張康，王麗梅

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽 110870)

0 引 言

永磁直線同步電機(jī)(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)與旋轉(zhuǎn)同步電機(jī)相比，具有更高的推力密度，更低的熱損耗，而且不存在機(jī)械耦合和滾珠絲杠問題，因此，廣泛應(yīng)用于數(shù)控加工系統(tǒng)[1]。由于采用直接驅(qū)動(dòng)方式，PMLSM伺服系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)周期性擾動(dòng)、參數(shù)攝動(dòng)及負(fù)載擾動(dòng)等因素變得更加敏感，影響系統(tǒng)位置控制精確度。所以采取有效的控制策略抑制系統(tǒng)擾動(dòng)，提高PMLSM的位置跟蹤性能對(duì)提高機(jī)床加工精確度具有重要的意義。

針對(duì)PMLSM伺服系統(tǒng)的高精密控制問題，文獻(xiàn)[2]采用電流預(yù)測控制策略，通過提高PMLSM的電流環(huán)特性，來提高系統(tǒng)的跟蹤特性，但需要被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[3]針對(duì)PMLSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中存在的干擾，設(shè)計(jì)了速度前饋控制器、零相位誤差跟蹤控制器和擾動(dòng)觀測器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了其控制策略的有效性，但擾動(dòng)觀測器不能很好地解決系統(tǒng)抗干擾性能與魯棒穩(wěn)定性之間的矛盾?；？刂?sliding mode control，SMC)是一種常用的非線性控制方法，具有響應(yīng)快、魯棒性強(qiáng)、實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)[4]。但傳統(tǒng)滑模控制中，為了保證系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性，切換增益的設(shè)置要足夠大，以抵消系統(tǒng)的擾動(dòng)，但較大的切換增益會(huì)導(dǎo)致高頻滑模抖振的發(fā)生[5]。文獻(xiàn)[6]采用 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)PMLSM伺服系統(tǒng)擾動(dòng)，替代滑模控制律中的切換項(xiàng)，削弱了抖振現(xiàn)象，但系統(tǒng)的魯棒性也隨之降低。文獻(xiàn)[7]針對(duì)PMLSM系統(tǒng)利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群算法結(jié)合觀測系統(tǒng)的不確定性，明顯地削弱了滑模抖振現(xiàn)象，但算法較為復(fù)雜，降低了系統(tǒng)響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)自適應(yīng)律估計(jì)PMLSM伺服系統(tǒng)擾動(dòng)的上界，改善滑模的抖振現(xiàn)象，由于把系統(tǒng)所有擾動(dòng)進(jìn)行集總估計(jì)，導(dǎo)致估計(jì)誤差較大，改善效果并不理想。

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control，ILC)可以利用之前的信息改善當(dāng)前的控制輸入信號(hào)，提高系統(tǒng)的位置跟蹤性能，因此在PMLSM系統(tǒng)控制領(lǐng)域得到了廣泛研究[9-10]。文獻(xiàn)[11]將分段變論域模糊ILC應(yīng)用到PMLSM系統(tǒng)中，使系統(tǒng)根據(jù)實(shí)際輸出誤差在變論域模糊ILC和PD型ILC之間實(shí)時(shí)切換，保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了高精確度的位移跟蹤和魯棒性，但是該方法對(duì)非周期性擾動(dòng)非常敏感，容易導(dǎo)致跟蹤精確度降低，甚至系統(tǒng)發(fā)散。文獻(xiàn)[12]將小波濾波器應(yīng)用到ILC算法中，利用小波濾波器剔除誤差的非周期分量，重構(gòu)輸入誤差信號(hào)，加快了系統(tǒng)的收斂速度，但誤差信號(hào)失真對(duì)系統(tǒng)的控制性能可能產(chǎn)生影響。

