張浩強，蔡 柳，盧森幸，林彥伯

(河池學(xué)院，廣西 宜州 546300)

0 引言

近些年來，由于并聯(lián)機構(gòu)集合了其他機構(gòu)高剛度、高承載力和高精度的特點，使其進入了國內(nèi)外很多研究機構(gòu)的視野，并廣泛應(yīng)用于野外探索和礦井采樣勘探領(lǐng)域[1-4]。

在并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域中，國內(nèi)學(xué)者郝亮亮等[5]首先從3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)求解及仿真入手，驗證其在跳躍機器人中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6-8]分別將并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)用于機構(gòu)的協(xié)同避障、殘余振動抑制、提高手機攝像頭的裝配精度等。從以上研究可以肯定并聯(lián)機構(gòu)的關(guān)鍵點在于精度的控制，為了提高并聯(lián)機構(gòu)對預(yù)設(shè)軌跡的追蹤精度，研究人員對多種控制方法展開了研究。文獻(xiàn)[9-14]成功建立了并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上運用模糊PID控制，實現(xiàn)了高精度、快速響應(yīng)的性能提升。文獻(xiàn)[15-16]分別在對3-CP_aRR和3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)分析基礎(chǔ)上進行了實時控制系統(tǒng)的控制研究。

本文以六自由度3T3R對稱新型3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)為對象展開研究,設(shè)計了其動力學(xué)控制方法。

1 3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型分析

新型搓澡與按摩機器人利用了并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點，其基本構(gòu)型為3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)，由基礎(chǔ)平臺(半徑為R的共面圓B1B2B3)、運動平臺(半徑為r的共面圓S1S2S3)及3條RiPiRiSi(i=1,2,3)對稱支鏈組成，機構(gòu)簡圖如圖1所示。3-RPRS并聯(lián)機器人RiSi連桿長為li，豎直滑塊滑動距離為Pi，即為并聯(lián)機器人各構(gòu)件間的鏈接關(guān)系。

圖1 3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)簡圖

根據(jù)3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)的幾何約束關(guān)系，分別在基礎(chǔ)平臺和運動平臺幾何中心建立全局坐標(biāo)系(定坐標(biāo)系)B-XYZ和動坐標(biāo)系p-xyz。設(shè)動平臺幾何中心點p的全局坐標(biāo)為p(xp,yp,zp)，滑桿Pi與基礎(chǔ)平臺水平面的夾角為θi，連桿RiSi與水平面間的夾角為φi。由幾何關(guān)系，考慮到3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)支鏈對稱，本文簡化為一條支鏈進行分析。

利用修正的G-K公式[17]對該并聯(lián)機構(gòu)進行自由度的計算，即：

(1)

其中：d為機構(gòu)的階數(shù)，d=6；n為包括機架的桿件數(shù)目，n=11；N為運動副的數(shù)目，N=12；fi為第i個運動副的自由度數(shù)；v為并聯(lián)冗余約束數(shù)，v=0；ξ為局部自由度，ξ=0。

將相關(guān)數(shù)值代入式(1)計算得：M=6。故新型并聯(lián)機構(gòu)可以實現(xiàn)6自由度空間3T3R的運動，這表明機構(gòu)運動平臺末端輸出運動不受限。

根據(jù)機構(gòu)的幾何關(guān)系，求得點Si在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo):

S1=(0,R-P1cosθ1-l1cosφ1,P1sinθ1+l1sinφ1).

