李淑慶，李啟豐，王昊，秦嚴(yán)嚴(yán)

(1.重慶交通大學(xué)，交通運(yùn)輸學(xué)院，重慶400074；2.昆明市規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，昆明650041；3.東南大學(xué)，交通學(xué)院，南京210096)

0 引言

針對(duì)協(xié)作式巡航控制(Cooperative Adaptive Cruise Control，CACC)交通流穩(wěn)定性的研究，國(guó)外研究開(kāi)展較早，研究成果大致可以分為3 類(lèi)。第1類(lèi)研究以交通流仿真為技術(shù)手段，分析某種情形下CACC 的混入是否可有效提升傳統(tǒng)車(chē)流的不穩(wěn)定性[1]；隨后，Talebpour等[2]應(yīng)用李雅普諾夫理論對(duì)混入不同比例CACC 車(chē)輛的混合交通流穩(wěn)定性進(jìn)行理論分析，該研究成果已成為目前主流研究方法；第3類(lèi)研究主要以控制論為方法論，對(duì)由CACC車(chē)輛和人工駕駛車(chē)輛構(gòu)成的混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性進(jìn)行分析與計(jì)算，以此進(jìn)行CACC跟馳控制的相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)與策略?xún)?yōu)化[3]。

國(guó)內(nèi)學(xué)者王昊等[4]從理論層面分析了當(dāng)自適應(yīng)巡航控制(Adaptive Cruise Control,ACC)車(chē)輛不穩(wěn)定時(shí)，CACC車(chē)輛應(yīng)如何提升混合交通流穩(wěn)定性的問(wèn)題，研究結(jié)果可為CACC控制器的頂層設(shè)計(jì)提供參考。華雪東等[5]從提高交通流穩(wěn)定性層面，對(duì)CACC控制系統(tǒng)進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計(jì)，并通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)論證了設(shè)計(jì)方法有利于提升混合交通流穩(wěn)定性。秦嚴(yán)嚴(yán)等[6]從CACC 混合交通流穩(wěn)定性的角度，理論計(jì)算了CACC車(chē)頭時(shí)距與穩(wěn)定性的解析關(guān)系，提出了一種隨CACC比例而動(dòng)態(tài)變化的CACC車(chē)頭時(shí)距設(shè)計(jì)策略。

由此可見(jiàn)，現(xiàn)有研究成果集中在：CACC 比例對(duì)混合交通流穩(wěn)定性的影響，且已得到CACC比例增加有利于提升混合交通流穩(wěn)定性的結(jié)論；以混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性為優(yōu)化目標(biāo)的CACC 跟馳參數(shù)控制策略，并在CACC車(chē)頭時(shí)距以及反饋增益等方面形成較成熟的結(jié)論。但是，鮮有研究成果探討連續(xù)多輛人工駕駛車(chē)輛的上游需要跟隨至少幾輛CACC 車(chē)輛的問(wèn)題，而該問(wèn)題的探討能夠?yàn)榇笠?guī)模CACC實(shí)地測(cè)試的實(shí)施提供前瞻性評(píng)估分析。鑒于此，本文對(duì)此開(kāi)展研究，旨在為未來(lái)大規(guī)模混合車(chē)隊(duì)實(shí)地測(cè)試的實(shí)施提供理論依據(jù)。

1 問(wèn)題描述與建模

1.1 CACC混合車(chē)隊(duì)

在由CACC 車(chē)輛和人工駕駛車(chē)輛構(gòu)成的隨機(jī)混合車(chē)流中，可抽象出如圖1所示的混合車(chē)隊(duì)。在圖1 中，混合車(chē)隊(duì)的前面有n輛人工駕駛車(chē)輛，隨后為m輛的CACC/ACC 車(chē)輛，且在m輛CACC/ACC車(chē)輛中，鑒于人工駕駛車(chē)輛無(wú)車(chē)車(chē)通訊功能，緊跟其后的為ACC 車(chē)輛，ACC 車(chē)輛依托車(chē)載檢測(cè)設(shè)備實(shí)現(xiàn)自主式自動(dòng)駕駛，隨后的m-1 輛為CACC 車(chē)輛，可與前車(chē)進(jìn)行車(chē)車(chē)通訊，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)聯(lián)式自動(dòng)駕駛。因此，混合車(chē)隊(duì)中m和n的取值可體現(xiàn)CACC混合車(chē)隊(duì)的規(guī)模。