針對(duì)PMLSM伺服系統(tǒng)存在的周期性擾動(dòng)、參數(shù)攝動(dòng)及負(fù)載擾動(dòng)等不確定性，提出了一種自適應(yīng)滑?？刂?adaptive sliding mode control，ASMC)和周期性擾動(dòng)學(xué)習(xí)(periodic disturbance learning，PDL)算法相結(jié)合的控制策略?；？刂票ＷC系統(tǒng)對(duì)不確定性擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性能。將系統(tǒng)擾動(dòng)分為周期性擾動(dòng)和非周期性擾動(dòng)，利用ILC的學(xué)習(xí)能力設(shè)計(jì)PDL算法，對(duì)周期性擾動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)和補(bǔ)償，削弱系統(tǒng)抖振。同時(shí)設(shè)計(jì)自適應(yīng)律估計(jì)非周期性擾動(dòng)和學(xué)習(xí)誤差，進(jìn)一步改善控制性能。最后對(duì)所提出的控制方法的有效性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 PMLSM的數(shù)學(xué)模型

忽略磁通畸變，d-q軸模型電壓方程為:

vd=Rsid+pλd-πvλq/τ，

(1)

vq=Rsiq+pλq+πvλd/τ。

(2)

式中：Rs為相電阻；vd、vq為d-q軸電壓；id、iq為d-q軸電流；λd、λq為d-q軸磁鏈；λd=Ldid+λPM；λq=Lqiq；Ld、Lq為d-q軸電感；λPM為勵(lì)磁磁鏈；τ為極距；v為動(dòng)子線速度；p為微分算子。

理想情況下，PMLSM的電磁推力為

(3)

基于id=0磁場定向控制，電磁推力表示為

(4)

式中Kf為推力系數(shù)。

PMLSM運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

式中：M為動(dòng)子及所帶負(fù)載的總質(zhì)量；x為動(dòng)子位置；B為粘滯摩擦系數(shù)；Ffriction為摩擦力；Fripple為推力波動(dòng)；Fd為負(fù)載擾動(dòng)主要包括系統(tǒng)模型不確定性、電機(jī)動(dòng)子質(zhì)量變化及測量擾動(dòng)等非線性因素引起的隨機(jī)擾動(dòng)。

摩擦力用LuGre模型[13]表示為

Ffriction(v)=FCsgn(v)+(FS-FC)e-(v/vs)2sgn(v)。

(6)

式中：sgn(·)為符號(hào)函數(shù)；FC和FS分別為庫侖摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)；v為動(dòng)子速度；vs為臨界Stribeck速度。

由端部效應(yīng)引起的以動(dòng)子位置信號(hào)x為自變量的周期性擾動(dòng)的基波模型[13]可以表示為

Fripple(x)=Fripmcos(2πx/τ+φ0)。

(7)

式中：Fripm是端部效應(yīng)力的幅值；τ為極距；φ0為初始相位電角度。

存在擾動(dòng)情況下，直線電機(jī)動(dòng)子位置x和電磁推力Fe之間的傳遞函數(shù)為

(8)

2 PDL-ASMC位置控制器設(shè)計(jì)

2.1 永磁直線電機(jī)伺服系統(tǒng)組成

伺服系統(tǒng)的控制目標(biāo)就是在系統(tǒng)受周期性推力波動(dòng)、摩擦力及參數(shù)攝動(dòng)等不確定性受影響時(shí)所設(shè)計(jì)的控制器，使系統(tǒng)輸出可以跟蹤任意給定輸入。永磁直線伺服控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。在系統(tǒng)中控制器包括PI電流控制器和PDL-ASMC位置控制器。利用PDL算法對(duì)系統(tǒng)中的周期性擾動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)并補(bǔ)償；滑?？刂铺岣呦到y(tǒng)的魯棒性；采用自適應(yīng)控制估計(jì)系統(tǒng)非周期性擾動(dòng)和學(xué)習(xí)誤差，削弱系統(tǒng)抖振。

圖1 永磁直線電機(jī)伺服控制系統(tǒng)Fig.1 Permanent magnet linear motor servocontrol system

2.2 PDL-ASMC控制器設(shè)計(jì)

為方便控制器設(shè)計(jì)，將PMLSM動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)重新描述如下，其中擾動(dòng)分為周期性擾動(dòng)和非周期性擾動(dòng)

(9)

為保證嚴(yán)密性，假設(shè)滿足下面的條件：

假設(shè)1 期望軌跡xd(t)在迭代周期[0,T]內(nèi)，對(duì)于時(shí)間t是二階可微的。

假設(shè)2 非周期性擾動(dòng)r(t)有界

|r(t)|≤rd,?t∈[0,T]。

(10)

e(t)=xd(t)-x(t)。

(11)

