杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500 )

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，既是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，又是解數(shù)學(xué)問題尋找思路的依據(jù)，它蘊(yùn)含在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中.下面舉例說明集合中常用的數(shù)學(xué)思想，供參考.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合,由數(shù)思形，由形定數(shù)，起到互補(bǔ)、互動(dòng)、互譯作用，可見數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).使用數(shù)形結(jié)合思想可以使問題化難為易，化抽象為具體.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題通常有三種類型：由形化數(shù)，由數(shù)化形，數(shù)形轉(zhuǎn)化.

例1 已知集合A={x|1≤x<4}，B={x|x

分析把集合在數(shù)軸上表示出來，借助數(shù)軸直接求解.

解將集合A表示在數(shù)軸上，如圖1所示，要滿足AB，表示數(shù)a的點(diǎn)必須在表示4的點(diǎn)處或在表示4的點(diǎn)的右邊，所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥4}.

點(diǎn)評(píng)求解這類問題的關(guān)鍵是要利用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合；將集合A表示在數(shù)軸上，由數(shù)化形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是由形化數(shù)，同時(shí)要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤；解決有關(guān)交集、并集問題，特別是求一些字母取值范圍的問題常用數(shù)形結(jié)合思想方法.

二、分類討論思想

所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.分類討論實(shí)質(zhì)上就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略.

例2 設(shè)集合A={x|x2+2x=0}，B={x|x2+2ax+a2-a=0，a∈R,x∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析由于B?A，所以集合B可以為空集，可以B與A相等，也可以B為A的非空真子集，需分三種情況進(jìn)行討論.

解因?yàn)锳={x|x2+2x=0}={-2,0}，B?A，所以有B=φ、B=A或BA(B≠φ).

(1)當(dāng)B=φ時(shí)，Δ=4a2-4(a2-a)<0，解得a<0；

(3)當(dāng)BA(B≠φ)時(shí)，有B={-2}或B={0}，所以Δ=4a2-4(a2-a)=0，解得a=0，此時(shí)B={x|x2=0}={0}滿足條件.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=1.

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是理解好子集的含義；B?A可分B=φ、B=A或BA(B≠φ)三種情況，所以此類問題需要分類，并結(jié)合一元二次方程根的情況加以解決；分類時(shí)要遵循“確定對(duì)象的全體，明確分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏”的原則，然后對(duì)于每一類情況都要給出問題的解答.

三、方程思想

方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的關(guān)系用方程的關(guān)系來反映，然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論的數(shù)學(xué)方法.

分析利用集合相等，它們所含的元素相同，列方程來確定a，b的值，再求a2021+b2021的值.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵是利用集合相等的概念，借助相等的關(guān)系列方程求出字母的值，但要注意排除與集合元素互異性或已知相矛盾的情況.

四、正難則反思想

有些數(shù)學(xué)問題，若直接從正面解決比較困難，或考慮的因素比較多，可以考慮求問題的反面，采用間接的方法將問題解決，這就是正難則反思想.在解決“至多”、“至少”等一類問題時(shí)，常用這種思想方法，在集合中正難則反思想就是補(bǔ)集思想.

例4 已知集合P={x|4

分析P∩Q≠Q(mào)直接考慮情況很多，非常麻煩，因此考慮它的反面，即P∩Q=Q，求出答案，只要求它的補(bǔ)集即可.

綜上所述，當(dāng)P∩Q=Q時(shí)，k的取值范圍是{k|k≤2,或34}.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵是將求P∩Q≠Q(mào)時(shí)的k的取值范圍轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立面P∩Q=Q時(shí)的k的取值范圍，再取補(bǔ)集得出原問題的解；正難則反思想作為一種思想方法，為我們研究問題提供了新思路，在正向思維受阻的情況下，改用逆向思維，可能“柳暗花明”，從這個(gè)意義上講，正難則反思想具有轉(zhuǎn)換研究對(duì)象的功能.

五、轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的一種方法.轉(zhuǎn)化思想方法可以將難解的、復(fù)雜的、未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為較容易的、簡單的、已解決的問題.

例5 已知集合M={(x,y)|y=x-2,x∈R}，N={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈R}，問是否存在非零整數(shù)a，使得M∩N≠φ.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵將待求問題轉(zhuǎn)化為討論方程組是否有解的問題，從而順利獲解.