南余榮，陳姝瑾，王滿(mǎn)意

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

DC-DC變換器是電能變換的重要組成部分，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可靠性好，效率高等特點(diǎn)[1]。Buck型降壓變換器是DC-DC變換器主要類(lèi)型之一，廣泛用于電機(jī)驅(qū)動(dòng)，光伏發(fā)電系統(tǒng)，電動(dòng)汽車(chē)等領(lǐng)域[2]。隨著以綠色環(huán)保為特征的新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，越來(lái)越多的研究者關(guān)注電能轉(zhuǎn)換的質(zhì)量和效率問(wèn)題。

在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)模型會(huì)受到各種干擾的影響，例如電感磁特性的不確定性、輸入電壓的不穩(wěn)定、負(fù)載的擾動(dòng)等，目前已有許多先進(jìn)的非線(xiàn)性控制方法應(yīng)用于Buck型變換器，如自抗擾控制、自適應(yīng)控制、滑?？刂频萚3]。其中滑?？刂圃趯?shí)際應(yīng)用中具有操作簡(jiǎn)單，精度高，且有較好的穩(wěn)定性和魯棒性等優(yōu)點(diǎn)?？紤]在實(shí)際應(yīng)用中存在的擾動(dòng)和不確定性，很難用實(shí)際的傳感器進(jìn)行測(cè)量，而設(shè)計(jì)觀測(cè)器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的精確估計(jì)和補(bǔ)償。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO, extended-state observer)，實(shí)現(xiàn)對(duì)負(fù)載變化的估計(jì)，同時(shí)設(shè)計(jì)滑?？刂破?，提高了系統(tǒng)的抗干擾性能。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器(UIO,unknown input observer)，對(duì)噪聲的敏感度較低，且只需要調(diào)節(jié)一個(gè)參數(shù)，便于在實(shí)際系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[6]提出了基于擾動(dòng)觀測(cè)器(DOB, disturbance observer)的滑?？刂品椒ǎ梢栽谟邢迺r(shí)間內(nèi)收斂至參考電壓附近的鄰域內(nèi)。但是上述觀測(cè)器只能精確估計(jì)慢時(shí)變擾動(dòng)[7]，在實(shí)際系統(tǒng)中的擾動(dòng)更為復(fù)雜，可能還存在高階多項(xiàng)式擾動(dòng)。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了廣義比例積分觀測(cè)器(GPIO,generalized proportional integral observer)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)慢時(shí)變擾動(dòng)和快時(shí)變擾動(dòng)的精確估計(jì)，并與反步法進(jìn)行結(jié)合來(lái)處理非匹配負(fù)載擾動(dòng)，反步法的基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分解成多個(gè)子系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)虛擬控制律的方式由后向前遞推，將干擾因素都設(shè)計(jì)進(jìn)入每個(gè)子系統(tǒng)中，但是在設(shè)計(jì)過(guò)程中，控制器中可能會(huì)存在虛擬控制函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，計(jì)算起來(lái)較為復(fù)雜。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于延時(shí)、滯后效應(yīng)和元器件開(kāi)關(guān)頻率達(dá)不到無(wú)窮大的理想狀態(tài)等問(wèn)題，控制器在滑模運(yùn)動(dòng)中可能會(huì)引起高頻抖振，這種抖振現(xiàn)象會(huì)降低系統(tǒng)的效率，增加能量損耗，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)與理想狀態(tài)發(fā)生很大偏離。因此高為炳院士為了消除變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的抖動(dòng)，提出了趨近律的概念，同時(shí)，實(shí)驗(yàn)證明了通過(guò)趨近律的方法可以減小滑?？刂频墓逃卸墩?。文獻(xiàn)[9]提出了一種無(wú)抖振的變速趨近律，在離散系統(tǒng)中，通過(guò)調(diào)節(jié)趨近律變化速率控制函數(shù)，可以使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，并削弱了控制器的抖振。針對(duì)存在有界擾動(dòng)的系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]提出一種雙冪次趨近律，使系統(tǒng)可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂并給出了收斂時(shí)間的估計(jì)，同時(shí)在抑制抖振方面也具有良好的效果，但是抖振現(xiàn)象仍然不能消除，趨近律的趨近速率和抖振仍需要改善和加強(qiáng)。

