陳明霞，盧澎澎，張寒

(1.桂林理工大學機械與控制工程學院，廣西桂林 541006； 2.南京理工大學自動化學院，南京 210018)

塑料薄膜在食品、包裝、化工等領域廣泛使用，是由于其具有質(zhì)量輕、密度小、強度高、耐磨性能優(yōu)、絕緣性好等優(yōu)點[1–3]。吹塑成型是生產(chǎn)塑料薄膜的一種重要工藝，對應的設備是吹膜機，張力控制作為吹塑成型過程中控制系統(tǒng)的核心，其控制精度與穩(wěn)定性絕大程度上影響薄膜產(chǎn)品的最終質(zhì)量。而產(chǎn)品后續(xù)加工生產(chǎn)的質(zhì)量又直接受到薄膜收卷質(zhì)量的影響，張力控制的重要性可想而知。在塑料薄膜生產(chǎn)過程中，制品生產(chǎn)品質(zhì)直接受收卷好壞的影響，而收卷好壞的影響因素之一是張力的大小。研究發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)過程中，張力過大會使制品過度伸張，嚴重時可能會使制品產(chǎn)生裂紋，導致機器停轉(zhuǎn)，以至生產(chǎn)效率大打折扣；反之張力過小，制品卷曲時表面因產(chǎn)生褶皺使薄膜制品的使用壽命受到嚴重影響[4]。因此，為了提高薄膜產(chǎn)品的各項優(yōu)良指標和生產(chǎn)效率，在生產(chǎn)過程中結合新的控制理論對塑料薄膜的收卷張力控制系統(tǒng)進行分析和研究具有極其重要的現(xiàn)實意義。

目前工業(yè)應用中，張力控制系統(tǒng)的使用非常廣泛。張力控制經(jīng)常被使用在紡織、冶金、橡膠、電子加工和造紙等行業(yè)設備的控制中，且它是生產(chǎn)制造的關鍵環(huán)節(jié)。加工生產(chǎn)的布料、紙張、染整布料、板帶等，在其生產(chǎn)過程中都需要有一定的張力值，同時在生產(chǎn)制造過程中對張力的大小控制有著嚴格的要求[5]。經(jīng)典比例–積分–微分(PID)控制是傳統(tǒng)張力控制中常用的控制方法，由于此控制方式具有結構簡單、易實現(xiàn)等特點以至其在工業(yè)生產(chǎn)中使用率頗高。在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中，由于其控制系統(tǒng)較為復雜及內(nèi)外干擾因素之多并且為實現(xiàn)高控制精度和效果的要求，故傳統(tǒng)常規(guī)PID控制方式已不再是塑料薄膜收卷張力控制的最優(yōu)控制策略[6]。為解決上述問題，筆者提出使用自抗擾控制(ADRC)的方法，此法不依賴控制系統(tǒng)的精準模型且無需直接測量其所受干擾，也不必提前知道擾動作用規(guī)律，可對被控系統(tǒng)中作用于對象的所有不確定因素進行估計并補償以消除各種情況(包括內(nèi)外擾動)對系統(tǒng)的影響。筆者首先對塑料薄膜收卷張力系統(tǒng)進行機理分析，結合線性自抗擾控制(LADRC)方法設計LADRC控制器并對其關鍵部分—擴張狀態(tài)觀測器(ESO)進行描述；其次，采用伯德圖在控制器參數(shù)變化下進行頻域分析，證明控制器穩(wěn)定性與抑制擾動的能力，同時分析了控制器參數(shù)對系統(tǒng)輸出響應的影響；最后，對所設計的控制器進行時域仿真并在不同擾動作用下與傳統(tǒng)PID控制進行仿真，以對比控制器性能，從而為LADRC在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中的應用提供參考。

1 塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)分析

簡化后的塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)模型如圖1所示[7]，圖1中，A／D或D／A表示數(shù)模或模數(shù)轉(zhuǎn)換機制，F(xiàn)T表示張力初值，MR表示制動時的力矩。

