鄭 越，泮斌峰，唐 碩

(1.西安航空學(xué)院，西安 710077；2. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

地月循環(huán)軌道是周期性往返于地球與月球之間并在地球和月球附近不做停留的一類周期軌道。運(yùn)行在循環(huán)軌道上的探測(cè)器不需要軌道機(jī)動(dòng)或只需進(jìn)行少量軌道機(jī)動(dòng)即可運(yùn)載人員和物資往返于地月之間。與直接轉(zhuǎn)移相比，循環(huán)飛行器能夠被重復(fù)使用，轉(zhuǎn)移過程中不需要消耗大量能量重新將星際轉(zhuǎn)移飛行器從地面運(yùn)送到星際轉(zhuǎn)移入軌點(diǎn)。因此，循環(huán)軌道可以用于完成長期的、持續(xù)的月球探測(cè)任務(wù)，是一種有研究價(jià)值和發(fā)展?jié)摿Φ能壍擂D(zhuǎn)移方案。

地月循環(huán)軌道最早在1957年由Egorov[1]發(fā)現(xiàn)。隨后，研究人員找到了更多的軌道[2-4],其中最有實(shí)踐價(jià)值的是1963年Arenstorf[5-6]發(fā)現(xiàn)的兩條軌道，這兩條軌道被命名為Arenstorf軌道，后來被用于阿波羅計(jì)劃。Anthony等[7]對(duì)不同循環(huán)軌道的特征進(jìn)行了歸納。在國內(nèi)，楊雷等[8]提出了地月循環(huán)軌道重訪軌道空間站系統(tǒng)的概念，初步研究了基于空間站的載人月球探測(cè)飛行任務(wù)方案。張文博等[9]研究了地月循環(huán)軌道的動(dòng)力學(xué)建模方法。羅宗富等[10]對(duì)一類特殊的地月循環(huán)軌道——雙月旁轉(zhuǎn)向軌道進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[11-12]設(shè)計(jì)了周期軌道的一般計(jì)算方法，所計(jì)算出的軌道包括地月循環(huán)軌道。文獻(xiàn)[13]對(duì)地月系統(tǒng)下的軌道進(jìn)行分類，并分析了地月循環(huán)軌道的低能轉(zhuǎn)移特性。文獻(xiàn)[14]通過不變流形實(shí)現(xiàn)不同共振比循環(huán)軌道的同宿連接。

在限制性三體問題中，當(dāng)質(zhì)量比參數(shù)μ→0時(shí)，周期軌道經(jīng)變形后收斂于二體的非退化周期軌道，其中包括開普勒橢圓弧與碰撞奇點(diǎn)，碰撞奇點(diǎn)可以由質(zhì)量較小的主天體的近似開普勒軌道替代。Poincaré[15]將變形后不包含碰撞奇點(diǎn)的開普勒軌道構(gòu)成的周期軌道命名為第一類周期軌道，變形后包含碰撞奇點(diǎn)的開普勒軌道構(gòu)成的周期軌道命名為第二類周期軌道。在地月三體系統(tǒng)中，與第一類周期軌道相比，第二類周期軌道的近月點(diǎn)距離月球較近，具有更高的工程應(yīng)用價(jià)值。但是，月球相當(dāng)于一個(gè)碰撞點(diǎn)，靠近碰撞點(diǎn)的開普勒橢圓軌道也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的形變。1968年，Hénon[16]根據(jù)受碰撞點(diǎn)影響的第二類周期軌道的組成弧段對(duì)第二類周期軌道族進(jìn)行分類。2013年，Casoliva等[17]將地月循環(huán)軌道分為與月球公轉(zhuǎn)軌道具有一定共振關(guān)系的高能共振循環(huán)軌道和利用平動(dòng)點(diǎn)而實(shí)現(xiàn)的低能循環(huán)軌道。滿足第二類周期軌道特性的高能共振循環(huán)軌道與月球距離較近，易于實(shí)現(xiàn)與月球停泊軌道的交會(huì)，且這類軌道與月球公轉(zhuǎn)具有共振特性，所以成為當(dāng)前研究的重點(diǎn)。

