賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學(xué) 835400)

近期，在高三復(fù)習(xí)課過程中,筆者多次見到與2017年清華大學(xué)能力測試第12題同類型的試題，呈現(xiàn)形式多以選擇題或填空題為主.我嘗試著用此題訓(xùn)練所教的學(xué)生，效果極不理想，很多同學(xué)幾乎沒有任何頭緒.這種現(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注，并由此展開了對此題解法的探究，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

一、題目呈現(xiàn)

題目(2017年清華大學(xué)能力測試第12題)已知實數(shù)x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值為( ).

二、總體分析

這道題條件看似簡單，在二元二次的條件下求二次目標(biāo)函數(shù)的最值，但從學(xué)生實際解答來看，想要得出正確的結(jié)果并不容易.很多同學(xué)由于不得要領(lǐng)，一頭霧水，不知從何處著手解答此題.事實上,此題解答的方法有很多種.例如采用配方法，借助三角換元來解決，這是最常規(guī)的方法；仔細(xì)分析此題，發(fā)現(xiàn)等式的左邊可以進(jìn)行因式分解，而且可以分解成兩個一次因式的積的形式，也可以以此作為解題的突破口；對于這類題，判別式法也是一個常見方法.下面我們從不同的視角來探究此題.

三、解法探究

視角1 依托配方法和三角換元作答.

整理,得(25z+33)t2+40t+50-25z=0.

評注通過以上求解過程不難看出，運算過程相當(dāng)繁瑣，計算量大.分析此題發(fā)現(xiàn)，將已知條件左邊進(jìn)行配方可得平方差關(guān)系，這種形式對于一般學(xué)生，三角換元不易實現(xiàn)(超出了課程標(biāo)準(zhǔn)，本質(zhì)是不作要求的同角三角函數(shù)平方關(guān)系)，而且計算過程相當(dāng)繁瑣.因此，我們需要另辟蹊徑，以期達(dá)到簡便運算，快速正確求解的效果.

視角2 通過普通換元，借助基本不等式作答.

解法2 將5x2-y2-4xy=5的左邊進(jìn)行因式分解，得(5x+y)(x-y)=5.

設(shè)5x+y=a,x-y=b,則有ab=5(a≠0,b≠0).

①

將①②③代入2x2+y2中，

評注解法2通過因式分解后換元，將整理好的式子代入目標(biāo)函數(shù)，消元得到關(guān)于a的分式函數(shù)，借助于均值不等式得出結(jié)果，本解法消元很巧妙.

針對解法2中a,b的關(guān)系，可以進(jìn)一步作消元處理：

將④⑤代入2x2+y2中，化簡整理，得

下同解法2.

視角3 利用導(dǎo)數(shù)作答.

解法4 結(jié)合解法2，化簡整理,得

由g′(a)=0，解得a2=15.

當(dāng)a2∈(0,15)時，g′(a)<0 ,

當(dāng)a2∈(15,+∞)時，g′(a)>0 ,

評注利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題是非常實用和重要的方法.大家在平常的教學(xué)中，遇到求最值的問題，不妨利用導(dǎo)數(shù)求解試試看，一般都能得解.充分展現(xiàn)導(dǎo)數(shù)求解最值問題的魅力.

視角4 利用三角換元，借助基本不等式作答.

代入2x2+y2，整理并求解,得

由基本不等式,得

評注本解法中定值absinαcosα=5，提示我們向基本不等式方向?qū)ふ彝黄瓶?，這是一種解題能力.

代入2x2+y2中，整理并求解,得

下同解法5.

下同解法5.

評注解法5,6,7本質(zhì)上是相通的，我們期望這些訓(xùn)練讓學(xué)生的知識融會貫通，在比較中發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系.

視角5 巧用三角換元，借助輔助角公式作答.

評注輔助角公式在三角函數(shù)求最值時也經(jīng)常出現(xiàn)，當(dāng)然更多的時候是以配湊特殊的角的形式呈現(xiàn).教學(xué)中，我們一定要給學(xué)生講清其本質(zhì).只要學(xué)生理解了公式的內(nèi)涵，才能達(dá)到靈活應(yīng)用的目的.

視角6直接用極坐標(biāo)換元，借助于判別式作答.

進(jìn)一步換元，令2x2+y2=z，tanθ=t，化簡,得

(5+z)t2+4zt+(10-5z)=0.

由Δ=(4z)2-4(5+z)(10-5z)≥0，

得9z2+15z-50≥0，(3z-5)(3z+10)≥0.

評注此解法以所要求解的結(jié)論為出發(fā)點，借助三角換元和二次函數(shù)的判別式來解決，解法相對比較新穎，可以在教學(xué)中適當(dāng)展示，拓寬學(xué)生的視野和解題思路.

四、追根溯源

此題與2011年全國Ⅱ卷理科第16題有很大的相關(guān)性.

求解展示從略，有興趣的讀者可以自行查閱.

本題無論從一般換元法，還是從三角換元法入手，甚或?qū)?shù)法、極坐標(biāo)換元法等，均可以順利解答，只是求解過程或簡單或繁瑣.當(dāng)然本文所研究試題的一個顯著特點在于已知條件的左邊可以進(jìn)行因式分解，所以解決起來更加便捷.

五、變式訓(xùn)練

變式1 若正數(shù)a,b,c滿足(a+c)(b+c)=2，則a+2b+3c的最小值是____.(答案：4)

說明本道題的已知條件呈現(xiàn)的是兩個一次因式的乘積，并且是定值，明顯降低了難度，利用三角換元或極坐標(biāo)換元均可以順利解決.

說明此題可以嘗試直接利用極坐標(biāo)換元法；如果大家可以進(jìn)行適當(dāng)配湊(x+1)(y+2)=6，就可以利用變式1的解法求解得出結(jié)果.

變式3正數(shù)x,y滿足x2+2xy+4y2=6，求x2+4y2的取值范圍.(答案:[4,12])

說明本題不能進(jìn)行因式分解，因此要考慮采用配湊法，利用三角換元解決；或直接利用極坐標(biāo)換元來求解.

六、教學(xué)反思

對于一道典型題，哪怕是一道小題,我們也不能小覷.這道題可以說是小題雖小,卻能以小見大,內(nèi)涵豐富.因此我們一定要弄清題目本質(zhì)，還要根據(jù)不同的形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈兪接?xùn)練，通過分析選擇合適的解題方法.以期達(dá)到做一題，通一類，會一片的目的.同時，高中數(shù)學(xué)課程要以發(fā)展學(xué)生為本，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).因此，我們不能就題講題,停留在淺層次，而是要深入探討，而且還要善于總結(jié)同類問題的共性，找到此類問題的解決策略，將所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)化.