圖1 塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)簡化模型

根據(jù)生產(chǎn)運轉(zhuǎn)裝置可以得到塑料薄膜的收卷卷繞受力關系，如圖2所示，圖2中，Mf表示摩擦力矩，ω表示卷軸角速度，R表示薄膜的卷帶半徑，r表示卷軸的芯軸半徑，l表示薄膜的卷寬度，h表示薄膜的厚度，v為薄膜的供應速度。根據(jù)圖2可建立動態(tài)轉(zhuǎn)矩平衡方程。

圖2 塑料薄膜收卷受力關系圖

張力會受到軸間拉力、制品與機械間摩擦力、制動力矩等影響。建立薄膜的張力大小數(shù)學模型如式(1)所示。

式中：J——薄膜和卷軸等效轉(zhuǎn)動慣量；

t——時間。

動慣量數(shù)學表達式如式(2)和式(3)所示。

式中：JR——薄膜的轉(zhuǎn)動慣量；

Jr——卷軸轉(zhuǎn)動慣量；

ρ——薄膜密度；

ρ1——卷軸密度。

在薄膜傳送期間，因為其卷帶的半徑一直在改變，故J和ω是時變的量，根據(jù)v=ωR，可以取得式(4)和式(5)。

由式(1)～式(5)可以得到式(6)。

此外，由于塑料薄膜在傳送過程中受到的摩擦力矩比較小，如果可以省去不計，則式(6)就能簡寫為式(7)。

由式(7)可以清楚地看出，在v不改變時，制動的力矩MR和塑料薄膜的卷帶半徑R會直接影響薄膜張力值的變化。但是在傳送過程中有不確定的外擾影響，因此需要一個可以忽略精確模型且可以對擾動(內(nèi)擾和外擾之和)進行估計并補償?shù)目刂破鱽硎瓜到y(tǒng)更穩(wěn)定優(yōu)質(zhì)。

忽略溫度及真空壓強對系統(tǒng)的影響，只考慮伺服電機電參數(shù)、機械參數(shù)，被控對象模型傳遞函數(shù)G(s)如式(8)所示。式(8)中s與實數(shù)域中時間t對應。

2 LADRC簡述

ADRC思想最初是由我國韓京清研究員提出的，他在1989年就控制理論是“控制論”還是“模型論”研究討論時，強調(diào)如果要將魯棒性問題解決，需脫離數(shù)學模型束縛[8]。隨后，他于1998年正式提出了ADRC技術[9]。

ADRC控制器由ESO[10]、非線性狀態(tài)誤差反饋律(NLSEF)[11–12]與跟蹤微分器(TD)[13]組成，其基本結構如圖3所示。圖3中，b0為“補償因子”，z1，z2，z3為ESO的觀測輸出，u為控制量，u0為誤差反饋控制量，m為系統(tǒng)的輸入，m1為輸入跟蹤值，m2為輸入值微分的跟蹤值，e1為誤差，e2為誤差的微分，y為系統(tǒng)輸出。

圖3 ADRC控制器基本結構圖

對于參數(shù)繁多并且調(diào)節(jié)復雜以至于在現(xiàn)實應用的過程中實現(xiàn)控制目標并不是簡單容易的問題，克利夫蘭州立大學的高志強教授提出一與工程應用密切相關的概念——“頻率尺度”[14]，它將ADRC的參數(shù)和控制器帶寬、觀測器帶寬聯(lián)系起來，使ADRC控制器參數(shù)物理意義更加容易理解。同時將調(diào)節(jié)參數(shù)減少至3個，使自參數(shù)整定得到進一步簡化，稱之為LADRC方法，這極大促進ADRC在實際工程中的使用和發(fā)展。因此，筆者采用LADRC方法在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中進行控制器設計，針對NSEFL部分采用比例–微分(PD)控制規(guī)律并與控制器帶寬相結合，針對ESO部分采用線性ESO (LESO)形式。

3 LADRC控制器設計

3.1 控制器分析

經(jīng)過塑料薄膜收卷張力系統(tǒng)模型分析，發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)可等效為二階系統(tǒng)，因此設計LADRC控制器控制階次對象為二階。以下分析各式中表示其相對應的一階微分，為二階微分。