針對(duì)滿足第二類周期軌道特性的地月高能共振循環(huán)軌道，目前的軌道計(jì)算方法主要有延拓法[18]和圓錐曲線拼接法[19]。延拓法根據(jù)二體系統(tǒng)下的開普勒橢圓軌道狀態(tài)量，通過質(zhì)量比參數(shù)μ的逐漸增大而得到三體系統(tǒng)下的地月循環(huán)軌道。Casoliva等[20]根據(jù)探測(cè)器與月球的共振關(guān)系，通過延拓法計(jì)算出三體系統(tǒng)下的地月循環(huán)軌道。這種方法在逐漸增大μ的過程中，必須計(jì)算出一系列循環(huán)軌道后才能最終得到地月系統(tǒng)下的循環(huán)軌道，計(jì)算量較大。而且該方法在構(gòu)造共振比大于2.3，即具有更小的近地點(diǎn)半徑和近月點(diǎn)半徑的地月循環(huán)軌道時(shí)會(huì)失敗。圓錐曲線拼接法根據(jù)開普勒橢圓軌道構(gòu)建第二類周期軌道的初值。張文博[21]采用圓錐曲線拼接法，根據(jù)軌道弧段的分類設(shè)計(jì)了共振比為1∶1的五類地月系統(tǒng)循環(huán)軌道，并給出了最優(yōu)軌道。該方法由于缺乏對(duì)軌道拓?fù)涮匦缘姆治?，?gòu)造出的某些類型的地月循環(huán)軌道的共振特性發(fā)生了改變，而且尚未構(gòu)造出共振比大于2.3的循環(huán)軌道。

針對(duì)現(xiàn)有的地月高能共振軌道計(jì)算方法所存在的計(jì)算量大、有可能改變共振特性和不能構(gòu)造共振比大于2.3的軌道等缺點(diǎn)，本文提出一種高能共振循環(huán)軌道的快速計(jì)算方法。該方法根據(jù)開普勒橢圓軌道在受碰撞點(diǎn)影響后的組成弧段對(duì)滿足第二類周期軌道特性的地月高能共振循環(huán)進(jìn)行分類；利用μ→0時(shí)二體開普勒橢圓軌道的共振比和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，計(jì)算出三體系統(tǒng)下的地月高能共振循環(huán)軌道；最后，根據(jù)能量、穩(wěn)定性、時(shí)間周期、距地球和月球的距離，選擇出適用于長期月球探測(cè)任務(wù)的最優(yōu)軌道。

1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮地月圓型限制性三體問題(Circular restricted three-body problem，CRTBP)，質(zhì)量可以忽略的探測(cè)器在地球和月球兩個(gè)主天體的引力作用下的運(yùn)動(dòng)，其中主天體繞其公共質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[22-24]。歸一化地球質(zhì)量m1和月球質(zhì)量m2之比為單位質(zhì)量(m1/m2=0.0123)，則：

(1)

(2)

其中：Ω為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的等效勢(shì)能：

(3)

設(shè)矢量r1,r2為探測(cè)器到兩個(gè)主天體的距離，有：

(4)

CRTBP系統(tǒng)中，存在雅可比積分如下：

(5)

在地月三體系統(tǒng)中，單位長度為地月之間的距離L=3.844×105km，單位時(shí)間為T=104 h，單位速度為V=1024 m/s。

2 軌道分類

在地月三體系統(tǒng)下，與質(zhì)量比參數(shù)μ→0時(shí)的二體開普勒橢圓軌道相比，月球相當(dāng)于一個(gè)碰撞點(diǎn)，開普勒橢圓軌道經(jīng)過碰撞點(diǎn)附近時(shí)，軌道的部分弧段會(huì)在月球引力影響下而發(fā)生形變。根據(jù)軌道發(fā)生形變后的組成弧段，能夠?qū)Ω吣芄舱裱h(huán)軌道的類型進(jìn)行劃分。

圖1 軌道弧段Fig.1 Orbit arcs

根據(jù)受月球影響后飛行器軌道的組成弧段和運(yùn)動(dòng)方向，可將由S弧構(gòu)成的高能共振循環(huán)軌道分為六類，其分類方法見表1。由于S弧對(duì)稱于開普勒橢圓軌道的拱線，則由S弧構(gòu)成的循環(huán)軌道在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下也具有對(duì)稱性。

表1 第二類周期軌道分類Table 1 Classification of second species period orbits

3 二體開普勒橢圓軌道

對(duì)于地月CRTBP，如果忽略月球質(zhì)量，即質(zhì)量比參數(shù)μ→0，系統(tǒng)近似為以地球?yàn)橹行牡亩w系統(tǒng)。那么μ→0時(shí)的地月循環(huán)軌道在地心慣性坐標(biāo)系下由開普勒橢圓軌道構(gòu)成。根據(jù)軌道共振比，能夠得出μ→0情況下的地月循環(huán)軌道。

