陳建

[原題再現(xiàn)]

例（2020·四川·樂山）點[P]是平行四邊形[ABCD]的對角線[AC]所在直線上的動點（點[P]不與點[A]，[C]重合），分別過點[A]，[C]向直線[BP]作垂線，垂足分別為點[E]，[F]，點[O]為[AC]的中點. （1）如圖1，當點[P]與點[O]重合時，線段[OE]和[OF]的關(guān)系是;（2）當點[P]運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立;（3）如圖3，點[P]在線段[OA]的延長線上運動，當[∠OEF=30°]時，試探究線段[CF]，[AE]，[OE]之間的關(guān)系.

[學情分析]

（1）考查三角形全等的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì). 如圖1，由AE⊥BD，CF⊥BD，易得AE[?]CF;由點O是AC的中點，易發(fā)現(xiàn)△AOE和△COF為“中點8字形全等”，易證△AOE ≌ △COF，即可得出結(jié)論.

解：∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°.

∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE ≌ △COF（AAS），∴OE=OF.

反思：由關(guān)鍵條件AE[?]CF和AC的中點O發(fā)現(xiàn)“中點8字形全等”.

（2）考查“中點8字形全等”問題. 與（1）不同，本題中是隱性“中點8字形全等”，需要延長EO交CF于點G，構(gòu)建全等三角形，易證△AOE ≌ △COG，得OE=OG，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得出結(jié)論.

解：OE=OF仍然成立. 延長EO交CF于點G，如圖4，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE[?]CF，∴∠EAO=∠GCO.

∵點O為AC的中點，∴AO=CO.

∵∠AOE=∠COG，∴△AOE ≌ △COG，∴OE=OG.

∵∠GFE=90°，∴OF=[12]EG=OE.

反思：出現(xiàn)線段AC的中點O，可選取倍長中線法或利用“中點8字形”構(gòu)造三角形全等.

（3）問可類比（1）（2）兩小題利用“中點8字形全等”構(gòu)造三角形全等解決問題. 先延長EO交FC的延長線于點H，易得△AOE ≌ △COH，得AE=CH，再運用割補法將AE + CF轉(zhuǎn)化為FH，然后證明OE = FH即可. 根據(jù)∠OEF=30°，∠HFE=90°，推出FH=[12]EH=OE，即可得證.

解：當點P在線段OA的延長線上時，線段CF，AE，OE之間的關(guān)系為OE=CF+AE.

延長EO交FC的延長線于點H，如圖5，

由（2）可知 △AOE ≌ △COH，∴AE=CH，OE=OH.

∵∠OEF=30°，∠HFE=90°，

∴HF=[12]EH=OE，

∴OE=CF+CH=CF+AE.

反思：割補轉(zhuǎn)化法常用于圖形的計算和圖形之間相等關(guān)系的證明，對線段截長補短，對圖形截大補小.

[勤于積累]

模型積累：“中點8字形全等”模型，如圖6所示.

[A][M][B][B][O][O][C][N][D][①][A][M][P][B][O][C][Q][N][D][②]

圖6

模型關(guān)鍵條件：如圖6①，AB[?]CD，點O是線段MN的中點.

模型重要結(jié)論：如圖6②，過點O任意畫一條線段，分別交AB，CD于點P，Q，可得△POM ≌ △QON.

“中點8字形全等”模型主要應(yīng)用于全等三角形，解題時要善于發(fā)現(xiàn)8字形，抓住關(guān)鍵條件平行、中點，得到三角形全等的重要結(jié)論. 如果圖形不完整，可以添加輔助線，構(gòu)造完整模型后再解題. “中點8字形全等”模型和九年級要學習的“8字形相似”模型較為相似，要注意辨析它們之間的關(guān)系. 相同之處：都是8字形，都有平行的條件. 區(qū)別之處：“中點8字形全等”模型含有中點的條件，結(jié)論是全等;“8字形相似”模型不含有中點的條件，結(jié)論是相似. 模型歸納不應(yīng)僅僅解決一類題型，還要聯(lián)系前后知識，形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

方法積累：1. “中點8字形全等”模型的建立是解決有關(guān)中點問題常用的手段.

2. 遇到中點時常?？梢员堕L中線構(gòu)造全等三角形來解決問題.

3. 在直角三角形中求解有關(guān)邊的一半的問題，常常要聯(lián)想相關(guān)定理：①直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半;②直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半.

4. 應(yīng)用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)和判定方法是解決邊、角相等問題的重要途徑.

（作者單位：江蘇省泰州市明珠實驗學校）