李剛，于金鵬，劉加朋，于海生

(青島大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，青島 山東 266071)

0 引言

近年來，機(jī)械臂技術(shù)的應(yīng)用愈發(fā)普及，其結(jié)構(gòu)越發(fā)繁雜化、精密化。因此為確保該技術(shù)的安全性和合規(guī)性，迫切需要更高精度的力/位控制方法。機(jī)械臂力/位控制已經(jīng)成為現(xiàn)今重要的科研方向。在這一領(lǐng)域，眾多學(xué)者作了大量研究，并給出多種控制方法，例如力/位混合控制[1]、阻抗控制[2]等。其中阻抗控制作為解決力/位控制問題的重要方法，具有抗干擾能力強(qiáng)、計(jì)算量相對(duì)較少以及易于機(jī)械臂進(jìn)行力控制等優(yōu)點(diǎn)[3]，受到廣泛關(guān)注。

運(yùn)用于機(jī)械臂的阻抗控制技術(shù)發(fā)展迅速，HOGAN N首先提出了阻抗控制器的設(shè)計(jì)方法[4]，使用阻抗控制理論來調(diào)節(jié)機(jī)器人末端執(zhí)行器與環(huán)境作用力之間的相互作用，但并未實(shí)現(xiàn)對(duì)力的精度控制。喬兵等通過在機(jī)械臂中添加力傳感器測得反饋力信號(hào)加以分析并與阻抗控制技術(shù)結(jié)合[5]，成功提高了對(duì)機(jī)械臂末端與未知環(huán)境表面接觸時(shí)接觸力的控制精度；姜力等通過在阻抗控制的基礎(chǔ)上加入模糊自適應(yīng)控制技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了在控制過程中通過模糊自適應(yīng)技術(shù)[6]持續(xù)調(diào)整阻抗參數(shù)，測試可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的阻抗參數(shù)以產(chǎn)生更優(yōu)秀的控制表現(xiàn)，并將滑模位置控制作為內(nèi)環(huán)，提高了系統(tǒng)的魯棒性[7]；LI P等提出利用模糊自適應(yīng)技術(shù)逼近未知的機(jī)械臂系統(tǒng)模型參數(shù),并進(jìn)行阻抗控制器的設(shè)計(jì)，此技術(shù)可以取得較好的力/位控制效果[8]，但在某些實(shí)際應(yīng)用中，必須實(shí)現(xiàn)快速跟蹤控制，上述方法往往不能滿足條件。

為解決此問題，XUE C Q等將有限時(shí)間控制技術(shù)加入模糊自適應(yīng)阻抗控制中，使機(jī)械臂系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)輸出信號(hào)趨于期望信號(hào)，在加快響應(yīng)速度的同時(shí)極大地提升了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[9]。有限時(shí)間控制方法具有整定時(shí)間短、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中得到廣泛應(yīng)用。與非有限時(shí)間控制器相比，運(yùn)用了有限時(shí)間控制技術(shù)的控制器能實(shí)現(xiàn)更優(yōu)秀的魯棒性和抗干擾性[10]。但是機(jī)械臂在未知或復(fù)雜環(huán)境中運(yùn)行時(shí)，必須保證機(jī)械臂輸出狀態(tài)都限制在給定的有界區(qū)間內(nèi)，否則有可能使機(jī)械臂受損，文獻(xiàn)[9]所提出的機(jī)械臂控制方法并不能保證機(jī)械臂工作過程中的輸出約束在有限區(qū)間內(nèi)。

上述方法均采用反步法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，但在使用反步法設(shè)計(jì)控制器的過程中，虛擬控制律的反復(fù)求導(dǎo)提高了計(jì)算復(fù)雜性。為解決這個(gè)問題，本文引入了指令濾波誤差補(bǔ)償技術(shù)[11]，該技術(shù)通過補(bǔ)償信號(hào)解決濾波誤差問題，并降低控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性?；谝陨蠁栴}，本文將障礙 Lyapunov函數(shù)[12-15]以及有限時(shí)間控制方法與阻抗控制方法結(jié)合，提出了應(yīng)用于機(jī)械臂的有限時(shí)間輸出約束模糊自適應(yīng)阻抗控制。

最后，由仿真結(jié)果證明了本文所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂系統(tǒng)控制器的可行性及有效性。

1 機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型及初步變換

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程[15]如下：

(1)

