江蘇 陳 敏 張啟兆

近年來，概率部分年年考查，常考常新，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》，考查內(nèi)容包括:概率的意義、古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、條件概率、離散型隨機(jī)變量及其分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布、期望與方差等.現(xiàn)將概率高考重點(diǎn)題型及解題策略總結(jié)如下，以期拋磚引玉.

1.用計(jì)數(shù)方法解決古典概型問題

例1小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋，游戲規(guī)則:以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)，這6個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0，就去下棋.

(Ⅰ)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；

(Ⅱ)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解(Ⅰ)X的所有可能取值為-2，-1，0，1.

故共有15種可能的情況，

評注(1)如果所求事件對應(yīng)的基本事件規(guī)律性不強(qiáng)，不易計(jì)數(shù)，那么我們一般通過逐一列舉計(jì)數(shù)，再求概率，列舉的關(guān)鍵是要有序，從而確保不重復(fù)、不遺漏.另外要注意對立事件概率公式的應(yīng)用；

(2)對于基本事件數(shù)比較復(fù)雜的問題，可以借助排列組合知識(shí)去處理，具體問題中要分清是否有順序，有序的和無序的是有區(qū)別的；是否允許重復(fù)，即有放回的和不放回的，有放回的取元素是允許重復(fù)的，而不放回的取元素是不允許重復(fù)的.

易錯(cuò)提醒

(1)古典概型的重要特征是等可能性，在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包含的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要注意它們是否是等可能的；

(2)對于較復(fù)雜的古典概型問題，在計(jì)算基本事件總數(shù)時(shí)若涉及排列組合知識(shí)，要先判斷事件是否與順序有關(guān)，以確定用排列還是用組合來解決.

2.用概率的加法公式、乘法公式求事件的概率

對于一些復(fù)雜的古典概型，可以利用概率的加法公式、乘法公式等，將復(fù)雜事件用簡單事件的運(yùn)算表示，再求復(fù)雜事件的概率或求分布列.涉及的知識(shí)有古典概型、概率的基本性質(zhì)、互斥事件、事件的獨(dú)立性、條件概率等.

例2甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下:

累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

(Ⅰ)求甲連勝四場的概率；

(Ⅱ)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(Ⅲ)求丙最終獲勝的概率.

分析比賽最少要進(jìn)行幾場？(三場比賽是不能結(jié)束比賽的，最少要四場)比賽最多要進(jìn)行幾場？(如果六場，那么三個(gè)人都淘汰掉了，因此最多5場比賽)

(Ⅰ)甲連勝四場是什么情況？可以采取列表的方法，例如:

甲連勝四場

(Ⅱ)由于需要進(jìn)行第五場比賽的情況比較復(fù)雜，可以轉(zhuǎn)化為考慮其對立事件，即比賽四場就結(jié)束比賽的情況:

甲四場獲勝的情況如上表；

乙四場獲勝

比賽四場丙獲勝(連勝三場)(1)

比賽四場丙獲勝(連勝三場)(2)

(Ⅲ)丙最終獲勝，怎么理解？根據(jù)規(guī)則，對于丙參加的比賽要么丙全勝，要么丙僅負(fù)1場，根據(jù)丙的負(fù)場情況分為4類，可以一一列舉(請讀者自己列表).

解根據(jù)規(guī)則，3場比賽至多會(huì)淘汰1個(gè)人，不可能結(jié)束比賽，至少比賽4場(各負(fù)兩場的兩人被淘汰，另一人全勝勝出)，至多比賽5場(各負(fù)兩場的兩人淘汰，只負(fù)一場的人勝出)，分別用事件Ai，Bi，Ci表示甲，乙，丙第i場比賽獲勝(i=1，2，3，4，5).

根據(jù)事件的互斥性與獨(dú)立性知

根據(jù)事件的互斥性與獨(dú)立性知

評注(1)弄清事件的構(gòu)成是解決概率問題的關(guān)鍵步驟;

(2)要重視用字母或隨機(jī)變量表達(dá)隨機(jī)事件，使解答過程清晰簡潔.對于復(fù)雜事件，可以先考查它的對立事件.

易錯(cuò)提醒

注意互斥事件與對立事件的區(qū)別:

對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.

3.用概率分布模型研究概率問題

概率問題求解的關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型找到，問題便迎刃而解.常見的概率分布模型有兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布.

例3從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A:“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(Ⅰ)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；

(Ⅱ)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列.

分析(Ⅰ)“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”說明什么？說明取出的2件產(chǎn)品中沒有或只有1件是二等品，即概率模型是“二項(xiàng)分布”；

(Ⅱ)“若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)”，說明什么？明確概率模型是“超幾何分布”.

解(Ⅰ)記A0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.

則A0，A1互斥，且A=A0+A1，故

P(A)=P(A0+A1)

=P(A0)+P(A1)

=1-p2.

由0.96=1-p2，

解得p=0.2或-0.2(舍).

(Ⅱ)ξ的所有可能取值為0，1，2.