圖1 CACC混合車(chē)隊(duì)Fig.1 Platoon mixed with CACC vehicles

1.2 車(chē)輛跟馳模型

針對(duì)人工駕駛車(chē)輛而言，學(xué)者們研究了諸多跟馳模型，模型之間各有優(yōu)劣，本文選擇應(yīng)用較廣的優(yōu)化速度模型(Optimal Velocity Model,OVM)作為人工駕駛車(chē)輛跟馳模型[7]，模型公式為

式中：v0為自由流速度；λ為敏感系數(shù)；d為安全間距。通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)定的模型參數(shù)值分別為[7]：v0=33.3 m·s-1，κ=0.70 s-1，λ=0.99 s-1，d=1.62 m。

針對(duì)CACC 車(chē)輛而言，根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究成果，選擇CACC車(chē)輛跟馳模型為

式中：α為最大加速度；β為舒適減速度；s0為最小間距；T為安全車(chē)頭時(shí)距；為為車(chē)輛i與前車(chē)i-1 在時(shí)間t時(shí)的速度差；r為敏感系數(shù)；、分別為CACC車(chē)輛i、i-1 在時(shí)間t時(shí)的電子節(jié)氣門(mén)角度。

式(3)中CACC 車(chē)輛跟馳模型考慮了前后相鄰車(chē)輛的自動(dòng)控制系統(tǒng)中的電子節(jié)氣門(mén)角度，根據(jù)文獻(xiàn)[8-10]，電子節(jié)氣門(mén)角度控制可與CACC 車(chē)輛的運(yùn)行速度及加速度建立數(shù)學(xué)模型為

式中：b與c為系數(shù)；ve為平衡態(tài)速度；θe為CACC車(chē)輛保持平衡態(tài)速度時(shí)的電子節(jié)氣門(mén)角度。參數(shù)取值為[8-10]：r=0.5，b=0.8，c=0.27。

針對(duì)ACC車(chē)輛而言，在無(wú)前車(chē)通訊的條件下，式(3)中的CACC車(chē)輛跟馳模型退化為ACC車(chē)輛跟馳模型，模型結(jié)構(gòu)為

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，模型參數(shù)取值為：v0=33.3 m·s-1，α=4.0 m·s-2，s0=2 m，T=2.0 s，β=2.0 m·s-2。

2 隊(duì)列穩(wěn)定性分析

理論推導(dǎo)混合車(chē)隊(duì)的隊(duì)列穩(wěn)定性判別條件，并針對(duì)m和n取不同值時(shí)的混合車(chē)隊(duì)情形，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性分析結(jié)果。

2.1 理論推導(dǎo)

針對(duì)人工駕駛車(chē)輛而言，采用泰勒公式對(duì)式(1)在平衡態(tài)展開(kāi)，得到

式中：se為平衡態(tài)車(chē)間距。

定義車(chē)流擾動(dòng)為

將式(7)帶入式(6)計(jì)算得到

將式(8)進(jìn)行拉普拉斯變換，計(jì)算得到人工駕駛車(chē)輛應(yīng)對(duì)擾動(dòng)時(shí)的傳遞函數(shù)為

式中：s為拉普拉斯算子。

令s=jw，將由拉普拉斯域轉(zhuǎn)變至頻率域，即

式中：w為角頻率。

同理，針對(duì)CACC 車(chē)輛而言，將其模型公式在平衡態(tài)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并將式(7)中定義的擾動(dòng)帶入，最終計(jì)算得到

將式(11)進(jìn)行拉普拉斯變換，計(jì)算CACC 車(chē)輛對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

基于CACC 車(chē)輛與ACC 車(chē)輛的跟馳模型結(jié)構(gòu)，當(dāng)r=0 時(shí)，可通過(guò)式(12)獲取ACC 車(chē)輛對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

令s=jw，可分別將與由拉普拉斯域轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率域，即

根據(jù)圖1所示的CACC 混合車(chē)隊(duì)，將車(chē)隊(duì)頭車(chē)的行駛狀態(tài)作為擾動(dòng)輸入，考察尾車(chē)CACC車(chē)輛對(duì)擾動(dòng)的抑制能力，計(jì)算混合車(chē)隊(duì)的隊(duì)列穩(wěn)定性判別條件為