3.1 軌道共振比

在地月CRTBP下，假設(shè)質(zhì)量比參數(shù)μ→0，則探測(cè)器做開普勒橢圓運(yùn)動(dòng)，并且其運(yùn)動(dòng)周期為：

(6)

其中:a為橢圓軌道半長軸，μE等價(jià)于地球質(zhì)量，而在歸一化單位情況下，有μE=1。由于月球公轉(zhuǎn)周期TM=2π，所以探測(cè)器開普勒橢圓運(yùn)動(dòng)與月球公轉(zhuǎn)之間的共振比[25-26]為：

(7)

式中:p與q互質(zhì)，表示軌道共振比，M與K分別表示探測(cè)器和月球運(yùn)行的圈數(shù)，即探測(cè)器繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)M圈的同時(shí)，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)K圈。開普勒橢圓軌道是在地心慣性坐標(biāo)系下建立的。根據(jù)軌道共振特性，如果令橢圓軌道圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)M圈，則月球圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)K圈。那么，此時(shí)開普勒橢圓軌道在地月質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下也形成首尾相連的周期軌道，且軌道周期為：

T=2Kπ

(8)

根據(jù)式(6)和式(7)，可知開普勒軌道半長軸與軌道共振比之間的關(guān)系為：

(9)

因此，通過探測(cè)器和月球圍繞地球運(yùn)行的圈數(shù)，可以得到循環(huán)軌道與月球公轉(zhuǎn)的共振比，進(jìn)而計(jì)算出橢圓軌道半長軸，其結(jié)果見表2(共振比為互質(zhì)數(shù)，如p∶q=M∶K=4∶2=2∶1)。

表2 探測(cè)器軌道半長軸(歸一化單位)與共振比的關(guān)系Table 2 Relation between the semimajor axis (normalized units) and resonances ratio of the spacecraft orbit

3.2 軌道特征參數(shù)

構(gòu)造μ→0情況下的地月循環(huán)軌道需要篩選出適合的軌道共振比，所以需要考慮如下參數(shù)：

1)月球公轉(zhuǎn)圈數(shù)約束

月球公轉(zhuǎn)周期為27天。對(duì)于由開普勒橢圓軌道組成的循環(huán)軌道，軌道周期由月球公轉(zhuǎn)圈數(shù)來決定。在空間轉(zhuǎn)移任務(wù)中，尤其是循環(huán)軌道用于載人任務(wù)時(shí)，通常希望軌道周期盡可能短。

2)半長軸約束

一方面，考慮探測(cè)器軌道最小近地點(diǎn)距離rPEmin=0.017(距地球表面167 km)，最小近月點(diǎn)距離rPMmin=0.0048(距離月球表面100 km)，則開普勒橢圓軌道的長軸半徑必須滿足如下關(guān)系：

2a>1+rPEmin+rPMmin

(10)

另一方面，開普勒橢圓軌道的半長軸不宜過大，因?yàn)檫^大的半長軸意味著較遠(yuǎn)的近地點(diǎn)或者近月點(diǎn)距離，也會(huì)帶來較高的轉(zhuǎn)移能耗和較長的周期。

3.3 開普勒循環(huán)軌道

綜合構(gòu)造循環(huán)軌道時(shí)需要的軌道特征參數(shù)條件，參照表2，選擇共振比為2∶1和5∶2的開普勒橢圓軌道。

對(duì)地月三體系統(tǒng)下循環(huán)軌道進(jìn)行建模，需要先根據(jù)CRTBP動(dòng)力學(xué)方程和軌道共振比構(gòu)造出在μ→0情況下的循環(huán)軌道，再根據(jù)軌道狀態(tài)量將其擴(kuò)展到μ=0.01215的CRTBP動(dòng)力學(xué)方程。設(shè)μ→0時(shí)開普勒橢圓軌道近地點(diǎn)距離為rPE，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為rAE，則有：

rPE+rAE=2a

(11)

圖2為μ→0時(shí)地月系統(tǒng)的開普勒橢圓軌道，近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)分別為P和Q，由于地月之間的距離rEM=1，則遠(yuǎn)地點(diǎn)到月球軌道的距離rQM能夠通過下式計(jì)算：

