楊根生

真題呈現(xiàn)

例1（2020·黑龍江·齊齊哈爾·第23題）綜合與實踐：在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識，掌握了許多新技能. 例如教材八年級下冊的數(shù)學(xué)活動——折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣. 在經(jīng)歷圖形變換的過程中，同學(xué)們進一步發(fā)展了空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

實踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點N處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖1. （1）折痕BM （填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線;請判斷圖1中△ABN是什么特殊三角形. 答： ;進一步計算出∠MNE = °. （2）繼續(xù)折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖2，則∠GBN = °.

拓展延伸：（3）如圖3，折疊矩形紙片ABCD，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交BC邊于點T，交AD邊于點S，把紙片展平，連接AA'交ST于點O，連接AT. 求證：四邊形SATA'是菱形.

解決問題：（4）如圖4，矩形紙片ABCD中，AB = 10，AD = 26，折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A'處，并且折痕交AB于點T，交AD于點S，把紙片展平. 同學(xué)們經(jīng)小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，9. 請寫出以上4個數(shù)值中你認為正確的數(shù)值 .

追根溯源

原型1 （人教版八年級下冊第64頁中的“數(shù)學(xué)活動”）活動1：折紙作60°，30°，15°的角. 如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如圖5）：（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開;（2）再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM. 同時，得到了線段BN. 觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個角有什么關(guān)系？你能證明嗎？

這是從矩形得到30°角的好方法，并能得到15°，60°，120°，150°的角. 該題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形和軸對稱圖形的性質(zhì)等知識.

原型2（人教版八年級下冊第58頁第3題）如圖6，兩張等寬的紙片交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？

本題主要考查菱形、全等三角形的判定與性質(zhì)及平面圖形的面積等知識.

破解策略

解決例1需要熟知的基本圖形有：箏形、等邊三角形、菱形、直角三角形.

折紙是動手動腦“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動，其形式是操作，其本質(zhì)是對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角分別相等. 據(jù)此不難得到本題的解題思路.

解析：（1）如圖1，由第一次折疊可得EF垂直平分AB，∴AN = BN，AE = BE，EF⊥AB;

由第二次折疊可得BM垂直平分AN，∠BAM = ∠BNM = 90°，

∴AB = BN，∴AB = AN = BN，∴△ABN是等邊三角形，∴∠EBN = 60°，

∴∠ENB = 30°，∴∠MNE = 60°. 故應(yīng)填：是，等邊三角形，60°.

（2）如圖2，由第三次折疊和正方形的性質(zhì)可得∠ABG = ∠HBG = 45°，

∴∠GBN = ∠ABN - ∠ABG = 15°. 故應(yīng)填15°.

（3）如圖3，由第四次折疊可得ST垂直平分AA'，∴AO = A'O，AA'⊥ST.

∵AD[?]BC，∴∠SAO = ∠TA'O，∠ASO = ∠A'TO，

根據(jù)“AAS”可證△ASO ≌ △A'TO，可得SO = TO，∴四邊形ASTA'是平行四邊形.

∵AA'⊥ST，∴四邊形SATA'是菱形.

（4）如圖4，由第五次折疊可得AT = A'T. 在Rt△A'TB中，A'T>BT，∴AT>10 - AT，∴AT>5.

∵點T在AB上，∴當(dāng)點T，B重合時，AT有最大值10，∴5

∴正確的數(shù)值為7，9. 故應(yīng)填7，9.

本質(zhì)感悟：本題是以折紙為背景的四邊形綜合題，考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識進行推理是解題的關(guān)鍵. 此外，證明四邊形SATA'為菱形時，菱形的三種判定方法均可用，但以上述方法最為簡捷. 請你試一試，并加以比較，從中感悟如何多中選優(yōu). 本題通過矩形紙片的折疊與展開，“折”出了新精彩，“展”出了新天地.

原題延伸

變式1 由圖1中矩形較短邊的長度，計算等邊三角形的高.

例2（2020·貴州·黔西南）如圖8，對折矩形紙片[ABCD]使[AB]與[DC]重合，得到折痕[EF]，將紙片展平，再一次折疊，使點[D]落到[EF]上點[G]處，并使折痕經(jīng)過點[A]. 已知[BC=2]，則線段[EG]的長度為 .

解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD = BC = 2，連接DG，AG，

由例1（1）可知，△ADG是等邊三角形，∴DG = AG = AD = 2.

又對折矩形紙片[ABCD]，使[AB]與[DC]重合得到折痕[EF]，

∴EF⊥AD，DE = EA = 1，[∴EG=22-12=3].

變式2 如圖9，對折得兩個矩形，設(shè)BM交EN于點O，研究OB與ON的數(shù)量關(guān)系.

例3（2020·云南·昆明）如圖9，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點. （1）求證：四邊形AEFD是矩形;（2）若點M是邊AD上一點，BM交EF于點O，點A關(guān)于BM的對稱點為點N，當(dāng)點N落在線段EF上時，則有OB = ON. 請說明理由.

解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB = CD，AB[?]CD，∠BAD = 90°.

∵AE = EB，DF = FC，∴AE = DF，AE[?]DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形.

∵∠BAD = 90°，∴四邊形AEFD是矩形.

（2）連接AN，如圖10，由例1（1）可知△ABN是等邊三角形，BM垂直平分AN，可證△OMN是等邊三角形. 由折疊可知，∠MNB = ∠MAB = 90°，可證∠OBN = ∠ONB，∴ON = OB.

變式3 研究矩形兩鄰邊滿足什么條件才能折出等邊三角形.

例4 如圖11，在矩形ABCD中，若AB = a，BC = b，是否一定能折出等邊三角形ABN？若不一定，請給出能折出時a與b應(yīng)滿足的關(guān)系.

解析：過N作PQ⊥EF，分別交AD，BC于P，Q，則PQ⊥AD，PQ⊥BC.

易知AN = AB = a，PN = [12]AB = [12]a，由勾股定理得AP = [32]a，

因此當(dāng)b ≥ [32]a時，一定能折出等邊三角形ABN.

跟蹤檢測

對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖12①），再沿CH折疊. 這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖12②）. （1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求CD∶AD的值. （2）將該矩形紙片展開. ①如圖12③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB交于點P，再將該矩形紙片展開，求證：∠HPC = 90°;②不借助工具，利用圖12④探索一種新的折疊方法，找出與圖12③中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法. （不需說明理由）

參考答案：（1）[2]. （2）①令過點P的折痕與CD的交點為點Q，連接EH，ED，HQ，證明四邊形PQDE是平行四邊形和△AHP ≌ △BPC. ②方法1：折疊使得CB邊落在CE邊上，折痕交AB于點P;方法2：折疊使得AD邊落在CD邊上，折痕交AB于點P.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實驗學(xué)校）