2.2 結(jié)果分析

應(yīng)用2.1 節(jié)推導(dǎo)得到的穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，計(jì)算不同m和n取值情形下混合車(chē)隊(duì)的隊(duì)列穩(wěn)定性結(jié)果，如圖2所示。在圖2中，計(jì)算了m取不同值時(shí)，混合車(chē)隊(duì)關(guān)于車(chē)流速度與混合車(chē)隊(duì)中人工駕駛車(chē)輛數(shù)n的穩(wěn)定域情況，其中，白色區(qū)域表示不穩(wěn)定區(qū)域，黑色區(qū)域表示穩(wěn)定區(qū)域，由此可以看出，隨著m的增加，混合車(chē)隊(duì)的穩(wěn)定域在全速度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì)。具體而言，以m=4 的情形為例進(jìn)行說(shuō)明，即混合車(chē)隊(duì)中存在1 輛ACC 車(chē)輛和3 輛CACC 尾車(chē)，此時(shí)混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果如圖2(d)所示，可以看出，對(duì)于任意的車(chē)流速度而言，若要使得混合車(chē)隊(duì)在全速度范圍內(nèi)均能夠保持穩(wěn)定狀態(tài)，則混合車(chē)隊(duì)中連續(xù)人工駕駛車(chē)輛數(shù)n不能超過(guò)5輛。

圖2 混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性結(jié)果Fig.2 Results of string stability of mixed platoon

以混合車(chē)隊(duì)在全速度范圍內(nèi)均穩(wěn)定為條件，計(jì)算m取不同值時(shí)，n能夠達(dá)到的最大值情況，以此分析在全速度范圍內(nèi)穩(wěn)定的混合車(chē)隊(duì)中，CACC車(chē)輛應(yīng)當(dāng)占有的比例，計(jì)算結(jié)果如表1所示。表1中，當(dāng)m=1，即車(chē)隊(duì)中僅有1 輛ACC 車(chē)輛，且無(wú)CACC車(chē)輛，使得混合車(chē)隊(duì)中亦無(wú)人工駕駛車(chē)輛，此時(shí)不構(gòu)成混合車(chē)隊(duì)，故該特殊情況不予考慮。m取值從2增至10的過(guò)程中，若要混合車(chē)隊(duì)在全速度范圍內(nèi)穩(wěn)定，則n可取的最大值依次為2、4、5、6、7、8、9、11 與12，即在混合車(chē)隊(duì)中，要求CACC 比例應(yīng)當(dāng)不低于25.00%～41.17%。

表1 混合車(chē)隊(duì)全速度范圍穩(wěn)定時(shí)m 與n 的比例關(guān)系Table 1 Propotional relationship of m and n when mixed platoon is stable for all speeds

2.3 通用性證明

對(duì)于人工駕駛車(chē)輛及CACC車(chē)輛而言，現(xiàn)有跟馳模型并不局限于本文1.2 節(jié)所用模型，為了論證2.1 節(jié)理論推導(dǎo)的通用性與普適性，需驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)過(guò)程同樣適用于其他類(lèi)型跟馳模型。

縱觀現(xiàn)有人工駕駛車(chē)輛跟馳模型，無(wú)論跟馳模型結(jié)構(gòu)如何，均可用一般性函數(shù)式表達(dá)，即

式中：f為人工駕駛車(chē)輛跟馳模型的函數(shù)式。

同理，參照現(xiàn)有相關(guān)研究成果[8-10]，將CACC 跟馳模型表達(dá)為通用性模型結(jié)構(gòu)，即

式中：g為CACC車(chē)輛跟馳模型的函數(shù)式。

當(dāng)不存在V2V 通訊環(huán)境時(shí)，式(18)中r=0，則CACC 車(chē)輛通用性模型結(jié)構(gòu)退化為ACC 車(chē)輛的通用性跟馳模型結(jié)構(gòu)，即

