紀歷，普月，陳震民，魏凱龍

(1.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，南京 210098；2.浙江中源磁懸浮技術(shù)有限公司，杭州 310011)

0 引 言

磁懸浮高速電機，即磁懸浮軸承支撐的高速電機的轉(zhuǎn)速高達10 000 r/min以上，可以直接與高速原動機或工作機相連，從而取消了原有的增速/減速機構(gòu)，大幅提高設(shè)備效率。同時，其具有很高的功率密度，體積遠小于同等功率的常規(guī)電機，能夠有效的節(jié)約材料。此外，磁懸浮軸承使定轉(zhuǎn)子之間無接觸、無摩擦，不需要潤滑系統(tǒng)，可降低維護成本并延長電機壽命。使用磁懸浮高速電機替代高速透平機械(如鼓風(fēng)機、壓縮機、燃氣輪機等)中的常規(guī)驅(qū)動電機或發(fā)電機，開發(fā)“直驅(qū)式”的結(jié)構(gòu)能夠提升設(shè)備效率10～15%，具有重大的經(jīng)濟價值，對于發(fā)展我國高端制造業(yè)以及提倡低碳環(huán)保的國家政策都具有重要意義[1-4]。

磁懸浮轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時由于質(zhì)量不平衡力的激勵將產(chǎn)生較大的同頻振動[5]，大量的文獻針對這一現(xiàn)象進行了研究，并提出了抑制同頻振動的補償方法[6-10]。然而，在實際設(shè)備運行中，磁懸浮轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時除了與轉(zhuǎn)速同頻的振動外，常伴隨有與轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子固有頻率無關(guān)的低頻振動。文獻[11]認為該低頻振動由磁懸浮系統(tǒng)中的非線性引發(fā)，文中認為非線性將會使得低頻增益下降，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。針對磁懸浮系統(tǒng)的非線性振動問題，文獻[12]研究了非線性電磁力作用下，幾何耦合參數(shù)對磁軸承柔性轉(zhuǎn)子運動的影響。文獻[13]考慮渦流效應(yīng)對電磁力的影響，建立磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，分析轉(zhuǎn)子的頻率響應(yīng)。文獻[14-15]對磁懸浮軸承的分岔行為進行了分析，研究了系統(tǒng)中存在的分岔、跳躍、多值響應(yīng)和較大的初值敏感性。

本文針對磁懸浮轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時出現(xiàn)低頻振動的現(xiàn)象進行研究。建立了磁懸浮控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的非線性模型，分析了其導(dǎo)致低頻振動的機理，并基于描述函數(shù)及擴展奈奎斯特判據(jù)方法分析了含有非線性環(huán)節(jié)的磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文中通過仿真與試驗對得出的結(jié)論進行了驗證，所得結(jié)論能夠為磁懸浮技術(shù)在高速電機中的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在磁懸浮系統(tǒng)的控制中，通常將各個環(huán)節(jié)簡化為線性系統(tǒng)進行分析，其線性化后的控制框圖如圖1所示。

圖1 磁懸浮轉(zhuǎn)子線性化控制系統(tǒng)的控制框圖Fig.1 Linear model of maglev stator-rotor control system

圖中磁懸浮控制系統(tǒng)主要由控制器、功率放大器、磁懸浮轉(zhuǎn)子、位移傳感器4個部分組成，其中Gc(s)為控制器，在磁懸浮電機的工業(yè)應(yīng)用中最為常用的是PID控制器，PID是一種經(jīng)典的線性控制方法，其數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：KP、KI、KD表示比例、積分、微分系數(shù)，Tf為不完全微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，用來濾除信號中的噪聲，避免微分環(huán)節(jié)過度放大系統(tǒng)中的噪聲。

磁懸浮控制中通常采用開關(guān)功率放大器[16]實現(xiàn)對勵磁電流的控制，開關(guān)功率放大器是典型的非線性設(shè)備，其工作過程會引入大量的高次諧波。但由于勵磁線圈及磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身具有較大慣性，高頻諧波電流對系統(tǒng)影響較小，因此在設(shè)計控制系統(tǒng)時通常將其簡化為一個線性的增益KA。

磁懸浮轉(zhuǎn)子是系統(tǒng)中的被控對象，可根據(jù)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出懸浮力與勵磁電流及轉(zhuǎn)子位移間的關(guān)系從而得到其數(shù)學(xué)模型，由于電磁力的非線性及結(jié)構(gòu)上的耦合，磁懸浮轉(zhuǎn)子是一個高階的非線性系統(tǒng)，但對于剛性轉(zhuǎn)子通常將其簡化為一個SISO的線性模型，即