圖2 地月系統(tǒng)μ→0時(shí)的開普勒軌道Fig.2 Keplerian orbits in the Earth-Moon system when μ→0

rQM=rAE-rEM=2a-rPE-1

(12)

對(duì)于共振比為2∶1和5∶2的橢圓軌道，近月點(diǎn)rPM=rQM，根據(jù)最小近地點(diǎn)距離和最小近月點(diǎn)距離，可以得到rPE和rPM的取值范圍為：

(13)

而軌道的近地點(diǎn)和近月點(diǎn)滿足如下關(guān)系：

rPE+rPM=2a-1

(14)

在μ→0的情況下構(gòu)造循環(huán)軌道需要給出軌道初始狀態(tài)和軌道周期。循環(huán)軌道的周期為2qπ，軌道初始狀態(tài)的設(shè)置分為順行和逆行兩種情況，軌道在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的初始狀態(tài)分別為：

(15)

只要近地點(diǎn)和近月點(diǎn)距離選擇合適，便可通過微分修正迭代得到循環(huán)軌道。令rPE=rPM=(2a-1)/2，相應(yīng)的可以得到rAE=2a-rPE。圖3、圖4、圖5和圖6分別為地月系統(tǒng)下μ→0時(shí)的開普勒橢圓軌道在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(‘o’代表軌道起點(diǎn))和地心慣性坐標(biāo)系(‘o’和‘+’分別代表軌道起點(diǎn)和終點(diǎn))下的運(yùn)動(dòng)軌跡。其中，圖3和圖4分別為共振比為2∶1的開普勒順行和逆行軌道；圖5和圖6分別為共振比為5∶2的開普勒順行和逆行軌道。

圖3 共振比為2∶1的順行開普勒軌道Fig.3 Prograde Keplerian orbits with resonance ratio 2∶1

圖4 共振比為2∶1的逆行開普勒軌道Fig.4 Retrograde Keplerian orbits with resonance ratio 2∶1

圖5 共振比為5∶2的順行開普勒軌道Fig.5 Prograde Keplerian orbits with resonance ratio 5∶2

圖6 共振比為5∶2的逆行開普勒軌道Fig.6 Retrograde Keplerian orbits with resonance ratio 5∶2

4 高能共振軌道的計(jì)算

在地月CRTBP中，當(dāng)忽略月球引力時(shí)，三體系統(tǒng)下的循環(huán)軌道可以演變?yōu)槎w系統(tǒng)下圍繞地球運(yùn)行數(shù)圈的開普勒橢圓軌道，且循環(huán)軌道與月球公轉(zhuǎn)周期存在嚴(yán)格的共振比；如果對(duì)二體系統(tǒng)下開普勒橢圓軌道引入月球擾動(dòng)，橢圓軌道運(yùn)行至月球附近時(shí)會(huì)發(fā)生形變，二體系統(tǒng)下由開普勒軌道組成的循環(huán)軌道也會(huì)根據(jù)月球引力的影響而演變成不同的軌道類型。本節(jié)將μ→0情況下的二體開普勒軌道演變到μ=0.01215下的地月CRTBP中，并根據(jù)軌道類型計(jì)算出相應(yīng)的地月循環(huán)軌道。

4.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

當(dāng)循環(huán)軌道存在共振特性時(shí)，其共振比可根據(jù)軌道周期和軌道以地球?yàn)橹行牡木砝@數(shù)[27-28]來計(jì)算。循環(huán)軌道的卷繞數(shù)W(γ,H)是一個(gè)整數(shù)，表示循環(huán)軌道γ繞定點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的總?cè)?shù)。如果軌道沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，則卷繞數(shù)為正數(shù)；如果軌道沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，則卷繞數(shù)為負(fù)數(shù)。設(shè)循環(huán)軌道的周期為T，則探測(cè)器和月球繞地球旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)M和K分別為:

(16)

同一弧段類型的循環(huán)軌道如果在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下有相同的卷繞數(shù)，則在慣性坐標(biāo)系下就有相同的共振比。當(dāng)質(zhì)量比參數(shù)從μ→0演變到μ=0.01215時(shí)，相對(duì)于地球，循環(huán)軌道也必然保持相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以，可將循環(huán)軌道在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的卷繞數(shù)作為計(jì)算三體系統(tǒng)下循環(huán)軌道的條件。