綜上所述，本文提出了一種基于廣義比例積分觀測(cè)器的DC-DC降壓型變換器趨近律的控制方法。首先，考慮到輸入電壓波動(dòng)、參數(shù)的不確定性、負(fù)載電阻擾動(dòng)等干擾，設(shè)計(jì)了廣義積分觀測(cè)器分別對(duì)匹配擾動(dòng)和非匹配擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)觀測(cè)器誤差收斂性進(jìn)行證明，其主要思想是將觀測(cè)器估計(jì)的干擾引入到控制律的設(shè)計(jì)中，以補(bǔ)償這些干擾和不確定性所造成的影響，在保證了系統(tǒng)的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時(shí)，使系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力。進(jìn)一步的地，設(shè)計(jì)了基于雙曲正切型函數(shù)的變速趨近律，通過(guò)調(diào)整趨近律的內(nèi)部參數(shù)，可以縮短系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時(shí)間，同時(shí)減小在滑動(dòng)階段控制信號(hào)的抖振。然后根據(jù)趨近律和滑模面設(shè)計(jì)控制器，同時(shí)通過(guò)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)證明了該控制方法下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠收斂到零。最后，通過(guò)Matlab仿真軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并與其他方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了該方法具有良好的收斂速度和抗擾動(dòng)能力。

1 模型描述

針對(duì)Buck型變換器，根據(jù)開(kāi)關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷兩種狀態(tài)，不考慮電阻、電容和電感的擾動(dòng)，即在理想狀態(tài)下建模，則可推導(dǎo)出Buck型變換器的狀態(tài)空間模型如下所示：

(1)

其中:R為負(fù)載電阻，vo為輸出電壓，vin為輸入電壓，L為儲(chǔ)能電感，iL為電感電流，C為電容，iC為電容電流，u∈[0,1]是控制器的輸出，該輸出最終用于驅(qū)動(dòng)PWM信號(hào)。由于在實(shí)際系統(tǒng)中存在匹配擾動(dòng)和不匹配擾動(dòng)的影響，即與控制信號(hào)出現(xiàn)在同一個(gè)通道的擾動(dòng)為匹配擾動(dòng)，與控制信號(hào)不在同一個(gè)通道則為非匹配擾動(dòng)。若考慮這兩種擾動(dòng)，定義輸出電壓誤差x1=vo-vref，則:

(2)

其中:C0為電容C的標(biāo)稱(chēng)值，R0為負(fù)載電阻R的標(biāo)稱(chēng)值，d1是系統(tǒng)中的非匹配擾動(dòng)，滿(mǎn)足d1=(1/C-1/C0)iL+(1/(R0C0)-1/(RC))v0。

令x2=-(1/R0C0)vO+(1/C0)iL，對(duì)x2求導(dǎo)，則:

(3)

其中:L0為電感L的標(biāo)稱(chēng)值，匹配擾動(dòng)d2滿(mǎn)足:

則Buck電路的數(shù)學(xué)模型可轉(zhuǎn)換為:

(4)

本文的控制目標(biāo)是針對(duì)存在匹配擾動(dòng)和非匹配擾動(dòng)情況下的Buck型變換器(4)，設(shè)計(jì)控制器u，使輸出電壓v0能收斂至參考電壓附近。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 廣義比例積分觀測(cè)器(GPIO)

DC-DC降壓型變換器系統(tǒng)的電壓跟蹤精度會(huì)受到擾動(dòng)的影響，如輸入電壓波動(dòng)、參數(shù)的不確定性、負(fù)載電阻擾動(dòng)等干擾，消除這些干擾的一個(gè)有效方法是引入擾動(dòng)估計(jì)來(lái)精確補(bǔ)償。針對(duì)Buck型變換器(4)，設(shè)計(jì)兩個(gè)廣義積分觀測(cè)器分別對(duì)匹配擾動(dòng)和非匹配擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并將擾動(dòng)估計(jì)引入到控制律的設(shè)計(jì)中，以補(bǔ)償這些干擾和不確定性所造成的影響，兩個(gè)廣義比例積分觀測(cè)器的具體設(shè)計(jì)如下：