針對(duì)人工駕駛車(chē)輛通用性跟馳模型結(jié)構(gòu)而言，對(duì)式(17)進(jìn)行泰勒公式展開(kāi)，得到

式中：fv、fΔv和fs分別為人工駕駛車(chē)輛通用性跟馳模型函數(shù)式f在平衡態(tài)對(duì)速度、速度差和車(chē)間距的偏微分，計(jì)算公式為

將式(7)中定義的交通流擾動(dòng)代入式(20)中，計(jì)算得到

應(yīng)用控制理論對(duì)式(22)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，計(jì)算關(guān)于人工駕駛車(chē)輛通用性跟馳模型函數(shù)式的傳遞函數(shù)為

同理，對(duì)于CACC 車(chē)輛的通用性跟馳模型而言，對(duì)式(18)進(jìn)行泰勒公式展開(kāi)，并將式(7)中定義的交通流擾動(dòng)代入，計(jì)算得到

式中：gv、gΔv和gs分別為CACC 模型函數(shù)式g在平衡態(tài)對(duì)速度、速度差和車(chē)間距的偏微分，即

針對(duì)式(24)，進(jìn)行拉普拉斯變換，計(jì)算關(guān)于CACC 車(chē)輛通用性跟馳模型函數(shù)式的傳遞函數(shù)為

式(26)中，當(dāng)r=0 時(shí)，退化為ACC車(chē)輛通用性跟馳模型的函數(shù)式的傳遞函數(shù)，即

令s=jw，將傳遞函數(shù)和由拉普拉斯域轉(zhuǎn)變至頻率域，分別得到

根據(jù)1.1 節(jié)定義的CACC 混合車(chē)隊(duì)，得到混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的判別準(zhǔn)則為

通過(guò)以上推導(dǎo)，即可得到通用性的混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)按照1.2 節(jié)選擇的跟馳模型時(shí)，人工駕駛車(chē)輛和CACC車(chē)輛通用性跟馳模型函數(shù)式的偏微分項(xiàng)分別為

綜上所述，本文針對(duì)混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則的推導(dǎo)不受人工駕駛車(chē)輛以及CACC 車(chē)輛跟馳模型選取的限制，具備通用性和普適性。此外，本文選用的人工駕駛車(chē)輛跟馳模型得到實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的標(biāo)定和驗(yàn)證[7]，而目前用于CACC 跟馳模型標(biāo)定的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)尚難以獲取，國(guó)際上普遍采用已有研究成果中公認(rèn)的模型作為CACC 車(chē)輛跟馳模型。當(dāng)使用不同的CACC跟馳模型時(shí)，鑒于CACC同質(zhì)車(chē)流穩(wěn)定性?xún)?yōu)于人工駕駛車(chē)流穩(wěn)定性，本文上述理論計(jì)算結(jié)果的定性化結(jié)論不受影響。而定量化的結(jié)果會(huì)隨著CACC跟馳模型的不同而發(fā)生改變，其原因在于，每種定量化結(jié)果本質(zhì)上揭示了各CACC模型所描述的CACC跟馳控制策略的穩(wěn)定性特征，因此，本文上述理論推導(dǎo)可在CACC大規(guī)模實(shí)車(chē)測(cè)試前，為相關(guān)CACC跟馳控制策略進(jìn)行前瞻性評(píng)估。

3 數(shù)值仿真

以上述混合車(chē)隊(duì)的隊(duì)列穩(wěn)定性為仿真對(duì)象，設(shè)計(jì)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，在給定平衡態(tài)速度下，仿真分析混合車(chē)隊(duì)在m和n固定取值時(shí)的穩(wěn)定性，以驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