設二階對象的微分方程形式表示為：

式中：y——系統(tǒng)輸出量；

d——未知外部擾動；

b——不確定的模型參數(shù)；

u——控制量；

a1，a2——被控系統(tǒng)參數(shù)；(,,)

fyyd˙——總擾動(影響對象的系統(tǒng)內(nèi)部擾動與未知外部擾動d的綜合)。

實際工程中，b參數(shù)包含已知部分和未知部分，設已知部分用b0表示，則未知部分表示為b–b0，則二階對象表示為：

式中：g——需要觀測的總擾動。

由式(11)設計二階系統(tǒng)LESO：

式中：z——LESO的狀態(tài)估計輸出，z=［z1z2z3］T；

L——LESO的增益，L=［β1β2β3］T。

控制量u=(u0–z3)／b0(其中，u0為誤差反饋控制量)，采用PD控制規(guī)律時，u0=kp(m–z1)+kd(m·–z2) (其中，m為輸入值，kp，kd表示PD控制規(guī)律參數(shù))，此時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)，PD控制規(guī)律傳遞函數(shù)。對于二階LADRC，選擇的系統(tǒng)觀測器和控制器參數(shù)分別如式(13)所示[14–16]。

式中：ωo——觀測器帶寬；

ωc——控制器帶寬。

由以上分析可知，LADRC方法主要調(diào)節(jié)的參數(shù)有三個：b0，ωo，ωc。

3.2 控制器性能頻域與時域綜合分析

對于上述二階系統(tǒng)，LADRC傳遞函數(shù)形式結構如圖4所示。圖4中，R(s)表示輸入，Y(s)表示輸出，U(s)表示控制量，P(s)表示對象，C(s)為反饋環(huán)節(jié)(即控制器)，T(s)為跟蹤前饋環(huán)節(jié)，D(s)為擾動。

圖4 二階LADRC傳遞函數(shù)形式結構

則LADRC頻域表達形式可表示為：

式(14)和式(15)中，K為系數(shù)，I為單位矩陣，，。

由式(15)可以看出，T(s)分子階次大于分母，帶來相位超前，因而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性與抑制擾動性能取決于C(s)，故進一步分析在ωo，ωc變化的情況下其幅頻特性與時域下整個閉環(huán)系統(tǒng)在LADRC作用下輸出響應的關系。

b0，ωc一定時，ωo變化下C(s)伯德圖與階躍輸入下的系統(tǒng)響應，及b0，ωo一定時，ωc變化下C(s)伯德圖與階躍輸入下的系統(tǒng)響應如圖5所示。

圖5 ωo，ωc變化時LADRC頻域與時域圖

圖5a和圖5c兩頻域圖中，當三個參數(shù)中的兩個固定時，隨著ωo，ωc逐漸增大，C(s)的伯德圖中對應的頻率也逐漸增大，對系統(tǒng)高頻分量抑制減弱。此時圖5b和圖5d兩時域圖中，隨著ωo，ωc的逐漸增大，系統(tǒng)響應的調(diào)節(jié)時間逐漸加快，系統(tǒng)快速性提高?？梢园l(fā)現(xiàn)控制器不受高頻未建模系統(tǒng)擾動影響。從圖5中可以得出，ωo與ωc是成正比例關系存在的，以往的觀點得到驗證。另外，也發(fā)現(xiàn)ωc對系統(tǒng)的影響比ωo更為顯著。對比參數(shù)變化時系統(tǒng)各曲線，可以發(fā)現(xiàn)控制器參數(shù)必須互相調(diào)節(jié)才能達到更好效果。

4 仿真分析

通過MATLAB仿真軟件中的simulink組件對所設計的塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)進行LADRC與傳統(tǒng)PID控制的模型搭建，首先，對LADRC方法進行單獨的仿真與分析，并且針對不同干擾信號對LADRC方法的時域影響進行仿真；其次，在外加不同類別擾動的情形下對兩控制器進行仿真對比并對各控制器仿真結果及性能作出分析。進行仿真分析時采用的收卷張力控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)見式(8)。