與表2中不同類型的地月循環(huán)軌道相對(duì)應(yīng)，可將循環(huán)軌道卷繞數(shù)作為計(jì)算循環(huán)軌道的判斷條件。本文研究共振比為2∶1和 5∶2的地月循環(huán)軌道。根據(jù)式(16)可判斷：AⅠ類和BⅠ類循環(huán)軌道逆時(shí)針繞地心運(yùn)行一圈；AⅡ類和BⅡ類循環(huán)軌道順時(shí)針繞地心運(yùn)行三圈。C類軌道在一個(gè)周期內(nèi)通過月球正面和背面，因此可認(rèn)為是由軌道運(yùn)行方向相同的A類和B類循環(huán)軌道組成，周期為4π的C類循環(huán)軌道的共振比為2∶1。其中，CⅠ類軌道逆時(shí)針繞地心運(yùn)行兩圈；CⅡ類軌道順時(shí)針繞地心運(yùn)行六圈。

4.2 時(shí)間條件

在地月CRTBP下，假設(shè)μ→0，則探測(cè)器運(yùn)行軌道為開普勒橢圓軌道。μ從μ→0增大到μ=0.01215，系統(tǒng)引入月球擾動(dòng)。當(dāng)探測(cè)器運(yùn)行至月球附近時(shí)，開普勒軌道受月球引力的影響會(huì)發(fā)生形變而演化出CRTBP下的循環(huán)軌道。根據(jù)軌道的形變，可估計(jì)μ=0.01215時(shí)地月循環(huán)軌道的周期。

AⅠ類和AⅡ類循環(huán)軌道的近月點(diǎn)出現(xiàn)在月球背面；BⅠ類和BⅡ類循環(huán)軌道的近月點(diǎn)出現(xiàn)在月球正面；CⅠ類和CⅡ類循環(huán)軌道在一個(gè)周期內(nèi)分別經(jīng)過月球正面和反面。由此可知：AⅠ類和AⅡ類循環(huán)軌道由橢圓軌道及其一段內(nèi)弧組成；BⅠ類和BⅡ類循環(huán)軌道由橢圓軌道及其一段外弧組成；CⅠ類和CⅡ類循環(huán)軌道由橢圓軌道及其內(nèi)弧和外弧共同組成。所以，C類軌道的時(shí)間周期近似于月球公轉(zhuǎn)周期的整數(shù)倍，A類、B類軌道的時(shí)間周期需要通過計(jì)算來預(yù)估。

圖7為地月三體系統(tǒng)下A類和B類循環(huán)軌道運(yùn)行軌跡示意圖。橢圓軌道的長軸連接近地點(diǎn)P和遠(yuǎn)地點(diǎn)Q并與月球公轉(zhuǎn)圓軌道交于點(diǎn)N。以新演化出的循環(huán)軌道的近月點(diǎn)S0為起點(diǎn)，則S0與月球公轉(zhuǎn)的起點(diǎn)M0和地心E位于同一條直線上，那么軌道的近月點(diǎn)距離為rS0M0。設(shè)循環(huán)軌道的終點(diǎn)為S1，則將S1與地心連接，連線與月球軌道相交于M1，因此不同類型的循環(huán)軌道的時(shí)間周期可以近似為：

圖7 地月CRTBP中不同類型的循環(huán)軌道示意圖Fig.7 Different types of cycler in the CRTBP

AⅠ類：T=TS0PS1+2π(p-1)a3/2=2qπ-TM1NM0

AⅡ類：T=TS0PS1+2π(p-1)a3/2=2qπ+TM0 NM1

BⅠ類：T=TS0QS1+2π(p-1)a3/2=2qπ+TM0 NM1

BⅡ類：T=TS0QS1+2π(p-1)a3/2=2qπ-TM1 NM0

CⅠ、CⅡ類：T=2π(p-1)a3/2=2qπ

其中：

TM0 NM1=TM1NM0=4θπ

(17)

令橢圓軌道中除了地心外的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則地心E與F之間的距離為:

rEF=2(a-rPE)

(18)

設(shè)置近月點(diǎn)距離為rM0S0，地心與近月點(diǎn)S0之間的距離為:

(19)

那么S0與F之間的距離rS0F可以通過下式計(jì)算：

rS0F=2a-rES0

(20)

