舒鵬麗,王燕鋒,雒衛(wèi)廷
(呂梁學(xué)院物理系,山西呂梁 033000)
自1995年首次實(shí)現(xiàn)堿金屬氣體原子的玻色—愛因斯坦凝聚[1]以來,原子間的非線性相互作用就成為研究者關(guān)注的內(nèi)容之一。雙勢阱的BECs 體系作為研究量子非線性隧穿行為的重要模型[2],引發(fā)了很多迥異的物理現(xiàn)象,如能級的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3],非線性不穩(wěn)定態(tài)的存在[4]等,特別是非線性約瑟夫振蕩和自囚禁現(xiàn)象[5],實(shí)驗(yàn)中用BEC 的吸收譜直接觀測到這一現(xiàn)象[6]。隨著研究的深入,有不少工作致力于三勢阱的BECs 體系[7],使得人們對BECs 的宏觀量子隧穿效應(yīng)有了更深刻的理解。對于三勢阱的BECs 體系,利用平均場近似得到的Gross-Pitaevskii 方程和經(jīng)典哈密頓理論[8],來研究復(fù)空間的量子波函數(shù)和非線性的量子演化。本文從非線性薛定諤方程出發(fā),在一定的初值條件下,研究粒子在三勢阱中出現(xiàn)的幾率密度隨非線性作用的演化關(guān)系。
三勢阱中的BECs 在平均場近似下,可以用Gross-Pitaevskii 方程[4,8]來描述,其中GP 方程的波函數(shù)ψ(r,t)是3個(gè)勢阱中波函數(shù)的疊加,表示為:
其中,φj(r)可看作第j(j=1,2,3)個(gè)能級的基態(tài)波函數(shù),aj(t)=是概率幅,滿足
經(jīng)代換,三勢阱的BECs 體系可用非線性Schr?dinger方程[9]描述:
假設(shè)第二個(gè)勢阱的零點(diǎn)能為0,γ和-γ是第一個(gè)勢阱和第三個(gè)勢阱的零點(diǎn)能,c是原子之間的相互作用強(qiáng)度,在討論中,設(shè)c>0,即原子之間相互排斥,v是三勢阱間的耦合常數(shù)。式(3)多出了原子相互作用導(dǎo)致的非線性項(xiàng)這時(shí)候Schr?dinger 方程式(2)不能解析求解,只能從數(shù)值上研究[10]非線性項(xiàng)所帶來的物理效應(yīng)。
從圖1 可以看出,在弱相互作用c=0.4 下,粒子在3 個(gè)勢阱間出現(xiàn)的幾率呈現(xiàn)Josephson 振蕩。(a)初始時(shí),粒子都放在第一個(gè)勢阱中,隨著時(shí)間的演化,粒子可通過第二個(gè)勢阱隧穿到第三個(gè)勢阱,然后再隧穿回來;(b)初始時(shí),粒子都放在中間勢阱中,粒子可隧穿到兩邊的勢阱,且左右勢阱呈現(xiàn)相同的振蕩周期;(c)初始時(shí),粒子均勻分布在相鄰的兩個(gè)勢阱中,勢阱中的粒子都可隧穿到第三個(gè)勢阱中,但是中間勢阱的隧穿概率明顯小于左邊勢阱;(d)初始時(shí),粒子均勻分布在不相鄰的兩個(gè)勢阱中,兩邊勢阱中的粒子可隧穿到中間勢阱中,且左右勢阱具有相同的振蕩周期。另外圖1(b)和(d)顯示,粒子相對勢阱對稱放置時(shí),振蕩具有相同的周期。
圖1 幾率密度pj在弱非線性作用下隨時(shí)間的演化
圖2(a)和(b)為強(qiáng)相互作用c=5,(c)和(d)為強(qiáng)相互作用c=10,粒子在不同的初值條件下,都表現(xiàn)出自囚禁行為,這和對稱雙勢阱中的BECs 在強(qiáng)非線性作用的情況正好吻合[11]。