(2)

(3)

(4)

而對于搓澡與按摩3-RPRS并聯(lián)機器人來講，機構(gòu)的動坐標(biāo)系p-xyz相對于全局坐標(biāo)系B-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

(5)

其中：TZ,α、TY,β、TX,γ分別為繞Z軸、Y軸和X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣；α、β、γ為歐拉角；s與c分別為sin和cos。

當(dāng)給出3個歐拉角α、β、γ時，動坐標(biāo)最終的姿態(tài)矩陣Tp就可以確定，那么在動坐標(biāo)系中的任一向量SiT可以通過坐標(biāo)變換方法變換到定坐標(biāo)系中，故有：

(6)

其中：p為動平臺幾何中心點處位置矢量，其在定坐標(biāo)系中為p=(xpypzp)T。

同理，可推導(dǎo)出點Si在動坐標(biāo)系下的坐標(biāo):

(7)

由式(2)～式(7)聯(lián)立可以得到搓澡與按摩3-RPRS并聯(lián)機器人的位置解。

2 逆動力學(xué)模型求解

采用虛功原理來研究機構(gòu)的逆動力學(xué)求解問題，由虛功原理可得機構(gòu)整體的動能方程為：

(8)

(9)

將式(9)對時間求導(dǎo)得：

(10)

將式(8)對廣義坐標(biāo)變量q求導(dǎo)可得：

(11)

則支鏈的勢能函數(shù)為：

Ep=gTJ(q-q0).

(12)

其中：g為支鏈重力；q0和q分別為動平臺的初始與當(dāng)前位姿矩陣。

將式(12)對廣義坐標(biāo)變量q求導(dǎo)，則有：

(13)

由以上分析可得并聯(lián)機構(gòu)的廣義力為：

(14)

廣義力F是機構(gòu)動平臺位姿變化伴隨產(chǎn)生相應(yīng)的“驅(qū)動力”。根據(jù)虛位移原理可知，3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)的外力為關(guān)節(jié)驅(qū)動力和動平臺所受外載荷，故其所做的虛功為：

(15)

其中：Fw為機構(gòu)所承受的外載荷；δq為機構(gòu)的廣義虛位移；fD為機構(gòu)支鏈的驅(qū)動力。

根據(jù)虛功原理，可以得到并聯(lián)機構(gòu)的廣義驅(qū)動力所做的虛功為：

W2=fDJTδq+FwGTδq.

(16)

由式(15)和式(16)聯(lián)立求解得到：

fD=J-T(F-GTFw).

(17)

對于新型搓澡與按摩機器人來講，求解其動力學(xué)逆解方程，即是已知動平臺的運動軌跡，求解驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入力的問題。

3 并聯(lián)機構(gòu)控制系統(tǒng)的控制策略

數(shù)學(xué)工具Simulink在運動控制方面仿真效率高、邏輯結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確清晰且非常適合動態(tài)系統(tǒng)的建模與分析，故本文根據(jù)機構(gòu)的構(gòu)型特點，在Simulink中添加各運動副、相應(yīng)剛體Body及傳感器建立并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)模型和系統(tǒng)框圖，如圖2、圖3所示。

圖2 3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)模型

圖3 3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)特性隨著其運轉(zhuǎn)速度的提高而明顯增強，且呈現(xiàn)非線性的變化規(guī)律。為了保證并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)位置控制精度，因此本文引入基于動力學(xué)模型的前饋控制[18]的改進控制方法。改進后的控制方法是以整個機構(gòu)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為控制對象，通過逆動力學(xué)模型求解，從而得到動力學(xué)前饋控制信號，并通過補償算法反饋到閉環(huán)控制系統(tǒng)中。并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)前饋控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。

圖4 并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)前饋控制系統(tǒng)框圖

4 并聯(lián)機構(gòu)系統(tǒng)算例仿真

假設(shè)給定3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)實驗平臺的額定外載和約束條件以及末端預(yù)設(shè)運動軌跡，通過機構(gòu)的動力學(xué)方程以及所構(gòu)建的Simulink逆動力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，結(jié)合并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)前饋控制系統(tǒng)對其動力學(xué)進行仿真。為進一步驗證控制系統(tǒng)的有效性及精度控制性能，在此基礎(chǔ)上聯(lián)合ADAMS虛擬樣機對并聯(lián)機構(gòu)進行虛擬仿真驗證。本文采用文獻(xiàn)[5]中的3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)來進行仿真，機構(gòu)初始位姿參數(shù)值參考設(shè)定如表1所示。

