板邊緣飛出電場(chǎng)，不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況，不考慮極板邊緣的影響，上述B、l、U0、t0均為已知量。

甲

(2)試求在t時(shí)刻(0

圖16

【小結(jié)】結(jié)論固然重要，但掌握物理思想和分析方法更重要，直接使用動(dòng)態(tài)圓或者在動(dòng)態(tài)圓的輔助下結(jié)合其他方法往往能有效解決粒子射出范圍的問(wèn)題。