(5)

(6)

本節(jié)提出了一種基于廣義比例積分觀測(cè)器的抗擾動(dòng)控制方法，其控制目標(biāo)為，設(shè)計(jì)廣義比例積分觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變擾動(dòng)的估計(jì)并實(shí)時(shí)地更新到控制器中，有效地抑制擾動(dòng)帶來(lái)的影響，提高整個(gè)系統(tǒng)的抗干擾性能。具體的系統(tǒng)控制如圖1所示，系統(tǒng)框圖包括4個(gè)部分：兩個(gè)廣義比例積分觀測(cè)器(GPIO)、滑?？刂破?、脈沖寬度調(diào)制器(PWM)、Buck型變換器。其系統(tǒng)的工作原理為：首先基于電感電流和輸出電壓的反饋值構(gòu)造兩個(gè)廣義比例積分觀測(cè)器，分別對(duì)匹配和非匹配擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，然后利用估計(jì)值設(shè)計(jì)一個(gè)滑?？刂破?，將控制器與鋸齒波相比較得到PWM波，利用PWM波控制直流降壓變換器的開(kāi)關(guān)管，使Buck型變換器能夠穩(wěn)定地輸出至期望電壓。

圖1 系統(tǒng)整體的控制框圖

(7)

證明:對(duì)于Buck型變換器(4)，廣義比例積分觀測(cè)器估計(jì)誤差可表示為：

(8)

(9)

記估計(jì)誤差e=[e11e12…e1(n+1)e21e22…e2(m+1)]T，并帶入廣義比例積分觀測(cè)器(5)、(6)，則觀測(cè)器的跟蹤誤差動(dòng)態(tài)可以表示為：

(10)

(11)

(12)

其中:η>0，運(yùn)用young不等式[13]則有:

(13)

(14)

據(jù)引理1，所設(shè)計(jì)的廣義比例積分觀測(cè)器是全局一致最終有界的。

注1：式(5)和式(6)中的廣義比例積分觀測(cè)器增益為h11…h(huán)1(n+1)和h21…h(huán)2(m+1)，其取值對(duì)觀測(cè)器的估計(jì)效果影響較大，當(dāng)該觀測(cè)器增益取值相對(duì)較大時(shí)，觀測(cè)器的估計(jì)效果較好，系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)速度也較快，同時(shí)也可以使擾動(dòng)估計(jì)值快速地跟蹤到實(shí)際值，但是在負(fù)載突變以及輸入電壓突變時(shí)，會(huì)引起系統(tǒng)的輸出電壓有較大的超調(diào)。因此，需要結(jié)合實(shí)際工況綜合地選擇該觀測(cè)器中的可調(diào)比例增益。

2.2 增強(qiáng)型變速趨近律和控制器設(shè)計(jì)

為提高系統(tǒng)狀態(tài)趨近速率和減小控制器輸出抖振，設(shè)計(jì)了基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強(qiáng)型變速趨近律，其形式為:

D(σ)=-εf(τ|σ|)+Θ

(15)

由式(15)得D(σ)始終大于0，當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，0K1|σ|γ1，[K2/D(σ)]|σ|γ2>K2|σ|γ2，控制器增益變大，提高了系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量運(yùn)行軌跡接近滑模面時(shí)，D(σ)趨于Θ>1，選取合適的Θ，使控制器增益[K1/D(σ)]|σ|γ1

為保證系統(tǒng)輸出電壓v0最終能夠收斂至參考輸出電壓Vref附近，設(shè)計(jì)滑模面為:

(16)

針對(duì)Buck型變換器(4)，結(jié)合趨近律(15)和滑模面(16)，設(shè)計(jì)控制器為:

(17)