(2)

式中：m為轉(zhuǎn)子單端的等效質(zhì)量；Ki為電流剛度；Kx為位移剛度。

轉(zhuǎn)子的振動量由傳感器檢測并轉(zhuǎn)換為電壓信號用于反饋控制，該環(huán)節(jié)用增益Ks來表示，通常情況下傳感器及其檢測電路帶有低通濾波器，可以由一個一階慣性環(huán)節(jié)來描述。

從以上的模型中可以看出，在磁懸浮控制系統(tǒng)當中，非線性主要由開關(guān)功率放大器及磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)引入，此外由于功率放大器的輸出能力有限，在控制系統(tǒng)當中需要加入限幅環(huán)節(jié)，限制輸出電流的大小，這也導(dǎo)致非線性的因素之一，主要從這3個方面進行分析。

1.1 功率放大器的數(shù)學(xué)模型

磁懸浮控制系統(tǒng)中最為常用的功率放大器是基于H橋的三電平變換器[16]。其主電路拓撲結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，其中主電路由電壓源E、開關(guān)管S1～S4及負載組成。S1(S2)與S3(S4)互補導(dǎo)通，其負載等效為L和R串聯(lián)的形式。根據(jù)S1～S4不同的開關(guān)情況，該變換器有3種工作狀態(tài)：

圖2 H橋三電平變換器拓撲結(jié)構(gòu)及開關(guān)時序Fig.2 Topology diagram and timing diagram of H bridge three level converter

狀態(tài)1：開關(guān)S1與S4導(dǎo)通，S2與S3關(guān)斷，此時變換器輸出電壓E，負載電流上升；

狀態(tài)2：開關(guān)S2與S3導(dǎo)通，S1與S4關(guān)斷，此時變換器輸出電壓-E，負載電流下降；

狀態(tài)3：開關(guān)S1與S2導(dǎo)通，S3與S4關(guān)斷或開關(guān)S3與S4導(dǎo)通，S1與S2關(guān)斷，此時變換器輸出電壓為零，負載電流通過開關(guān)管與二極管續(xù)流。

變換器在每一個控制周期中包含兩種開關(guān)狀態(tài)，以輸出正電壓，負載電流上升過程為例。其調(diào)制原理如圖2(b)所示，圖中uT+、uT-為一組幅值與頻率相同、相位相反的三角載波，uin為控制器輸入的控制信號，ug1、ug4分別表示開關(guān)管S1與S4的驅(qū)動信號。

控制信號uin分別與兩個三角波進行比較，當uin大于uT+時ug1輸出高電平S1開通，當uin大于uT-時ug4輸出高電平S4開通，反之S1、S4關(guān)斷。根據(jù)圖2(a)主電路結(jié)構(gòu)以及圖2(b)中的開關(guān)時序圖，此時變換器包含狀態(tài)1與狀態(tài)3兩種開關(guān)狀態(tài)，對負載輸出等效的正向PWM電壓。將控制信號與載波信號做歸一化處理，即uTmax=1、uTmin=-1、uin∈[-1,1]、占空比d=|uin|，則可以推導(dǎo)出該H橋變換器的輸出模型如下：

(3)

基于H橋變換器設(shè)計電流環(huán)控制電路，其原理通過互感器檢測勵磁電流，并與參考電流做差，該差值通過比例積分控制器產(chǎn)生控制信號經(jīng)PWM調(diào)制和驅(qū)動電路控制H橋變換器中4個功率管的通斷，輸出適當?shù)碾妷菏关撦d電流跟蹤參考電流，其控制框圖如圖3所示。

圖3 功放電流環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Current loop control system structure

圖中：KV為變換器的等效電壓放大倍數(shù)；Km=1/R，β為電流反饋系數(shù)；Tli=L/R為負載的時間常數(shù)；Ti為數(shù)字延時等效的小慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)，其中Ti=1/f，f為變換器的工作頻率。電流環(huán)采用PI調(diào)節(jié)器進行校正，KP、γi分別為電流調(diào)節(jié)器比例系數(shù)、積分時間常數(shù)。

通過圖3系統(tǒng)可以推導(dǎo)出功率放大器的數(shù)學(xué)模型，相比圖1中用KA來等效功放環(huán)節(jié)有更高的準確性，更進一步用式(3)替代等效電壓放大倍數(shù)KV，則可以得到功放的非線性模型。

1.2 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖4展示了典型的8極電磁式磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子的截面示意圖，其中x、y方向各有一對差分的電磁鐵控制轉(zhuǎn)子在一個平面內(nèi)的運動。