由此可以通過余弦公式計(jì)算出θ的值，進(jìn)而預(yù)估地月循環(huán)軌道的周期。

4.3 計(jì)算方法

對(duì)于地月CRTBP，μ=0.01215時(shí)的地月循環(huán)軌道是μ→0情況下的共振軌道通過月球附近時(shí)因月球引力導(dǎo)致軌道變形而得到的。盡管二體開普勒橢圓軌道演變?yōu)槿w系統(tǒng)下的循環(huán)軌道時(shí)，通常會(huì)因?yàn)槭艿皆虑蛞Φ挠绊懚淖冘壍赖慕曼c(diǎn)高度，但是它們具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以，三體系統(tǒng)下的循環(huán)軌道狀態(tài)量可通過二體開普勒橢圓軌道來預(yù)估。

循環(huán)軌道的計(jì)算方法通過以下三步實(shí)現(xiàn)：

1) 選定循環(huán)軌道類型和近月點(diǎn)距離rS0M0， 根據(jù)時(shí)間條件估計(jì)循環(huán)軌道的周期，軌道初始點(diǎn)速度的大小通過二體開普勒橢圓軌道組成的參考周期軌道的雅可比常數(shù)C來估算的，速度方向垂直向下。

2) 以μ→0情況下的二體開普勒橢圓軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)作為參考周期軌道，根據(jù)估算時(shí)間和卷繞數(shù)，利用微分修正法計(jì)算出地月循環(huán)軌道。

3) 如果通過微分修正法不能計(jì)算得到循環(huán)軌道，則回到步驟(1)，調(diào)整二體開普勒橢圓軌道的近月點(diǎn)距離，直到計(jì)算出地月循環(huán)軌道為止。

圖8、圖9、圖10、圖11、圖12和圖13分別為通過2∶1共振軌道演化得到的不同類型的循環(huán)軌道；圖14、圖15、圖16和圖17分別為通過5∶2共振軌道演化得到的不同類型的循環(huán)軌道。循環(huán)軌道的近月點(diǎn)距離月球表面均為10000 km。

圖8 共振比為2∶1的AⅠ類地月循環(huán)軌道Fig.8 Type AⅠ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖9 共振比為2∶1的AⅡ類地月循環(huán)軌道Fig.9 Type AⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖10 共振比為2∶1的BⅠ類地月循環(huán)軌道Fig.10 Type BⅠ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖11 共振比為2∶1的BⅡ類地月循環(huán)軌道Fig.11 Type BⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖12 共振比為2∶1的CⅠ類地月循環(huán)軌道Fig.12 Type CI Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖13 共振比為2∶1的CⅡ類地月循環(huán)軌道Fig.13 Type CⅡ Earth-Moon cyclers with 2∶1 resonance

圖14 共振比為5∶2的AⅠ類地月循環(huán)軌道Fig.14 Type AⅠ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖15 共振比為5∶2的AⅡ類地月循環(huán)軌道Fig.15 Type AⅡ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖16 共振比為5∶2的BⅠ類地月循環(huán)軌道Fig.16 BⅠ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

圖17 共振比為5∶2的BⅡ類地月循環(huán)軌道Fig.17 Type BⅡ Earth-Moon cyclers with 5∶2 resonance

將本文方法與現(xiàn)有方法相比較。文獻(xiàn)[20]將二體系統(tǒng)下的橢圓軌道初始狀態(tài)作為計(jì)算初值，利用延拓法，通過不斷增加μ計(jì)算出不同共振比的地月循環(huán)軌道。該方法計(jì)算量大，且在構(gòu)造共振比大于2.3的軌道時(shí)未取得成功。文獻(xiàn)[21]計(jì)算了共振比為2∶1的地月高能共振循環(huán)軌道，但是所得到的軌道中，BⅠ類和BⅡ類軌道的共振比發(fā)生了改變。本文方法能夠準(zhǔn)確、快速、有效的計(jì)算出地月高能共振循環(huán)軌道，其中包括共振比為5∶2的軌道(共振比大于2.3)。

4.4 軌道延拓

軌道延拓是通過延拓法得到與已知軌道相關(guān)的一族軌道。方法是選擇軌道初始狀態(tài)參數(shù)作為延拓參數(shù)，改變延拓參數(shù)，并利用微分修正法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，從而得到與已知參考軌道相關(guān)的軌道族[29]。

