俞正強(qiáng)

我們經(jīng)常聽到一種說法，叫“學(xué)死了”，或者叫“學(xué)活了”。到底怎么樣算“學(xué)死了”？怎么樣又是“學(xué)活了”？今天以“植樹問題”為例，說明這件事情。

一、“學(xué)死”：源于套路的僵硬

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，前人概括了許多的公式或數(shù)量關(guān)系式，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)便經(jīng)常有些“套路”?！疤茁贰鄙鲜挚?，不管為什么，不管來龍去脈，按“套路”走容易做對(duì)，容易拿分。老師們?cè)谥v這些“套路”時(shí)，經(jīng)常會(huì)說一句話：“不要管它為什么，只記住，這樣做就對(duì)了?！?/p>

學(xué)生在解決“植樹問題”時(shí)，通常是按下列流程進(jìn)行的：

1.仔細(xì)讀題，確定是植樹問題。

2.明確是植樹問題三種情況中的哪種情況，寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。

3.將數(shù)字代入關(guān)系式中，列出算式或方程。

4.計(jì)算并寫好答句。

這個(gè)解題流程，即我們所說的“套路”。這個(gè)“套路”的核心是三種不同情況的關(guān)系式：

兩頭種：距離÷間距+1=棵數(shù)

兩頭不種：距離÷間距-1=棵數(shù)

一頭種一頭不種：距離÷間距=棵數(shù)

按照這個(gè)套路，學(xué)生面對(duì)如下題目時(shí)會(huì)不知所措：

20米距離，5米種一棵樹，共種幾棵樹？

為什么不知所措呢？因?yàn)檫@道題缺乏一個(gè)條件：是兩頭種？還是兩頭不種？還是一頭種一頭不種？

因?yàn)轭}目中沒有寫明白，所以學(xué)生不知道究竟該用哪個(gè)關(guān)系式，是加1？還是減1？或是不加不減？

試想，在具體生活中，誰會(huì)在布置種樹任務(wù)時(shí)加一句：“注意，是兩頭都種啊！”

是兩頭種，還是兩頭不種，屬于哪種情況，一定是在具體的環(huán)境中的具體應(yīng)對(duì)。對(duì)于種樹任務(wù)而言，大致要求就兩個(gè)：一是要種多長（或多大）的場(chǎng)地，二是樹的間距是多少。

但是，只看這兩個(gè)條件，學(xué)生是無法解決這個(gè)問題的。大概這便是一種“學(xué)死”的狀態(tài)吧。

這使我想到了我曾經(jīng)學(xué)習(xí)開車時(shí)的一段經(jīng)歷。

“倒車入庫”是學(xué)習(xí)開車、領(lǐng)取駕駛證的一項(xiàng)基本內(nèi)容。

在學(xué)習(xí)“倒車入庫”的時(shí)候，教練告訴我：你看車蓋上有個(gè)白點(diǎn)，是教練特意粘上去的，當(dāng)這個(gè)白點(diǎn)與××對(duì)齊時(shí)，方向盤就往左打死，然后回正……

我按照這個(gè)“法寶”拿到了駕駛證。但是領(lǐng)到駕駛證之后，自己是不敢開車的，生怕出事。為什么？因?yàn)殡x開了考場(chǎng)，車蓋上既無白點(diǎn)，車外也無“某物”，方向盤往左打死的時(shí)機(jī)基本上無從把握。

所謂“學(xué)死”，大概面對(duì)的是標(biāo)準(zhǔn)的問題，應(yīng)對(duì)的是標(biāo)準(zhǔn)的方法步驟。離開標(biāo)準(zhǔn)的問題，標(biāo)準(zhǔn)的方法步驟便失去了活力。

進(jìn)一步討論，現(xiàn)在我在“倒車入庫”的時(shí)候憑的是什么？還是那套程序嗎？顯然不是，是自己的一種感覺，我們把這種感覺稱為“車感”。這種“車感”肯定是“活”的狀態(tài)，而每個(gè)人的“活”的狀態(tài)都是從個(gè)人的實(shí)踐中悟出來的。

有人會(huì)說，“學(xué)死”有什么關(guān)系呢？每一個(gè)開車的人最后不都“學(xué)活”了嗎？這么說，聽起來似乎十分有道理。事實(shí)上，開車這件事情，因?yàn)槭巧畋仨?，所以不得不開。在不得不開的過程中，每一個(gè)開車的人，慢慢地都有自己的琢磨而逐漸“活”過來了，這個(gè)“活”過來是由于“生活所迫”。