4.1 LADRC法的張力控制仿真分析

(1)白噪聲作用下LADRC仿真。

建立LADRC下的收卷張力仿真模型，此系統(tǒng)為恒張力收卷系統(tǒng)，為方便觀察起見，視單位階躍信號作為輸入信號，將塑料薄膜收卷張力恒定目標值設為80 N。首先研究白噪聲作用下LADRC方法對此系統(tǒng)的作用效果。在B點(見圖3)處加入圖6a所示的白噪聲，其參數(shù)設置：Noise Power (PSD高度)為0.001，Sample time (相關時間tc)為0.001；其中調(diào)節(jié)控制器參數(shù)為：h=10–3(步長)，b0=0.25，ωo=5，ωc=1.8。仿真結果如圖6b~圖6e所示。

從圖6b~圖6e中顯然可以看出LADRC方法中的ESO所處的核心地位，其觀測出的效果與起初系統(tǒng)的各項指標基本無太大出入，信號跟蹤效果甚優(yōu)，可以很好地達到控制目的。圖6e可以清晰地看到誤差能較快地保持在零附近，證明此法是可行的。

圖6 LADRC控制器作用效果圖

(2)不同點加入擾動LADRC仿真。

分別在輸出位置B點(見圖3)加入圖6a所示的白噪聲，其參數(shù)設置：Noise Power (PSD高度)為0.001、Sample time (相關時間tc)為0.001；在控制量u處A點(見圖3)加入圖7a所示的白噪聲，Noise Power (PSD高度)為0.01、Sample time (相關時間tc)為0.0001。在薄膜收卷張力控制系統(tǒng)不同點加入干擾LADRC的仿真結果如圖7b所示。

從圖7可以看出，無論在何處加入不同范圍或者幅值的同種干擾信號，對最終結果基本不會產(chǎn)生影響。說明LADRC控制方法可以有效地對擾動進行估計并且補償，抗干擾能力較強。

圖7 不同作用點擾動下系統(tǒng)響應曲線

4.2 LADRC與PID控制對比

對收卷張力控制系統(tǒng)分別采用傳統(tǒng)PID控制和LADRC進行仿真對比，傳統(tǒng)PID調(diào)節(jié)參數(shù)分別為：比例系數(shù)(Kp)=0.5，微分時間常數(shù)(Td)=8，積分時間常數(shù)(Ti)=12。分別對系統(tǒng)時間(t)=45 s時加入幅值為5的階躍干擾，正弦信號干擾和功率譜密度圖高度為0.001、噪聲相關時間為0.001的白噪聲干擾，所得結果如圖8、表1所示。

通過圖8可以看出：①在快速性方面，無論在有無干擾的情況下，LADRC方法都比傳統(tǒng)PID控制方法優(yōu)先達到控制目標效果，快速性尤為可見；②在穩(wěn)定性控制效果及魯棒性方面，無論對系統(tǒng)加入何種干擾，LADRC方式比傳統(tǒng)PID控制方式控制效果明顯，對干擾的抑制力效果更為明顯，魯棒性更好。由表1可以明顯看出，不加干擾時LADRC調(diào)節(jié)時間遠比PID控制快得多；LADRC方式下加入階躍干擾后再次達到穩(wěn)定時所需要的時間遠超于PID控制方式；在白噪聲干擾下達到設定值時PID控制方式產(chǎn)生的誤差較大，而LADRC方式幾乎接近張力設定值。以上都表明LADRC方式相比傳統(tǒng)PID控制方式更有優(yōu)越性。

圖8 不同擾動下LADRC與PID控制輸出響應

表1 兩種控制方法性能對比

5 結論

通過對LADRC控制器在塑料薄膜收卷張力控制系統(tǒng)中的使用可以發(fā)現(xiàn)，控制器核心部分—ESO的作用明顯且達到預期效果，LADRC控制器對擾動的估計與補償能力得到證明。在與傳統(tǒng)PID控制方式的對比中也發(fā)現(xiàn)，LADRC方法在控制效果的穩(wěn)定性、快速性、魯棒性方面都有優(yōu)越之處。通過仿真證明了LADRC方法在處理塑料薄膜收卷張力控制問題時是可行的，在實際生產(chǎn)中采用LADRC方法會有利于提高塑料薄膜質(zhì)量，提高生產(chǎn)率。