注2:本文提出的基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強(qiáng)型變速趨近律，可以根據(jù)滑模變量σ的大小動(dòng)態(tài)地調(diào)節(jié)趨近律的增益，從而改變趨近律的收斂速度。同時(shí)，由式(15)可知，雙曲正切函數(shù)的取值范圍為f(τ|σ|)=tanh(τ|σ|)∈(-1,1)，且ε>0，Θ>1可得0

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

(18)

其中:α0、β0>0，0<φ1<1，φ2>1，0<η0<∞，則V(x)可在固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域：

(19)

其中:0<θ0<1，且系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間T0滿(mǎn)足：

(20)

定理1:對(duì)于Buck型降壓變換器系統(tǒng)(4)，在廣義比例積分觀測(cè)器(5)、(6)，趨近律(15)，滑模面(16)和控制器(17)作用下，輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近。

證明對(duì)滑模面σ(16)求導(dǎo)，并將控制器(17)代入：

K3σ+βed1+ed2

(21)

K3σ2+|σ|βed1+ed2|

(22)

(23)

由引理2可知，滑模變量σ可在固定時(shí)間Ts內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)附近鄰域Δ1內(nèi)，即|σ|≤Δ1，滿(mǎn)足:

(24)

其中:0<ζ1<1。收斂時(shí)間Ts滿(mǎn)足:

(25)

因此，在控制器(17)的作用下，滑動(dòng)變量σ可以在固定時(shí)間Ts內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面附近的鄰域內(nèi)，滿(mǎn)足|σ|≤Δ1，當(dāng)0≤σ≤Δ1時(shí)，式(16)可以轉(zhuǎn)化為:

(26)

(27)

求解式(28)有:

(28)

當(dāng)Δ1≤σ≤0時(shí)，式(16)可以轉(zhuǎn)化為:

(29)

求解式(29)有:

(30)

綜上，x1(t)滿(mǎn)足:

(31)

由式(31)可知，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，即t→∞，輸出電壓誤差x1(t)趨近于0，即系統(tǒng)輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近，證畢。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文方法是否具有更快的收斂速度和抗干擾性能，針對(duì)存在匹配和非匹配擾動(dòng)的Buck型變換器(4)，在電路參數(shù)取值相同的情況下，將本文提出的方法和其他文獻(xiàn)中控制方法進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了本文方法可以有效地抑制擾動(dòng)帶來(lái)的影響，保證輸出電壓穩(wěn)定，提高整個(gè)系統(tǒng)的抗干擾性能。利用Matlab仿真進(jìn)行兩種方法的對(duì)比仿真：

方法一：本文提出的基于廣義比例積分觀測(cè)器的趨近律控制方法，該方法包含觀測(cè)器、滑模面、趨近律和控制器，分別由本文中的式(5)和式(6)、式(15)～(17)組成。

方法二：文獻(xiàn)[15]中提出的基于變速趨近律的抗擾動(dòng)方法，其中基于低通濾波器設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器、趨近律和控制器分別為：

(32)

D(s)=arccot(λ|s|p)Ξ

(33)

(34)

3.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

本次仿真實(shí)驗(yàn)的控制目標(biāo)為：控制器將20 V的輸入電壓降低到5 V的參考電壓，在同一的電路系統(tǒng)下分別用兩種方法進(jìn)行控制，從圖中觀察和分析各個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的值，比較在兩個(gè)方法地控制下系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和抗干擾性能。為保證對(duì)比的公平性對(duì)兩種方法在同一Buck型變換器電路系統(tǒng)下進(jìn)行仿真對(duì)比，電路參數(shù)選取為：輸入電壓為Vin0=20 V，額定電感為L(zhǎng)0=0.1 mH，額定電容為C0=1 mF，額定輸出電阻為R0=20 Ω，參考輸出電壓為Vref=5 V。

為使系統(tǒng)具有更優(yōu)的瞬態(tài)性能和控制效果，以下Buck型變換器系統(tǒng)的具體控制參數(shù)都采用試錯(cuò)法取得：方法一中的控制參數(shù)設(shè)置為q1=1 500，q2=2 000，γ1=0.5，γ2=1.6，K1=2 500，K2=50,K3=10，β=550，ε=0.01，τ=0.1，Θ=1.5。方法二中的控制參數(shù)設(shè)置為γx=0.6，Ξ=1.91，a=600，K=8 000，Λ=1.8，λ=0.8，p=0.05。