圖4 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子截面示意圖Fig.4 Cross-section of the magnetic levitation stator-rotor

如圖所示，8個磁極向轉(zhuǎn)子施加的電磁力沿法線方向向外，忽略鐵磁材料的磁阻，其幅值為

(4)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；A為每個磁極的面積；N為每個電磁鐵線圈的匝數(shù)；I為線圈中的電流；δ表示磁極與轉(zhuǎn)子之間的氣隙。其中每個勵磁線圈中的電流及每個氣隙的大小如下：

(5)

(6)

式中δ0與I0為平衡位置的氣隙及磁懸浮軸承的偏置電流。

將式(5)、式(6)代入式(4)得到每個磁極對轉(zhuǎn)子的電磁力，并根據(jù)圖4中的結(jié)構(gòu)與磁懸浮系統(tǒng)的工作原理，得到轉(zhuǎn)子在x、y方向受到的合力為：

(7)

從式(7)可以看出，轉(zhuǎn)子受到的電磁力與勵磁電流及轉(zhuǎn)子位移呈非線性關(guān)系，且在x與y方向存在耦合。若將式(7)在平衡位置(x=0,y=0,ix=0,iy=0)處作泰勒展開，并略去二階以上小量得線性化后的電磁力表達式：

(8)

對比式(8)與式(7)可以看出，通過簡化，電磁力中非線性的部分及x與y方向的耦合完全被忽略，進一步可通過式(8)推導(dǎo)出式(2)的形式，得到線性化的磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

1.3 輸出限幅環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

由于功率放大器的輸出能力有限，在實際系統(tǒng)中需要對控制器的輸出增加限幅環(huán)節(jié)，其原理如圖5所示。

圖5 功率放大器限幅環(huán)節(jié)原理示意圖Fig.5 Schematic diagram of the amplitude limiter

由于引入了限幅環(huán)節(jié)，當磁懸浮軸承控制電流超過最大閾值時，系統(tǒng)的輸入輸出將表現(xiàn)出一定的非線性，可以通過描述函數(shù)的方法建立該環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型。

當該環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號i(t)=Asin(ωt)時，其輸出i′(t)為奇函數(shù)，且在四分之一個周期內(nèi)對稱，其表達式為

(9)

對非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出進行諧波分析，將其展開為傅里葉級數(shù)形式

(10)

其中：

由于限幅后輸出仍然為奇函數(shù)，所以An=0，而i′(t)又為半周期內(nèi)對稱，故

(11)

忽略一次以上的諧波分量，可得限幅環(huán)節(jié)的非線性描述函數(shù)，表示為

(12)

考慮非線性因素后，磁懸浮控制系統(tǒng)可以變化為該非線性環(huán)節(jié)N(A)與原有部分串聯(lián)的形式。根據(jù)描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的原理，若開環(huán)幅相曲線ΓG包圍-1/N(A)曲線，則對于非線性環(huán)節(jié)具有任一確定振幅A的正弦輸入信號，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，按照表1中的參數(shù)繪制系統(tǒng)的奈奎斯特曲線及非線性環(huán)節(jié)曲線，如圖6所示。

圖6 考慮限幅環(huán)節(jié)的磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)Fig.6 Stability criteria for the nonlinear control system

表1 磁懸浮高速電機的主要參數(shù)Table 1 Parameters of the magnetic levitation motor

根據(jù)圖6以及擴展奈奎斯特判據(jù)的原理，開環(huán)幅相曲線ΓG與-1/N(A)曲線相交，且-1/N(A)曲線沿振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域?？梢缘贸鼋Y(jié)論，當勵磁電流的幅值超過限幅范圍后，系統(tǒng)將發(fā)生自激振蕩，而振動頻率應(yīng)在17 rad/s附近。

2 仿真分析

文中在MATLAB/Simulink中建立了磁懸浮控制系統(tǒng)的仿真模型，模型的主要參數(shù)如表1中所示。為驗證各非線性環(huán)節(jié)對低頻振動的影響，建立了如圖1所示的全線性化模型以及基于式(3)、式(7)的非線性模型，并對比了不同激勵下的轉(zhuǎn)子振動情況，如圖7、圖8所示。

圖7 勵磁電流未飽和時磁懸浮轉(zhuǎn)子振動波形及頻譜分析Fig.7 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