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[16]如下：

通過以上關(guān)系式轉(zhuǎn)換，可得

(2)

其中：x∈Rm×1是笛卡兒坐標(biāo)系中機(jī)械臂末端的坐標(biāo)，m是機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)空間的維度；q∈Rn×1是機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的角度。

機(jī)械臂末端位置與末端力的阻抗控制關(guān)系式[17]

(3)

其中：E=xd-x，xd是命令軌跡；Md是機(jī)械臂期望慣性矩陣；Bd是機(jī)械臂期望阻尼矩陣；Kd是機(jī)械臂期望剛性矩陣。當(dāng)機(jī)械臂末端在自由空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)e=0。

如果x精確地跟蹤期望軌跡xr∈Rm×1，式(3)可以被寫成下式

(4)

由式(4)中可以得知，若xd、Md、Bd、Kd已知，則可通過式(4)求出期望軌跡xr。

將式(2)帶入式(1)可得

(5)

式中：

為了方便表示，重新定義新的變量為：

(6)

當(dāng)機(jī)械臂在未知受限空間中工作時(shí)，機(jī)械臂的輸出狀態(tài)都應(yīng)被限制在緊集Ωx內(nèi)，其中Ωx={|x1i|≤kci,i=1,…,m}，kci為正常數(shù)?？刂颇繕?biāo)是設(shè)計(jì)控制率τx使x1跟蹤期望軌跡xr，同時(shí)，使機(jī)械臂控制系統(tǒng)的輸出狀態(tài)始終在給定的緊集Ωx中。

引理1[18-19]對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ1>0,λ2>0以及0<γ<1，則有限時(shí)間穩(wěn)定的擴(kuò)展Lyapunov條件為

當(dāng)滿足上式時(shí)，系統(tǒng)半全局有限時(shí)間狀態(tài)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的收斂時(shí)間Ts可估計(jì)為

引理2[20]對(duì)于xi∈R，i=1,2,…,n，0

引理3[11]有限時(shí)間指令濾波形式為：

2 有限時(shí)間模糊自適應(yīng)輸出約束反步控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)反步法原理定義誤差變量如下：

z1=x1-xr，z2=x2-x1,c。

其中：xr為期望軌跡；x1,c為指令濾波器的輸出信號(hào)。定義濾波誤差補(bǔ)償信號(hào)為ξi=zi-vi,i=1,2。

步驟1：選擇第一個(gè)子系統(tǒng)的障礙Lyapunov函數(shù)如下：

(7)

(8)

選取虛擬控制律α1和補(bǔ)償信號(hào)ξ1， 即

(9)

(10)

K1=diag[k11,…,k1m]；H1=diag[h11,…,h1m]；

L1=diag[l11,…,l1m]均為正定矩陣。

將式(9)、式(10)帶入式(8)可得

(11)

步驟2：選取第二個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)如下：

(12)

對(duì)V2求導(dǎo)可得

(13)

(14)

其中l(wèi)為一個(gè)>0的常數(shù)。

(15)

(16)

(17)

Fe+Gx+Cxx2

(18)

由引理2可以得出

(19)

將式(15)-式(19)帶入式(13)，可得

(20)

3 穩(wěn)定性證明

由楊氏不等式可知

(21)

(22)

(23)

將式(21)-式(23)帶入式(20)，可得

(24)

綜合上述兩式，可得

(25)

以下結(jié)論已經(jīng)被證明[14]：

當(dāng)滿足條件|v1i|≤kai，0<γ≤1時(shí)，下列不等式成立：

(26)

將式(25)及式(26)代入式(24)，可得

(27)

其中：

將式(27)改寫為

(28)

由v1=z1-ξ1可知|z1i|≤|v1i|+|ξ1i|≤kai+?。同理，因?yàn)閦1=x1-xr，可知|x1|≤|z1|+|xr|≤kai+?+Y0=kc1。根據(jù)以上分析，機(jī)械臂系統(tǒng)的輸出狀態(tài)變量x被約束于緊集Ωx內(nèi)，保證了機(jī)械臂的有限時(shí)間輸出約束。

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文控制方案的有效性，以圖1所示的垂直平面上的二自由度機(jī)械臂作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，機(jī)械臂工作在受限空間中，在x=0.8處有一面墻壁。