對(duì)于PMLSM系統(tǒng)，采用跟蹤誤差及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)的線性組合來定義滑模面

(12)

式中：c必須滿足Hurwitz條件，即c>0。

對(duì)式(12)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

(13)

將式(9)代入式(13)可得滑模面S(t)的動(dòng)態(tài)方程為

(14)

當(dāng)S(t)=0時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面。

在第k次學(xué)習(xí)的PDL-SMC位置控制器設(shè)計(jì)為

(15)

PDL控制器設(shè)計(jì)為

(16)

式中：q、β1、β2為正常數(shù)；Sk(t)為第k次學(xué)習(xí)時(shí)的滑模面。

設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀?/p>

vk(t)=-gsgn(Sk)-ηSk(t)。

(17)

式中g(shù)>0為切換增益；sgn(S)為開關(guān)函數(shù)可以表示為

(18)

將式(15)代入式(14)，滑模面動(dòng)態(tài)方程可以簡化為

(19)

在第k次學(xué)習(xí)的PDL-ASMC位置控制器設(shè)計(jì)為

(20)

自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

(21)

式中γ為正常數(shù)。估計(jì)誤差定義為

(22)

將式(20)代入式(14)得

(23)

圖2 基于PDL-ASMC控制器的 PMLSM 伺服控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of PMLSM servo control system based on PDL-ASMC controller

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1 對(duì)于PMLSM系統(tǒng)，在假設(shè)1到3的條件下，當(dāng)?shù)螖?shù)接近無窮大時(shí)，式(20)中提出的控制律可以保證直線電機(jī)伺服系統(tǒng)位置跟蹤誤差在[0,T]上漸近收斂于零。

證明：為了證明位置跟蹤誤差e(t)和滑模面S(t)的收斂性，在第k次學(xué)習(xí)中定義李雅普諾夫函數(shù)為

(24)

證明包括兩個(gè)步驟。第一步是推導(dǎo)兩個(gè)連續(xù)迭代之間Lyapunov函數(shù)Vk(t)的差值。同時(shí)，第二步是對(duì)位置跟蹤誤差的收斂性進(jìn)行證明。

1)連續(xù)兩次學(xué)習(xí)Lyapunov函數(shù)的差值。

(25)

(26)

根據(jù)式(25)和式(26)，可得

(27)

將式(23)代入上式，并考慮式(17)，可得

(28)

考慮到sgn(Sk)Sk=|Sk|，可將上式簡化為

(29)

(30)

對(duì)β1|Sk(t)|求導(dǎo)，可得

(31)

根據(jù)式(30)和式(31)，可得

(32)

將式(23)和式(17)代入上式，可得

β1|Sk-1(t)|。

(33)

(34)

由經(jīng)驗(yàn)方程(a-b)T(a-b)-(a-c)T(a-c)=(c-b)T(2(a-b)+(b-c))可得

(35)

根據(jù)式(16)，可將上述方程展開為

(36)

(37)

(38)

(39)

根據(jù)式(38)和式(39)，可得

(40)

(41)

2)位置跟蹤誤差的收斂性

結(jié)合式(29)、式(33)、式(37)和式(41)，可以得到李雅普諾夫函數(shù)Vk(t)在第k次學(xué)習(xí)和第k-1次學(xué)習(xí)之間的差值為

(42)

ΔVk(t)≤0。

(43)

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,當(dāng)Sk(t)≠0，t∈[0,T] 時(shí)，V(t)是負(fù)定的，表明李雅普諾夫函數(shù)V(t)是收斂的，可以確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。另外，由于滑模面的定義滿足Hurwitz多項(xiàng)式，所以位置跟蹤誤差e(t)是漸近收斂的。

3 仿真結(jié)果與分析

系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)中永磁直線同步電機(jī)參數(shù)：M=0.38 kg,τ=14 mm,B=0.8 N·s/m,Rs=1.1 Ω,Kf=28.5 N/A,Ld=Lq=0.019 H,λPM=0.028 Wb。周期性擾動(dòng)參數(shù)FC=10 N,FS=20 N,vs=0.5(LuGre型摩擦力)；Fripm=30 N，φ0=0 (端部效應(yīng))。分別采用帶飽和函數(shù)的滑?？刂破?S-SMC)和PDL-ASMC位置控制器進(jìn)行控制，并比較仿真結(jié)果。S-SMC位置控制律為