最常用的延拓法為參數(shù)延拓法，通常選取有明確物理意義的延拓參數(shù)，例如位置參數(shù)、雅可比常數(shù)。為了保證軌道能夠延拓成功，參數(shù)的改變不能過大。圖18和圖19分別為通過共振比為2∶1和5∶2的不同類型的地月循環(huán)軌道改初始位置后延拓得到的一系列循環(huán)軌道。

圖18 不同類型地月循環(huán)軌道的延拓(共振比2∶1)Fig.18 Continuation of different types of Earth-Moon cyclers (2∶1 resonance)

圖19 不同類型地月循環(huán)軌道的延拓(共振比5∶2)Fig.19 Continuation of different types of Earth-Moon cyclers (5∶2 resonance)

5 最優(yōu)軌道選擇

在地月CRTBP中，存在無數(shù)個(gè)地月循環(huán)軌道，需要綜合軌道的各項(xiàng)性能指標(biāo)，找出適用于長期地月任務(wù)的循環(huán)軌道。

衡量地月循環(huán)軌道優(yōu)劣的指標(biāo)主要有能量、穩(wěn)定性、時(shí)間周期、距離地球和月球的距離等。其中，軌道的能量直接決定了其用于地月轉(zhuǎn)移時(shí)能耗的大小。顯然，逆行軌道比順行軌道具有更高的能量，軌道轉(zhuǎn)移時(shí)也相應(yīng)的需要更高的能耗。因此，用于地月任務(wù)的循環(huán)軌道只考慮順行軌道。圖20、圖21、圖22、圖23和圖24分別為共振比為2∶1的AⅠ類循環(huán)軌道、共振比為2∶1的BⅠ類循環(huán)軌道、共振比為5∶2的AⅠ類循環(huán)軌道、共振比為5∶2的BⅠ類循環(huán)軌道和共振比為2∶1的CⅠ類循環(huán)軌道的近地點(diǎn)距離地表高度、周期、雅可比常數(shù)和穩(wěn)定判據(jù)隨近月點(diǎn)距離月球表面高度變化時(shí)的性能指標(biāo)。根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)，不能到達(dá)月球背面的BⅠ類軌道不穩(wěn)定，容易受到小擾動(dòng)的影響，不適用于長期地月任務(wù)，所以只有AⅠ類和CⅠ類軌道可選擇。再進(jìn)一步對(duì)比循環(huán)軌道的各項(xiàng)指標(biāo)，當(dāng)CⅠ類軌道穩(wěn)定時(shí)，近地點(diǎn)距離地球表面高度dM>25000 km，該類軌道不適用于實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移任務(wù)。因此，可供選擇的只有AⅠ類循環(huán)軌道。

圖20 共振比2∶1的AⅠ類循環(huán)軌道的不同狀態(tài)量隨近月點(diǎn)高度的變化Fig.20 Variation of different state of type AⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

圖21 共振比2∶1的BⅠ類循環(huán)軌道的不同狀態(tài)量隨距離月球表面高度的變化Fig.21 Variation of different states of type BⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

圖22 共振比5∶2的AⅠ類循環(huán)軌道的不同狀態(tài)量隨距離月球表面高度的變化Fig.22 Variation of different states of type AⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

圖23 共振比5∶2的BⅠ類循環(huán)軌道的不同狀態(tài)量隨距離月球表面高度的變化Fig.23 Variation of different states of type BⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

圖24 共振比2∶1的CⅠ類循環(huán)軌道的不同狀態(tài)量隨距離月球表面高度的變化Fig.24 Variation of different states of type CⅠ cyclers with 2∶1 resonance as the increasing perilune distance