圖1 二自由度機(jī)械臂機(jī)械模型

使用MATLAB對(duì)本文所提出的控制方法進(jìn)行仿真分析。將本文所提出的有限時(shí)間輸出約束阻抗控制(FTOCIC)方法與未考慮有限時(shí)間控制和輸出狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)指令濾波阻抗控制方法進(jìn)行仿真比較, 由式(6)可知仿真實(shí)驗(yàn)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)模型為：

其中x1=[x1,1、x1,2]T，x1,1、x1,2分別表示二自由度機(jī)械臂末端在笛卡兒坐標(biāo)系x、y軸上的位置。

D(q)=

其中：qi表示機(jī)械臂的第i關(guān)節(jié)角度；mi和li分別為機(jī)械臂的第i節(jié)連桿的質(zhì)量和長度；lci為機(jī)械臂的第i-1關(guān)節(jié)到i節(jié)連桿質(zhì)心的距離；Ii為關(guān)節(jié)i基于坐標(biāo)軸穿過關(guān)節(jié)的質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(i=1,2)。

二自由度機(jī)械臂的參數(shù)見表1。機(jī)械臂初始參數(shù)為x1=[0.502,0.702]T，x2=[0,0]T，濾波補(bǔ)償信號(hào)的初始值為ξ1=[0,0]T，ξ2=[0,0]T。

表1 二自由度機(jī)械臂參數(shù)

[sin(t)cos(t)+sin(t)+0.5,2sin(t)cos(t)+cos(t)+1]T。

選擇t∈[0,20]。

對(duì)于二自由度機(jī)械臂模糊自適應(yīng)指令濾波阻抗控制法，控制規(guī)律選取k1=20，k2=560，r=1，l=1，σ=0.1。

對(duì)于二自由度機(jī)械臂模糊自適應(yīng)有限時(shí)間輸出約束指令濾波阻抗控制法，控制參數(shù)選取K1=diag[20,20]，H1=diag[0.1,0.1]，H2=2，L1=diag[0.01,0.01]，L2=2，K2=560，ka=[0.005,0.005]T，r=1，l=1，σ=0.1，γ=0.6，R1=20，R2=0.6。

該二自由度機(jī)械臂的期待阻抗參數(shù)為Md=2I,Bd=diag[20,20]，Kd=diag[50,50]，模糊邏輯系統(tǒng)選擇模糊集為

Sj(z)=exp[(zj+s)/4]

其中：j=1,2,3,4；s=-3,-2,-1,0,1,2,3。

仿真結(jié)果如圖2-圖5所示。圖2是本文提出的控制方法與對(duì)比控制方法機(jī)械臂末端位置跟蹤曲線圖以及外界環(huán)境對(duì)機(jī)械臂末端施加接觸力曲線圖。由圖2可知本文所提控制方法可有效使機(jī)械臂末端跟蹤期望軌跡。圖3是本文提出控制方法與對(duì)比控制方法的跟蹤誤差比較圖以及誤差變量v1變化曲線比較圖。由圖3可知，本文所提控制方法有效地提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小位置跟蹤誤差，并且使誤差變量v1始終位于給定有界區(qū)間內(nèi)。圖4為本文提出的控制方法與對(duì)比控制方法的機(jī)械臂末端速度跟蹤誤差比較圖以及誤差變量v2變化曲線比較圖。圖5為本文提出的控制方法與對(duì)比控制方法的真實(shí)控制律τx的曲線圖。

圖2 機(jī)械臂末端位置與接觸力

圖3 跟蹤誤差z1與誤差變量v1

圖4 跟蹤誤差z2與誤差變量v2

圖5 控制輸入τx

5 結(jié)語

針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)在受限空間中的跟蹤控制問題，本文提出的基于指令濾波的有限時(shí)間輸出約束模糊自適應(yīng)阻抗控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望軌跡的有效跟蹤控制，并且使機(jī)械臂輸出狀態(tài)都限制在預(yù)定義的約束空間中，具有更快的響應(yīng)速度和更小的跟蹤誤差。本文所提控制方法與現(xiàn)有控制方法相比，能實(shí)現(xiàn)更少的響應(yīng)時(shí)間以及更好的跟蹤效果，將機(jī)械臂輸出約束于給定的有界區(qū)間之中，保證了機(jī)械臂運(yùn)行過程中的安全性。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文所提控制方法的有效性。