仿真中，對磁懸浮控制系統(tǒng)施加一個頻率為430 Hz的激振力，首先驗證功率放大器及電磁力非線性對振動的影響，因此施加的激振力幅值較小，輸出電流未達到限幅閾值。圖7(a)、7(b)展示了線性模型及非線性模型中轉(zhuǎn)子振動的波形及其頻譜分析，可以看出，兩個模型的輸出結(jié)果中都只體現(xiàn)出了與轉(zhuǎn)速同頻的振動量，且振動的幅值基本相同。功率放大器及電磁力的非線性并未對轉(zhuǎn)子的振動產(chǎn)生較大的影響。

改變激振力的幅值，致使兩個模型的控制電流都出現(xiàn)飽和情況，得到的結(jié)果如圖8所示，其中圖8(a)為使用線性模型仿真時轉(zhuǎn)子振動的波形及其頻譜分析，圖8(b)為使用非線性模型的情況。

圖8 勵磁電流飽和時磁懸浮轉(zhuǎn)子振動波形及頻譜分析Fig.8 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

從圖8的仿真波形中可以看出，在控制電流飽和的情況下，除了430 Hz的同頻振動量有所增大外，圖8(a)線性模型與圖8(b)非線性模型都出現(xiàn)了相同頻率(6.5 Hz)的低頻振動，其中非線性模型中該低頻振動的幅值大于線性化模型。通過以上兩個仿真(圖7與圖8)可以看出，限幅環(huán)節(jié)的引入及控制電流的飽和是導(dǎo)致磁懸浮轉(zhuǎn)子發(fā)生低頻振動的主要原因。

3 試驗研究

為驗證理論分析的正確性，文中以一臺100 kW的磁懸浮永磁電機(圖9)為對象進行了試驗研究。

圖9 100 kW磁懸浮高速電機Fig.9 100 kW high-speed magnetic levitation motor

對該磁懸浮電機進行升速試驗，隨著轉(zhuǎn)速的上升，轉(zhuǎn)子受到的不平衡力逐漸增大，導(dǎo)致控制電流隨之上升，至430 Hz時，控制電流飽和，此時轉(zhuǎn)子的振動波形如圖10所示。從圖中可以看出，除了與轉(zhuǎn)速同頻的振動外，轉(zhuǎn)子還表現(xiàn)出了較大的低頻振動，通過頻譜分析，該振動的頻率在5 Hz附近，試驗波形與仿真的結(jié)果十分接近。通過示波器讀出該通道轉(zhuǎn)子振動的峰峰值為880 mV，對應(yīng)傳感器的靈敏度為20 000 V/m，此時轉(zhuǎn)子的振動量約為44 μm。

圖10 勵磁電流飽和時磁懸浮轉(zhuǎn)子試驗波形及頻譜分析Fig.10 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

通過在轉(zhuǎn)子上配置不平衡質(zhì)量的方法，將轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量由167 mg修正到37.4 mg，調(diào)整不平衡力至一個較低的水平，后升速至430 Hz，此時控制電流未達到限幅閾值，對比轉(zhuǎn)子的振動波形如圖11所示?？梢钥闯霎斂刂齐娏魑闯霈F(xiàn)飽和時，磁懸浮轉(zhuǎn)子只表現(xiàn)出了與轉(zhuǎn)速同頻的振動，原先5 Hz附近的低頻振動完全消失，與仿真得到的結(jié)果基本相同。此時轉(zhuǎn)子波形的峰峰值為480 mV，對應(yīng)振動量24 μm，遠小于出現(xiàn)低頻振動時的水平。

圖11 勵磁電流飽和時磁懸浮轉(zhuǎn)子試驗波形及頻譜分析Fig.11 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

4 結(jié) 論

本文研究了磁懸浮電機高速旋轉(zhuǎn)時出現(xiàn)低頻振動的現(xiàn)象及其產(chǎn)生機理。文中建立了磁懸浮系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的非線性模型，并基于描述函數(shù)及擴展奈奎斯特判據(jù)方法分析了含有非線性環(huán)節(jié)的磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過試驗對理論分析的正確性進行了驗證。通過研究本文可以得到以下結(jié)論：

1)仿真及試驗證明，當磁懸浮電機高速旋轉(zhuǎn)時，除同頻振動外，轉(zhuǎn)子還有可能產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速無關(guān)的低頻振動；

2)基于描述函數(shù)及擴展奈奎斯特判據(jù)方法證明當勵磁電流的幅值超過限幅范圍后，系統(tǒng)將發(fā)生低頻的自激振蕩；

3)仿真分析證明該低頻振動與系統(tǒng)中的非線性因素有關(guān)，其中控制電流飽和與限幅是導(dǎo)致該低頻振動的主要原因。