曹森林

[原題再現(xiàn)]

例（2020·山東·泰安）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°.

（1）如圖1，點B是DE的中點，判斷四邊形BEAC的形狀，并說明理由.

（2）如圖2，若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF = CD. 求證：①EB = DC;②∠EBG = ∠F.

[圖1][圖2]

[考點剖析]

1.知識點：等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的條件與性質(zhì)、平行四邊形的判定方法.

2.思想方法：轉化思想.

3.解題策略：尋找全等三角形、倍長中線等.

4.基本模型：手拉手模型、8字型全等模型、中點模型.

[學情分析]

（1）問考查平行四邊形的判定方法.平行四邊形的判定方法有五種：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.結合題意并抓住題目中的幾何要素，方能合理選擇判定方法.

解：（1）四邊形BEAC是平行四邊形.（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）

理由：∵△EAD為等腰三角形，且∠EAD = 90°，∴∠E = 45°.

∵B是DE的中點，∴AB⊥DE. ∴∠BAE = 45°.

∵△ABC為等腰三角形，且∠BAC = 90°，∴∠CBA = 45°，∴∠BAE = ∠CBA.∴BC[?]EA.

∵AB⊥DE，∴∠EBA = 90°， ∴∠BAC = ∠EBA = 90°.

∴BE[?]AC. ∴四邊形BEAC是平行四邊形.

（2）問中第一小問要證明線段EB = DC的方法較多，根據(jù)題目中兩個等腰直角三角形提供的信息，結合邊角關系尋找全等來解決問題比較合理;第二小問要證∠EBG = ∠F，合理處理中點信息很關鍵，可借助倍長中線的策略轉移等價線段.

解：①∵△AED和△ABC為等腰三角形，∴AE = AD，AB = AC.

∵∠EAD = ∠BAC = 90°，

∴∠EAD+∠DAB = ∠BAC+∠DAB，即∠EAB = ∠DAC，

∴△AEB ≌ △ADC，∴EB = DC.

②延長FG至點H，使GH = FG，如圖3，

∵G是EC的中點，∴EG = CG.

∵∠EGH = ∠FGC，∴△EHG ≌ △CFG，∴∠H = ∠F，EH = CF.

∵CD = CF，∴BE = CF，∴BE = EH，∴∠EBG = ∠H，∴∠EBG = ∠F.

[變式應用]

變式1：如圖4，若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉一個角度α（0° < α < 180°），延長DC交BE于P，求證：DP⊥BE.

解析：先證△AEB ≌ △ADC，可得∠EAB = ∠DAC.結合三角形內(nèi)角和定理判斷∠EPD = ∠DAE = 90°.

變式2：如圖5，若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°，AM⊥EC，反向延長AM交BD于點N，求證：BN = DN，EC = 2AN.

解析：如圖6，延長AN，過B，D分別作AP的垂線，垂足分別為Q，P.

可證△AME ≌ △DPA，△AMC ≌ △BQA（AAS），則ME = PA，MC = QA，AM = DP，AM = BQ.

則DP = BQ，可證△BQN ≌ △DPN（AAS）， 所以BN = DN.

于是EC = EM + MC = AP + AQ = AQ + 2QN + AQ = 2（AQ + QN） = 2AN.

[A][B][P][E][C][D][圖4][D][N][B][C][M][E][A][圖5][A][C][M][E][B][Q][P][N][圖6][D]

變式3：（2020·貴州·黔東南·改編）△ABC和△DCE都是等邊三角形，

（1）如圖7，若B，C，E三點不在一條直線上，∠ADC = 30°，AD = 3，CD = 2，求BD的長.

（2）如圖8，若B，C，E三點在一條直線上，且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求AD.

解析：（1）依據(jù)“SAS”可證△ACE ≌ △BCD，

由BD = AE，利用勾股定理，在Rt△ADE中，AD = 3，DE = 2，

∴AE [=AD2+DE2=9+4=13]，∴BD[ =AE=13].

（2）過A作AF⊥CD于F，如圖9，

∵B，C，E三點在一條直線上，∴∠BCA + ∠ACD + ∠DCE = 180°.

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA = ∠DCE = 60°，∴∠ACD = 60°.

∴在Rt△ACF中，CF = [12]，AF = [32]，∴FD = CD - CF = [32]，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得[AD2=3]，所以AD = [3].

[圖7] [A][D][P][C][B][E][圖9] [E][F][C][B][A][D] [D][A][B][C][E][圖8]

[勤于積累]

模型積累：手拉手，找全等

模型展示：如圖10，△ABC，△ADE均為等腰三角形，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE.

模型結論：連接BD，CE，則△BAD ≌ △CAE.

[圖10][B][C][D][A][E][②][B][E][C][A][D][①][B][E][A][C][D][③]

模型解讀：（1）這個圖形是由兩個共頂點等腰三角形構成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形;

（2）把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，這個模型類似于大手拉小手，常與旋轉結合出現(xiàn)在中考試題中.

方法歸納：（1）中點問題四大處理策略：

①倍長中線，構造全等三角形，目的是對已知條件中的線段（角）關系進行轉移;

②等腰三角形底邊中點出現(xiàn)時，常利用三線合一的性質(zhì)得到更多邊角關系;

③已知一邊中點時，構造三角形的中位線，可以解決角相等、線段倍數(shù)關系、平行等;

④直角三角形中，遇到斜邊的中點，利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，來證明數(shù)量關系，而且得到兩個等腰三角形全等.

（2）幾何綜合題涉及知識較多，常用解題策略如下：

①簡化圖形，積累模型經(jīng)驗，快速尋找等量關系;

②根據(jù)重要信息，合理使用常規(guī)輔助線，挖掘更多指向目標的價值信息;

③構造全等三角形，通過全等轉移等量關系，尋找突破口;

④多剖析特殊圖形中的線段（角）的大小，比如勾股定理的使用、線段倍數(shù)的證明等.

（作者單位：江蘇省泰州市明珠實驗學校）