(44)

式中：Φ為邊界層厚度；sat(·)為飽和函數(shù)。

S-SMC位置控制器參數(shù)設(shè)置為：c=50；β1=2.1；Φ=0.001，PDL-ASMC位置控制器參數(shù)設(shè)置為：c=50；β1=0.4；β2=0.3；g=0.6；η=160；γ=0.003；q=0.1。

期望位置輸入曲線如圖3所示，穩(wěn)態(tài)后在3.4 s時(shí)加入50 N負(fù)載阻力。在PDL逼近周期性擾動(dòng)的過程中，各次學(xué)習(xí)誤差的均方均根如圖4所示。由圖4可以看出，隨著學(xué)習(xí)次數(shù)的增加，學(xué)習(xí)誤差的均方根漸進(jìn)收斂。圖5、圖6分別為學(xué)習(xí)15次后的學(xué)習(xí)結(jié)果和學(xué)習(xí)誤差，可以看出PDL可以精確地學(xué)習(xí)系統(tǒng)的周期性擾動(dòng)。

圖3 正弦期望位置輸入Fig.3 Sinusoidal expected position input

圖4 學(xué)習(xí)誤差均方根Fig.4 Root mean square of learning error

圖5 擾動(dòng)學(xué)習(xí)值與實(shí)際擾動(dòng)Fig.5 Disturbance learning value and actual disturbance

圖6 第15次迭代的學(xué)習(xí)誤差Fig.6 Learning error of the 15th iteration

圖7(a)和圖7(b)分別為S-SMC控制和學(xué)習(xí)15次之后的PDL-ASMC位置跟蹤誤差曲線。圖7(a)可以看出ASMC控制的位置穩(wěn)態(tài)誤差控制在±6.76 μm之間，由圖7(b)可以看出PDL-ASMC的位置穩(wěn)態(tài)誤差控制在±1.0 μm之間。在3.4 s突加負(fù)載后，S-SMC控制的位置誤差波動(dòng)為2.41 μm，穩(wěn)態(tài)恢復(fù)時(shí)間為 0.27 s ，而PDL-ASMC的位置誤差波動(dòng)為0.39 μm，穩(wěn)態(tài)恢復(fù)時(shí)間為 0.12 s。因此可看出，當(dāng)系統(tǒng)受周期性擾動(dòng)和突加負(fù)載的非周期性擾動(dòng)時(shí)，PDL-ASMC系統(tǒng)由于利用PDL學(xué)習(xí)周期性擾動(dòng)的結(jié)果對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償以及采用自適應(yīng)律對(duì)學(xué)習(xí)誤差和非周期性擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，使得其穩(wěn)態(tài)誤差更小，穩(wěn)態(tài)恢復(fù)時(shí)間更快，魯棒性更強(qiáng)。

圖7 輸入正弦信號(hào)時(shí)系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curve of system when inputting sinusoidal signal

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

基于數(shù)字信號(hào)處理器的PMLSM伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)硬件結(jié)構(gòu)圖如圖8所示。實(shí)驗(yàn)選用TMS320F28335作為核心控制單元，采樣周期為0.5 ms，伺服系統(tǒng)主要由永磁直線同步電機(jī)、PC+DSP運(yùn)算控制單元、固定分辨率為0.05 μm的直線光柵尺，霍爾電流傳感器，IPM逆變器。利用匯編語言實(shí)現(xiàn)控制算法及電流矢量控制，輸出6路PWM波控制IPM 模塊的導(dǎo)通。圖9為基于DSP的PMLSM實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過485串口傳送給上位機(jī)。在實(shí)驗(yàn)中，電機(jī)參數(shù)和控制器參數(shù)與仿真實(shí)驗(yàn)相同。

圖8 基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖Fig.8 Hardware block diagram of PMLSM control system based on DSP

圖9 基于DSP的PMLSM實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.9 Photograph of PMLSM experiment systembased on DSP