3.2 仿真實(shí)例分析

針對(duì)存在匹配和非匹配擾動(dòng)的Buck型變換器系統(tǒng)，如圖2(a)輸出電壓所示，兩種方法都能使輸出電壓快速趨近于設(shè)定的參考值，且輸出電壓沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差，但從圖中可以明顯地看到，方法一和方法二的輸出電壓響應(yīng)時(shí)間分別約為 0.015 s和0.02 s，因此方法一具有更快的收斂速度。為測(cè)試本文方法具有一定的魯棒性和抗干擾性能，方法一是本文中的基于廣義比例積分觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的時(shí)變擾動(dòng)，而方法二是基于低通濾波器設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)擾動(dòng)。在仿真過(guò)程中模擬實(shí)際應(yīng)用時(shí)負(fù)載電阻突變的情況，即在0.04 s時(shí)，電阻由20 Ω下降到10 Ω，在0.08 s再上升到20 Ω，方法一的輸出電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間約為0.002 s，方法二電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間分別約為0.008 s和0.01 s，由此可見(jiàn)，方法一電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間比方法二快，間接證明了方法一具有更好的抗干擾效果。因此，方法一具有更快電壓收斂速度和更好的抗干擾效果。

圖2 負(fù)載變化下的輸出響應(yīng)對(duì)比

如圖2(b)電感電流所示，雖然方法一的電感電流的超調(diào)比方法二大，但方法一的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間分別約為0.002 s和0.005 s，都小于方法二的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。如圖2(c)的控制器輸出所示，方法一下控制器輸出u的響應(yīng)速度高于方法二，且控制器收斂時(shí)間更短，同時(shí)可以看出方法一對(duì)抖振具有良好的抑制能力。綜上，在方法一控制下的 Buck 型變換器具有更快的輸出電壓響應(yīng)、更好的瞬態(tài)性能和抗擾動(dòng)能力。

圖3中(a)、(b)分別描述的是廣義比例積分觀測(cè)器對(duì)非匹配擾動(dòng)d1和匹配擾動(dòng)d2的估計(jì)效果，其中在0.04 s時(shí)刻，電阻由20 Ω，下降到10 Ω，該觀測(cè)器對(duì)非匹配擾動(dòng)d1和匹配擾動(dòng)d2的估計(jì)的收斂時(shí)間分別為0.007 s和0.005 s；在0.08 s時(shí)刻電阻由10 Ω上升到20 Ω，該觀測(cè)器的收斂時(shí)間分別為0.007 s和0.008 s?？梢钥闯?，當(dāng)負(fù)載電阻發(fā)生突變時(shí)，廣義比例積分觀測(cè)器可以迅速跟蹤擾動(dòng)的值，并且對(duì)非匹配擾動(dòng)d1和匹配擾動(dòng)d2進(jìn)行精確的估計(jì)，進(jìn)一步的證明了廣義比例積分觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中電阻負(fù)載突變具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，即該觀測(cè)器在估計(jì)系統(tǒng)干擾時(shí)，具有較快的響應(yīng)速度和較好的準(zhǔn)確性。

圖3 負(fù)載變化下的觀測(cè)器的估計(jì)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于GPI觀測(cè)器的Buck型變換器趨近律的控制方法。通過(guò)廣義比例積分觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)中存在的匹配和非匹配擾動(dòng)，使系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力。同時(shí)，設(shè)計(jì)了一種基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強(qiáng)型變速趨近律，提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，并能有效地抑制抖振。最后，仿真結(jié)果說(shuō)明本文提出的方法在保證了系統(tǒng)的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時(shí)，使系統(tǒng)具有良好的抗擾動(dòng)性能。本文只用仿真證明了所提控制算法的有效性，后續(xù)工作將設(shè)計(jì)Buck型變換器的硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，來(lái)驗(yàn)證該方法在實(shí)際應(yīng)用中也具有良好的系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度和抗干擾性能。