根據(jù)圖22(d)可知，滿足穩(wěn)定性判據(jù)|s|<2的地月循環(huán)軌道距月球表面距離dM的可選區(qū)間為[11500 km,15400 km]。由圖22可知，在該區(qū)間內(nèi)，地月循環(huán)軌道距月球表面距離越遠(yuǎn)，軌道距離地球表面越近，軌道周期越長，雅可比積分越小。在地月循環(huán)軌道的近地點(diǎn)和近月點(diǎn)，通過施加脈沖能夠分別實(shí)現(xiàn)與地球停泊軌道和月球停泊軌道之間的轉(zhuǎn)移[30]。圖25為dM∈[11500 km，15400 km]情況下探測(cè)器從地球停泊軌道進(jìn)入地月循環(huán)軌道和從地月循環(huán)軌道進(jìn)入月球停泊軌道時(shí)所需要的脈沖。與探測(cè)器從地球停泊軌道進(jìn)入循環(huán)軌道所需要的脈沖量相比，探測(cè)器從不同高度的循環(huán)軌道進(jìn)入月球停泊軌道所需要的脈沖量非常接近。所以，在保證穩(wěn)定性的前提下，循環(huán)軌道近月點(diǎn)距月球越近，其近地點(diǎn)距地球越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)移過程中所需要的總能耗越低；循環(huán)軌道近月點(diǎn)距月球越遠(yuǎn)，其近地點(diǎn)距地球越近，轉(zhuǎn)移過程中所需要的總能耗越高。當(dāng)dM=11500 km時(shí)，近地點(diǎn)距離地表高度dE=2588 km，探測(cè)器從地球停泊軌道進(jìn)入循環(huán)軌道所需要的能耗為ΔvE=2636 m/s，探測(cè)器從循環(huán)軌道進(jìn)入月球停泊軌道所需要的能耗為ΔvM=574 m/s，整個(gè)轉(zhuǎn)移過程所需要的能耗最低，為3210 m/s；當(dāng)dM=15400 km時(shí)，dE=1358 km，近地點(diǎn)距離地球最近，探測(cè)器從地球停泊軌道進(jìn)入循環(huán)軌道所需要的能耗為ΔvE=2848 m/s，探測(cè)器從循環(huán)軌道進(jìn)入月球停泊軌道所需要的能耗為ΔvM=576 m/s，整個(gè)轉(zhuǎn)移過程所需要的能耗為3424 m/s。

圖25 共振比5∶2的AⅠ類循環(huán)軌道隨近月點(diǎn)高度變化時(shí)所需要的脈沖量Fig.25 The required pulses for type AⅠ cyclers with 5∶2 resonance as the increasing perilune distance

文獻(xiàn)[21]從共振比為2∶1的AⅠ類軌道中選擇出合適的軌道用于循環(huán)方案，其優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性高、周期短，但是其近地點(diǎn)半徑和近月點(diǎn)半徑過大，分別為72326 km和67674 km。本文所構(gòu)造的共振比為5∶2的AⅠ類軌道盡管周期稍長，但其具有較小的近地點(diǎn)半徑和近月點(diǎn)半徑，更適合在地球和月球間進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移。另外，由于文獻(xiàn)[21]中所選擇的地月循環(huán)軌道距離地球過遠(yuǎn)，需要額外增加一段軌道來實(shí)現(xiàn)循環(huán)軌道的入軌設(shè)計(jì)。當(dāng)探測(cè)器從距離地表500 km的地球停泊軌道出發(fā)時(shí)，探測(cè)器從地球停泊軌道進(jìn)入循環(huán)軌道所需要的能耗為3411 km/s，轉(zhuǎn)移時(shí)間約為6天，且未考慮探測(cè)器從循環(huán)軌道進(jìn)入月球停泊軌道所需要的能耗。與之相比，本文選擇的循環(huán)軌道的近地點(diǎn)半徑和近月點(diǎn)半徑較小，可以通過一個(gè)脈沖量直接實(shí)現(xiàn)循環(huán)軌道與地球停泊軌道和月球停泊軌道之間的轉(zhuǎn)移，不需要入軌的過渡時(shí)間，且轉(zhuǎn)移過程中所需要的能耗較低。

6 結(jié) 論

本文以二體開普勒橢圓軌道為參考，根據(jù)軌道共振比與半長軸的關(guān)系對(duì)地月高能共振循環(huán)軌道進(jìn)行了構(gòu)造，快速計(jì)算出圓型限制性三體問題下地月高能共振循環(huán)軌道的初始狀態(tài)?？朔爽F(xiàn)有方法存在計(jì)算量大、有可能改變共振特性和不能構(gòu)造共振比大于2.3的地月循環(huán)軌道等缺點(diǎn)。將能量、穩(wěn)定性、時(shí)間周期、近地點(diǎn)高度和近月點(diǎn)高度作為衡量地月循環(huán)軌道優(yōu)劣的指標(biāo)，對(duì)高能共振循環(huán)軌道進(jìn)行了最優(yōu)選擇。本文研究的高能共振循環(huán)軌道對(duì)長期月球探測(cè)任務(wù)的實(shí)現(xiàn)具有重要的意義，下一步需要將現(xiàn)有成果推廣到三維空間內(nèi)，并進(jìn)一步對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的地月循環(huán)軌道進(jìn)行研究。