采用的期望位置輸入與仿真實(shí)驗(yàn)相同，并在穩(wěn)態(tài)后3.4 s時(shí)加入50 N負(fù)載阻力。圖10(a)和圖10(b)分別為S-SMC控制和PDL-ASMC速度響應(yīng)曲線。對(duì)比速度響應(yīng)曲線，在電機(jī)起動(dòng)時(shí)，圖10(b)相比于圖10(a)能更快的到達(dá)穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)；突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí),圖10(b)相比于圖10(a)也表現(xiàn)出更好的魯棒性。

圖10 系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線(正弦信號(hào))Fig.10 Velocity response curve of system(Sinusoidal signal)

圖11(a)和圖11(b)分別為S-SMC控制和PDL-ASMC位置跟蹤誤差曲線?？擅黠@看出，在PMLSM起動(dòng)時(shí)，圖11(b)比圖11(a)的響應(yīng)速度更快。圖11(a)的位置穩(wěn)態(tài)誤差控制在±1.47 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到8.64 μm，穩(wěn)態(tài)恢復(fù)時(shí)間為0.26 s；圖11(b)的位置穩(wěn)態(tài)誤差控制在±0.52 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到1.97 μm，穩(wěn)態(tài)恢復(fù)時(shí)間為 0.13 s，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致。因此可看出，當(dāng)系統(tǒng)受其自身存在的周期性擾動(dòng)(主要為端部效應(yīng)和摩擦力)和突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，基于PDL-ASMC控制的永磁直線伺服系統(tǒng)表現(xiàn)出位置跟蹤性能更好、誤差收斂速度更快，魯棒性更強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

圖11 系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線(正弦信號(hào))Fig.11 Position tracking error curve of system(Sinusoidal signal)

當(dāng)采用圖12所示的期望位置輸入曲線時(shí)，S-SMC控制和PDL-ASMC速度響應(yīng)曲線如圖13(a)和圖13(b)所示。圖13(b)相比于圖13(a)速度響應(yīng)曲線更平滑，且在速度突變時(shí)超調(diào)較少。S-SMC控制和PDL-ASMC控制位置跟蹤誤差曲線分別如圖14(a)和圖14(b)所示。由圖14可以看出，當(dāng)動(dòng)子速度突變時(shí)，PDL-ASMC策略要比S-SMC策略位置響應(yīng)速度快。由圖14(a)和圖14(b)的局部放大圖可知PDL-ASMC的位置跟蹤誤差波動(dòng)頻率和幅值均小于S-SMC的位置跟蹤誤差，且明顯削弱了系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。

圖12 不規(guī)則期望位置輸入Fig.12 Irregular expected position input

圖13 系統(tǒng)速度響應(yīng)曲線(不規(guī)則信號(hào))Fig.13 Velocity response curve of system(irregular signal)

圖14 系統(tǒng)位置跟蹤誤差曲線(不規(guī)則信號(hào))Fig.14 Position tracking error curve of system(irregular signal)

由于PDL對(duì)端部效應(yīng)引起的周期性波動(dòng)有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力及滑?？刂祈憫?yīng)快的特點(diǎn)，使得PDL-ASMC可以更精確地跟蹤期望位置輸入曲線。

5 結(jié) 論

為了提高永磁直線同步電機(jī)伺服系統(tǒng)位置跟蹤精確度和魯棒性能，本文提出了一種基于周期性擾動(dòng)學(xué)習(xí)的自適應(yīng)滑?？刂破鳌Ｖ芷谛詳_動(dòng)學(xué)習(xí)算法能有效處理系統(tǒng)中的周期性擾動(dòng)。在滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中綜合了周期性擾動(dòng)學(xué)習(xí)算法，保證了系統(tǒng)對(duì)周期性擾動(dòng)的抑制。采用自適應(yīng)算法對(duì)系統(tǒng)的非周期性擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，減小了最小切換增益，從而削弱了系統(tǒng)抖振。實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果表明，在周期性擾動(dòng)和非周期性擾動(dòng)狀態(tài)下，基于PDL-ASMC控制器的永磁直線伺服系統(tǒng)都具有位置跟蹤性能好、魯棒性強(qiáng)和響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)。