而植樹問題，一旦“學(xué)死”了，學(xué)生便會(huì)因?yàn)榛靵y而害怕這類問題，逃避這類問題，最后逃避數(shù)學(xué)。這便是知識(shí)學(xué)習(xí)與生存學(xué)習(xí)的不同。

所以，那樣的駕駛證學(xué)習(xí)，盡管不好但無須改善。而我們的知識(shí)學(xué)習(xí)，一定要考量，如何不把知識(shí)給“學(xué)死”。

二、“學(xué)活”：厘清知識(shí)的來龍去脈

為有源頭活水來。

“植樹問題”的源頭活水是什么？這個(gè)源頭活水是如何流進(jìn)植樹問題的？又是如何帶著植樹問題流向更寬廣的問題解決的？我們用三次“學(xué)以致用”厘清這個(gè)問題的來龍去脈。

學(xué)用之一：平均分，種樹種在點(diǎn)上的

1.復(fù)習(xí)

材料：20米，5米分一段，共分幾段？

序一：這個(gè)問題怎么解決？

20÷5

序二：為什么用除法解決，而非加法、減法、乘法？

5米一段，5米一段，這是在做一件平均分的事情，所以用除法。

序三：畫成線段圖是怎樣的？

2.新授

（1）種樹種在點(diǎn)上的

材料一：20米，5米種一棵樹，共種幾棵樹？

序一：這個(gè)問題怎么解決？

學(xué)生通常會(huì)爭論，不知是4還是3或是5，主要是不確定屬于三種情況中的哪一種，于是干脆說缺條件，這便是在外面培訓(xùn)班“學(xué)死”的結(jié)果。

序二：以材料一的線段圖為例，討論如何種樹。

種樹方案一：

四棵，種樹種在中間，間距5米

種樹方案二：

五棵，種樹種在點(diǎn)上的

種樹方案三：

四棵，種樹種在點(diǎn)上的

序三：三種種樹方案，哪種方案符合20米，5米種一棵？

種樹方案一：

結(jié)論：種了15米，5米種一棵，不符合要求。

種樹方案二：

結(jié)論：種了20米，5米種一棵，符合要求。

種樹方案三：

結(jié)論：種了15米，5米種一棵，不符合要求。

小結(jié)：方案二符合要求，一共5棵，種樹種在點(diǎn)上的。

（2）平均分的點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1

材料：①20米，5米分一段，共分幾段？

②20米，5米種樹一棵，共種幾棵？

序一：這兩個(gè)問題的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)分別是什么？

相同：這兩個(gè)問題本質(zhì)上都是平均分的問題。

不同：問題①是平均分中的段數(shù)，問題②是平均分中的點(diǎn)數(shù)。

序二：一段幾個(gè)點(diǎn)？兩段幾個(gè)點(diǎn)？三段幾個(gè)點(diǎn)？

點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1（段數(shù)+1=點(diǎn)數(shù)）

（3）植樹問題的解決模型

序一：植樹問題為什么用除法解決？

因?yàn)橹矘鋯栴}本質(zhì)上是平均分的問題。

序二：植樹問題為什么要在平均分的基礎(chǔ)上+1？

因?yàn)橹矘涫侵苍邳c(diǎn)上的，點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1。

【分析】至此，學(xué)生完成了第一次學(xué)以致用的經(jīng)歷?！皩W(xué)”的是二年級(jí)的平均分，“用”的是四年級(jí)的植樹問題。植樹問題是個(gè)生活問題，透過生活問題的表象，我們發(fā)現(xiàn)它本質(zhì)上就是一個(gè)平均分的過程，平均分是數(shù)學(xué)對(duì)這類生活問題的把握—因?yàn)槭瞧骄謫栴}，所以用除法。

平均分問題帶來兩個(gè)元素，點(diǎn)與段。二年級(jí)的時(shí)候，點(diǎn)與段混淆在平均分中，沒有區(qū)別;到了四年級(jí)，因?yàn)橹矘鋯栴}，點(diǎn)與段這兩個(gè)元素從平均分問題中清晰起來，這個(gè)清晰的過程也是學(xué)生深化理解平均分的過程。