表1 機構(gòu)初始位姿參數(shù)值參考設(shè)定

設(shè)定預(yù)設(shè)軌跡包含兩組：一組為簡單預(yù)設(shè)軌跡；一組為復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡。依據(jù)符合一般性原則及系統(tǒng)物理參數(shù)模型，在并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)前饋控制系統(tǒng)中對并聯(lián)機構(gòu)進行算例仿真，仿真得到的結(jié)果如圖5～圖11所示。

從圖5和圖8來看，3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)前饋控制系統(tǒng)下的修正理論系統(tǒng)動力學(xué)模型軌跡與實際軌跡存在偏差，但修正后的實際偏差較小，運動方向穩(wěn)定，體現(xiàn)出控制的有效性。

圖5 簡單預(yù)設(shè)跟蹤軌跡

從圖6、圖7和圖9～圖11來看，3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)前饋控制系統(tǒng)下的修正理論系統(tǒng)動力學(xué)模型與實際軌跡存在的各向位移偏差變化在±1 mm以內(nèi)，80%的位移偏差控制在±0.8 mm以內(nèi)；從機構(gòu)前饋控制系統(tǒng)在簡單軌跡和復(fù)雜軌跡追蹤結(jié)果來看，簡單軌跡更具波動性而且波動次數(shù)也更多，這也驗證了前饋控制系統(tǒng)對復(fù)雜預(yù)設(shè)軌跡的追蹤效果更好，能夠較好地減少追蹤過程產(chǎn)生的誤差。仿真結(jié)果表明，前饋控制系統(tǒng)可以對3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)的運動軌跡進行較為準(zhǔn)確的控制，而且控制過程較為平穩(wěn)。

圖6 簡單預(yù)設(shè)跟蹤軌跡在x方向上的誤差圖7 簡單預(yù)設(shè)跟蹤軌跡在y方向上的誤差圖8 復(fù)雜預(yù)設(shè)跟蹤軌跡

圖9 復(fù)雜預(yù)設(shè)跟蹤軌跡在x方向上的誤差圖10 復(fù)雜預(yù)設(shè)跟蹤軌跡在y方向上的誤差 圖11 復(fù)雜預(yù)設(shè)跟蹤軌跡在z方向上的誤差

5 結(jié)語

本文對新型搓澡與按摩機器人構(gòu)型展開動力學(xué)研究，研究結(jié)果表明：

(1) 利用修正的G-K公式分析得到并聯(lián)機構(gòu)的自由度為6，建立該機構(gòu)的加速度和速度的映射關(guān)系；利用虛功原理推導(dǎo)了Lagrange逆動力學(xué)方程，求解了驅(qū)動力。

(2) 在此基礎(chǔ)之上，建立并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)模型和系統(tǒng)框圖，以此引入基于動力學(xué)模型的前饋控制的改進控制方法和前饋控制系統(tǒng)。

(3) 算例仿真驗證了理論推導(dǎo)的有效性，該機構(gòu)的運動情況穩(wěn)定、無突變；3-RPRS并聯(lián)機構(gòu)前饋控制系統(tǒng)下的修正理論系統(tǒng)動力學(xué)模型與實際軌跡存在的各向位移偏差變化在±1 mm以內(nèi)，80%的位移偏差控制在±0.8 mm以內(nèi)，可以保證并聯(lián)機構(gòu)運動穩(wěn)定性，體現(xiàn)出動力學(xué)控制方法的有效性。

此控制方法不但能有效地提高機構(gòu)位置控制精度，而且可以發(fā)揮機構(gòu)運動學(xué)閉環(huán)控制抗擾動能力強的特點，降低單純的前饋控制算法對機器人系統(tǒng)動力學(xué)模型高精度的要求。