為更好地理解粒子在對稱三勢阱出現(xiàn)的幾率密度隨非線性作用的變化,引入平均幾率密度
圖3 平均幾率密度隨非線性相互作用c的演化
(a)初始時(shí)所有的粒子放在第一個(gè)勢阱中,當(dāng)0 (b)初始時(shí)所有的粒子放在第二個(gè)勢阱中,當(dāng)非線性作用小于臨界值時(shí),粒子從第二個(gè)勢阱隧穿到左右兩個(gè)勢阱中,做周期性振蕩,第一個(gè)勢阱和第三個(gè)勢阱中的粒子具有相同的振蕩行為,隨著非線性作用的增大,粒子的隧穿行為逐漸減弱,發(fā)生自囚禁現(xiàn)象。 (c)初始時(shí)在第一個(gè)勢阱和第二個(gè)勢阱中各放入相等數(shù)量的粒子,粒子在非線性作用0 (d)初始時(shí)在第一個(gè)勢阱和第三個(gè)勢阱中各放入相等數(shù)量的粒子,第一個(gè)勢阱和第三個(gè)勢阱中的粒子具有相同的振蕩行為,這兩個(gè)勢阱中的粒子隧穿到中間勢阱中,振蕩隨著非線性作用的增大逐漸減弱,當(dāng)c>7.8時(shí),粒子被束縛在各自的勢阱中。 圖3(b)和(d)可以看出,當(dāng)粒子相對勢阱對稱放置時(shí),第一個(gè)勢阱和第三個(gè)勢阱的粒子的振蕩行為相同,約瑟夫振蕩和自囚禁現(xiàn)象隨非線性作用的增大變化明顯。當(dāng)粒子相對勢阱中不對稱放置時(shí),圖3(a)和(c),粒子的振蕩隨非線性作用的變化出現(xiàn)混沌,說明對稱三勢阱中粒子的行為不僅受到非線性作用的影響,同時(shí)也受到不對稱初始值的影響。 圖3(a)和(c)發(fā)現(xiàn),當(dāng)粒子在勢阱中不對稱放置時(shí),粒子的振蕩隨非線性作用的變化出現(xiàn)混沌。對方程(2)進(jìn)行正則變換[4],對稱三勢阱BECs 構(gòu)成的3能級量子系統(tǒng)相應(yīng)的正則方程為 從(4)~(7)式可以判斷p1、p2、p3、θ1、θ2,也可通過正則方程求得,并且p1、p2、p3的值受初始相對相位θ1、θ2的影響。如圖4,選取初值(a)(p1=0.7,p2=0.3,p3=0,θ1=0,θ2=π/2);(b)(p1=0.7,p2=0.3,p3=0,θ1=0,θ2=π),研究平均幾率密度隨非線性作用的變化關(guān)系。圖4(a)中粒子振蕩出現(xiàn)明顯的混沌區(qū)域,改變初始相對相位的取值,如圖4(b),粒子的混沌行為被減弱,振蕩較平穩(wěn)地由混沌轉(zhuǎn)為自囚禁,可以看出相對相位可以控制混沌的產(chǎn)生和轉(zhuǎn)變。 圖4 平均幾率密度在改變初始相位下的演化 利用平均場近似得到三勢阱BECs 的非線性薛定諤方程,采用數(shù)值求解的方法,模擬在不同的非線性相互作用c下,粒子出現(xiàn)的幾率,可得到BECs 相應(yīng)的非線性隧穿行為—約瑟夫振蕩和自囚禁,而且在一定的非線性作用范圍內(nèi)下,粒子出現(xiàn)不規(guī)則振蕩,即混沌現(xiàn)象,如改變相對相位的初始值,混沌可以平穩(wěn)地轉(zhuǎn)變?yōu)樽郧艚麪顟B(tài),這為研究非對稱三勢阱的非線性效應(yīng)提供一定的理論基礎(chǔ)。2.3 混沌可通過改變相位初值轉(zhuǎn)變?yōu)樽郧艚?/h3>
3 結(jié)語