仿真實(shí)驗(yàn)中，混合車(chē)隊(duì)按照?qǐng)D1 進(jìn)行設(shè)定，在仿真初始時(shí)刻，混合車(chē)隊(duì)以平衡態(tài)速度15 m·s-1行駛，假設(shè)車(chē)隊(duì)前方有一虛擬擾動(dòng)車(chē)，該擾動(dòng)車(chē)初始時(shí)刻也以15 m·s-1的平衡態(tài)速度行駛，此時(shí)整個(gè)混合車(chē)隊(duì)處于平衡態(tài)。在某一時(shí)刻，擾動(dòng)車(chē)以1 m·s-2的恒定減速度減速至13 m·s-1，并以13 m·s-1的速度行駛至仿真結(jié)束，在這一過(guò)程中，混合車(chē)隊(duì)頭車(chē)(即人工駕駛車(chē)輛)將會(huì)受到擾動(dòng)的影響，從而將該擾動(dòng)傳遞至車(chē)隊(duì)上游各車(chē)輛。因此，在仿真實(shí)驗(yàn)中，考察混合車(chē)隊(duì)尾車(chē)(即CACC車(chē)輛)對(duì)頭車(chē)(即人工駕駛車(chē)輛)的抑制效果，若尾車(chē)CACC 能夠有效抑制頭車(chē)在擾動(dòng)下的速度波動(dòng)，則從數(shù)值仿真的角度看，混合車(chē)隊(duì)處于穩(wěn)定狀態(tài)；否則，不穩(wěn)定。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)在Matlab 軟件中進(jìn)行，仿真步長(zhǎng)設(shè)置為0.1 s，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性數(shù)值仿真結(jié)果Fig.3 Stability results of numerical simulations of mixed platoon

由圖3可以看出，人工駕駛車(chē)輛會(huì)將擾動(dòng)逐步放大，當(dāng)擾動(dòng)傳遞至CACC 車(chē)輛時(shí)，CACC 車(chē)輛可有效逐步抑制擾動(dòng)的放大，促進(jìn)混合車(chē)隊(duì)的穩(wěn)定性。為了定量化分析尾車(chē)CACC 對(duì)頭車(chē)人工駕駛車(chē)輛的擾動(dòng)抑制作用，以速度的最大波動(dòng)幅度為考察對(duì)象，計(jì)算圖3 中3 種情形下的速度最大波動(dòng)幅度，速度最大波動(dòng)幅度定義為車(chē)輛速度與平衡態(tài)速度13 m·s-1之間的最大差值，計(jì)算結(jié)果如表2 所示。由表2 可知，3 種情形下車(chē)隊(duì)尾車(chē)的速度最大波動(dòng)幅度均小于車(chē)隊(duì)頭車(chē)的速度波動(dòng)最大幅度，表明車(chē)隊(duì)處于穩(wěn)定狀態(tài)，與理論分析結(jié)果一致。

表2 速度最大波動(dòng)幅度對(duì)比Table 2 Comparison of maximum fluctuation amplitude of speeds

4 結(jié)論

(1)基于人工駕駛車(chē)輛和CACC 車(chē)輛跟馳模型，理論推導(dǎo)混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，并論證了穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則的理論推導(dǎo)具備通用性和普適性特點(diǎn)，能夠適用于不同跟馳模型的選擇。

(2)基于所推導(dǎo)的混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則，混合車(chē)隊(duì)隊(duì)列穩(wěn)定性由混合車(chē)隊(duì)中CACC車(chē)輛數(shù)量、人工駕駛車(chē)輛數(shù)量以及車(chē)流速度共同決定，CACC車(chē)輛有利于提升混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性，可有效抑制人工駕駛車(chē)輛的不穩(wěn)定性。從定性化角度看，以混合車(chē)隊(duì)在全速度范圍內(nèi)穩(wěn)定為目標(biāo)，隨著混合車(chē)隊(duì)中CACC車(chē)輛數(shù)量的增加，混合車(chē)隊(duì)中可允許的人工駕駛車(chē)輛數(shù)量的上限值亦隨之增加。從定量化角度看，若要滿(mǎn)足混合車(chē)隊(duì)全速度范圍內(nèi)穩(wěn)定的要求，混合車(chē)隊(duì)中CACC 車(chē)輛比例至少應(yīng)達(dá)到25.00%～41.17%。

(3)若未來(lái)基于新的CACC控制策略而提出新的CACC跟馳模型，則本文所得定量化結(jié)論將發(fā)生變化，但是，鑒于CACC 車(chē)流穩(wěn)定性?xún)?yōu)于人工駕駛車(chē)流穩(wěn)定性的特點(diǎn)，本文所得定性化結(jié)論不受影響。同時(shí)，屆時(shí)仍可依據(jù)本文所推導(dǎo)的通用性混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，評(píng)估相關(guān)CACC跟馳策略在混合車(chē)隊(duì)穩(wěn)定性方面的性能，為CACC大規(guī)模實(shí)地測(cè)試的實(shí)施提供科學(xué)依據(jù)。