在第一次學(xué)以致用的過程中，形成如下板書：

②20米，5米種一棵樹，? ? ? ? ? ①20米，5米分一段，

共種幾棵？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共分幾段？

20÷5=4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20÷5=4

4+1=5

學(xué)用之二：點(diǎn)與段，還有哪些活也是干在點(diǎn)上的？

任務(wù)：剛才我們研究后發(fā)現(xiàn)，植樹問題其實(shí)就是平均分問題，種樹是種在點(diǎn)上的，請(qǐng)大家思考一下，這世界上除了樹種在點(diǎn)上，還有什么活也是干在點(diǎn)上的？

生1：環(huán)衛(wèi)工人在街上擺放垃圾箱。

生2：電力員工立電線桿。

生3：學(xué)校里插紅旗，爬樓梯。

生4：排隊(duì)伍，擺凳子，擺杯子，掛燈籠……

生5：高速公路上建服務(wù)區(qū)，地鐵上建站。

生6：美國選總統(tǒng)。

……

【分析】這個(gè)問題的討論，使學(xué)生們從這節(jié)課學(xué)的植樹問題上拓展開，學(xué)的是植樹，用的是擺垃圾桶、掛燈籠、建服務(wù)區(qū)等。從一個(gè)具體的植樹問題到一類現(xiàn)象。通過這一次學(xué)以致用的體驗(yàn)，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，植樹問題是一個(gè)十分普遍的問題，原來生活中有那么多事其實(shí)都是數(shù)學(xué)的平均分問題，都是“干”在點(diǎn)上的。

學(xué)用之三：細(xì)加減，具體問題具體辦

任務(wù)一：今天我們要派出第1小組去植樹，20米，5米種一棵，向老師領(lǐng)幾棵樹苗？第1小組同學(xué)到現(xiàn)場(chǎng)一看，發(fā)現(xiàn)這塊場(chǎng)地上的一頭被房子占了，怎么辦？

生1：把房拆了。

生2：種房頂上。

生3：少種一棵。

結(jié)論：一個(gè)點(diǎn)被房占了，就少種一棵，還一棵樹苗給老師—20÷5+1-1。

任務(wù)二：現(xiàn)在派出第2小組去植樹，20米，5米種一棵，向老師領(lǐng)幾棵樹苗？第2小組同學(xué)到現(xiàn)場(chǎng)一看，發(fā)現(xiàn)這20米正好在兩幢房子中間，怎么辦？

生：少種兩棵。

結(jié)論：兩端有房，說明占用了兩個(gè)端點(diǎn)—20÷5+1-2。

任務(wù)三：現(xiàn)在派出第3小組去種樹，20米，5米種樹一棵，向老師領(lǐng)幾棵樹苗？他們到現(xiàn)場(chǎng)一看，大家猜，他們遇到什么情況？怎么辦？

……

結(jié)論：不論什么情況，關(guān)鍵是看有幾個(gè)點(diǎn)被占了，就減去幾個(gè)點(diǎn)，具體問題具體對(duì)待，即靈活機(jī)動(dòng)。

三、討論：套路“死”的原因是什么

前面展示了兩個(gè)教學(xué)版本，“套路”基本上就是套用數(shù)量關(guān)系式且有固定流程，沒有經(jīng)歷過三次學(xué)以致用的過程。講套路“死”的原因時(shí)，不由自主地想到說書人常用的一句話：且聽我慢慢道來。

1. 植樹問題的根源在平均分

從平均分開始說。

平均分是對(duì)生活原型的概括。平均分這種運(yùn)算在數(shù)學(xué)里用除法表示。平均分有有余等分與無余等分兩種，將平均分表示為線段模型，則有點(diǎn)和段兩個(gè)元素。從問題解決的角度看，有余等分對(duì)應(yīng)的問題解決，我們稱為“余數(shù)問題”;無余等分對(duì)應(yīng)的問題分為兩部分：

第一部分是段的問題，如價(jià)格問題、行程問題、工程問題等，基本格式是：□÷□;