若該批產(chǎn)品共100件，由(Ⅰ)知其二等品有100×0.2=20(件)，故

所以ξ的分布列為

ξ012P31649516049519495

評注超幾何分布是一種重要的分布模型，要深入理解概念:

從包含M件次品的N件產(chǎn)品中選取n件，設(shè)取到的次品數(shù)為X，則X服從超幾何分布,且

( )

(1)模型識(shí)別:①任意兩個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立，不互相影響；

②每次成功的概率是相同的；

③服從二項(xiàng)分布的變量X(成功次數(shù))，不是隨機(jī)實(shí)驗(yàn).

超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩種重要的分布模型，要明晰它們的區(qū)別，不要混淆.

(2)模型特征

超幾何分布模型特征:

①做n次試驗(yàn)；

②每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:“次品”和“正品”；

③每次取到“次品”的概率相同(因?yàn)槌楹灥慕Y(jié)果與抽簽順序無關(guān)).

二項(xiàng)分布模型特征:

①做n次獨(dú)立試驗(yàn)；

②每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:“成功”和“失敗”；

③每次試驗(yàn)，“成功”的概率相同.

區(qū)別:每次抽取，二項(xiàng)分布是相互獨(dú)立的，超幾何分布不是.

4.用概率知識(shí)或函數(shù)、數(shù)列等作概率推斷，進(jìn)行決策

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，高考試題對概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容愈加重視，凸顯創(chuàng)新性與靈活性，試題位置(難度)也不再固定，后移趨勢明顯，能力要求漸高.

常見考査方式:比較不同方案下的隨機(jī)變量的期望或方差的大小作概率推斷，進(jìn)而作出概率決策，此類考題多是統(tǒng)計(jì)概率內(nèi)部的綜合問題，難度相對不大，熟知公式及期望或方差的統(tǒng)計(jì)概率意義就可以了.

與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容(比如函數(shù)、數(shù)列、不等式等)交匯的綜合性問題，解決此類問題，建模是關(guān)鍵，建模過程就是對統(tǒng)計(jì)概率綜合素養(yǎng)的考査，從統(tǒng)計(jì)概率中抽象出數(shù)學(xué)問題，借助傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具(如導(dǎo)數(shù)、不等式等)，分析處理進(jìn)行優(yōu)化分析.

例5(2016·全國卷Ⅰ理·19)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖:

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若要求P(x≤n)≥0.5，確定n的最小值；

(Ⅲ)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

分析(Ⅰ)第一遍讀不懂，再讀一遍，同時(shí)要理解每一句話要告訴我們的含義.如:

“某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰”明確研究對象；

“機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元”明確研究背景；

“以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率”明確概率規(guī)則；

“以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)”明確決策依據(jù).

(Ⅱ)閱讀題時(shí)要明晰每句話的作用，盡量用圖表將問題直觀化.

(Ⅲ)概率統(tǒng)計(jì)問題一般是有套路的，它的套路主要分四步:

收集數(shù)據(jù):收集并整理100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)；

處理數(shù)據(jù):得柱狀圖；

分析數(shù)據(jù):以1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，求X的分布列；

應(yīng)用數(shù)據(jù):將柱狀圖的表格數(shù)據(jù)化:

表1 1臺(tái)機(jī)器更換零件數(shù)

表2 2臺(tái)機(jī)器更換零件數(shù)

解(Ⅰ)每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11，

記事件Ai為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個(gè)零件(i=1,2,3,4)，

記事件Bi為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個(gè)零件(i=1,2,3,4)，

由題知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2，P(A2)=P(B2)=0.4.

設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X，則X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22，

P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04，

P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16，

P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24，

P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.2×0.4+0.4×0.2+0.2×0.2=0.24，

P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2，

P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08，

P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04，

則X的分布列為

X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

(Ⅱ)因?yàn)?.04+0.16+0.24<0.5，0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5，

則若P(x≤n)≥0.5，n的最小值為19.

(Ⅲ)購買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購買機(jī)器時(shí)購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用.

當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為19×200+500×0.2+1 000×0.08+1 500×0.04=4 040，

當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為20×200+500×0.08+1 000×0.04=4 080，

4 040<4 080，

所以應(yīng)選用n=19.

評注(1)概率統(tǒng)計(jì)問題的套路是:①確定任務(wù)；②收集數(shù)據(jù)；③處理數(shù)據(jù)；④分析數(shù)據(jù)；⑤應(yīng)用數(shù)據(jù).

(2)對于復(fù)雜的概率統(tǒng)計(jì)可以遵循套路，將文字和要求進(jìn)行分解，以有效理解題意；

對于依據(jù)數(shù)據(jù)特征的決策，在問題解決中要思考以下問題:

①常用數(shù)字特征有哪些？

②各種數(shù)字特征產(chǎn)生的背景(產(chǎn)生在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中的哪個(gè)環(huán)節(jié))；

③利用哪一個(gè)(哪幾個(gè))數(shù)字特征作決策；