第二部分是點(diǎn)的問題，如植樹問題，基本格式是：□÷□+1 。

將這一段話連成樹形圖，是這樣的，見圖1。

圖1

從這個(gè)樹形圖上來看，植樹問題并非什么難的問題，與價(jià)格問題、工程問題、行程問題是同一個(gè)水平的問題。現(xiàn)在我們的教材普遍因?yàn)橹矘鋯栴}難而棄植樹問題于課外，或置植樹問題于數(shù)學(xué)廣角之中，正是因?yàn)闆]有理解植樹問題的根源在于平均分。

2. 植樹問題的基本法與變法

植樹問題作為一類問題解決，有其較為固定的方法，我們稱為基本法。其基本法作為運(yùn)算可以描述為：□÷□+1。

但是在實(shí)際的勞動(dòng)情境中，不同的情境要有不同的應(yīng)對(duì)，比如，

一頭有房就需要少一棵樹，因?yàn)橛幸粋€(gè)點(diǎn)被房占了，得到下列運(yùn)算：□÷□+1-1;

兩頭有房就需要少兩棵樹，因?yàn)橛袃蓚€(gè)點(diǎn)被房占了，得到下列運(yùn)算：□÷□+1-2。

由此可見，在現(xiàn)實(shí)生活中，不管遇到什么事，只要思考幾個(gè)點(diǎn)被占了，或者說少了幾個(gè)點(diǎn)，減幾，就可以了。

一頭有房與兩頭有房是我們列舉的例子，實(shí)際情況并不止這兩種，還有很多種。不管哪一種，萬變不離其宗，只要思考少幾個(gè)點(diǎn)即可。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)植樹問題的時(shí)候就算學(xué)遍了，學(xué)遍了就會(huì)從容、淡定。

3. 熟能生巧后的技巧成了套路

植樹問題的“理”是平均分。

植樹問題的“法”有基本法與變法。

“理”是一以貫之的，“法”是千變?nèi)f化的。

所有的“法”在實(shí)踐一段時(shí)間后，學(xué)生大致都可以熟能生巧，總結(jié)出一些技巧，植樹問題也是如此。方法用久了之后，總結(jié)出大致三種情況。

好，通過以上分析，我們基本明白了植樹問題的來龍去脈：

套路的特點(diǎn)就是簡單有效，將前人經(jīng)歷過的從理與法中提煉出來的技巧，當(dāng)成教學(xué)的關(guān)鍵，省去了對(duì)理的感悟與對(duì)法的概括的思考過程，直接接受技巧。這種看似簡單有效的教學(xué)割裂了知識(shí)間的來龍去脈，知識(shí)成了碎片，知識(shí)碎片越多，學(xué)生越容易忘記，這便是“學(xué)死”的原因。

正確的做法，將從原型到道理再到方法的過程，由老師陪著學(xué)生一起經(jīng)歷，將技巧的得到過程留給學(xué)生本人完成。因?yàn)榧记墒莻€(gè)人化的，方法是可通用的，道理是一以貫之的，我們的學(xué)習(xí)不要局限于那些個(gè)人化的東西之上。

四、數(shù)學(xué)中類似的技巧教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多類似的技巧教學(xué)，比如，

看見“和”就用“+”，

看見“每”就用“÷”，

看見“共”就用“×”，

看見“?！本陀谩?”。

這是一二年級(jí)用“+、-、×、÷”解決問題時(shí)的技巧。

如果題目這樣出：小明昨天剩2根，今天剩3根，一共剩幾根？

學(xué)生就非常糾結(jié)，看見“共”要用“×”，看見“?！币谩?”，題目好像用“+”，怎么辦？

再如，列方程解決問題，學(xué)生經(jīng)常不知道設(shè)誰為x，老師又教給學(xué)生一些技巧：求誰就設(shè)誰為x。

當(dāng)出現(xiàn)需要設(shè)中間量為x的時(shí)候，學(xué)生又不會(huì)了。

……

在數(shù)學(xué)里，這樣的“竅門”太多了，我們經(jīng)常把這些“竅門”當(dāng)成好方法，結(jié)果學(xué)生越學(xué)越混亂，以致亂成一個(gè)死局。

知識(shí)“學(xué)死”與“學(xué)活”的原因應(yīng)該有很多，本文只是提出了許多原因中的一個(gè)。個(gè)人認(rèn)為這個(gè)原因帶有普遍性，且十分重要。從技巧回到方法原理中，學(xué)習(xí)就會(huì)有味道，這就是種子課的意義。

（作者系浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長）

責(zé)任編輯：胡玉敏

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