支霞

（山西警察學院 網絡安全保衛(wèi)系，山西 太原 030401）

0 引言

無窮維執(zhí)行動態(tài)補償近年來越來越受到人們的關注。偏微分方程的Backstepping 變換是處理無窮維動態(tài)補償?shù)挠辛ぞ咧弧r滯本質上是一個由一階傳播方程決定的無窮維動態(tài)。在文獻［1］中，作者將時滯問題轉化為一階雙曲系統(tǒng)的邊界鎮(zhèn)定問題，并且利用偏微分方程的Backstepping 變換解決了任意大輸入時滯的補償問題。該方法還可以被用來處理熱方程動態(tài)補償［2］，波方程動態(tài)補償［3］，以及薛定諤方程動態(tài)補償［4］等。

本文考慮波方程的執(zhí)行動態(tài)補償問題。問題由如下串聯(lián)系統(tǒng)描述：

其中A∈Rn×n常微分方程的系統(tǒng)矩陣，X是系統(tǒng)狀態(tài)，(w，wt)是執(zhí)行動態(tài)的狀態(tài)，u是控制輸入，B∈Rn×1是常微分方程和波動方程之間的連接矩陣。我們的控制目標是：設計控制器u通過波動方程系統(tǒng)來鎮(zhèn)定X系統(tǒng)。由于控制作用只能通過波方程間接地施加到控制系統(tǒng)上，因此如何補償波動方程所描述的執(zhí)行動態(tài)就成為控制問題的難點。

系統(tǒng)（1）的鎮(zhèn)定問題曾在文獻［5］中有深入的研究。用到的方法是偏微分方程的Backstepping 變換法。 與Backstepping 變換法不同，本文提出一種針對常微分方程的變換法。該方法受文獻［6］的啟發(fā)，其優(yōu)點在于變換的核函數(shù)是一個常微分方程，因此核函數(shù)的解析表達式可以求出。這樣可以大大地減少計算量，從而可以更直觀地設計控制器。

如果A的特征值全在左半復平面，則A決定的系統(tǒng)已經穩(wěn)定，從而無須再施加控制。因此我們總假設矩陣A滿足：

其中σ(A)表示矩陣A的特征值的全體。

1 主要結果

與文獻［5］中的Backstepping 變換不同，我們引入變換

其中

如果我們選G1，G2，G3使得

其中k1和k2是調節(jié)參數(shù)，則（5）變?yōu)?/p>

由于系統(tǒng)（6）僅僅是一個向量值常微分方程，因此G1，G2，G3可以表示為

其中

注意到（7），狀態(tài)反饋控制器可以自然設計為

其中K1是行向量使得A+G2(1)K1T是Hurwitz 矩陣。利用控制器（10），我們得到系統(tǒng)（7）的閉環(huán)系統(tǒng)

容易看出，系統(tǒng)（11）是由兩個指數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)構成的串聯(lián)系統(tǒng)。利用變換（4），控制器（10）變?yōu)椋?/p>

從而得到了控制系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)：

我們在狀態(tài)空間χ=Rn×H 中考慮系統(tǒng)（13），其中H =H1(0，1)×L2(0，1)。

2 主要結果的證明

證明定理1 之前，首先考慮系統(tǒng)（11）。 定義算子 如下：

則算子A 在H1(0，1)×L2(0，1)上生成指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eAt［7］，并且系統(tǒng)（11）可以寫成如下抽象形式

其中

這里δ(?)是Dirac 分布。

引理1 設矩陣A+G2(1)是Hurwitz 陣，算子A 由（14）定義，則（16）定義的算子A在χ上生成指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eAt。

證明 因為算子B 關于半群eAt是允許的，所以由［8］可得：算子A在χ上生成C0-半群eAt。因此，只需證明半群是指數(shù)穩(wěn)定的即可?？紤]下面系統(tǒng)的古典解

其中L1和w1是與t無關的正常數(shù)。于是對任意的0 ＜w＜w1，有

另一方面，B 對eAt允許性意味著，對任意初值Z(0)∈H，（17）中Z-系統(tǒng)存在唯一解Z∈C([0，∞) ；H )滿足：

由于eAt是指數(shù)穩(wěn)定的，所以存在正常數(shù)wA和LA使得

進一步由文獻［9］的注記2.6 可知，存在M＞0 使得

令0 ＜θ＜1，由（19），（21）和（22）可得

綜合（18），（20），（21）和（23）可得(X?，Z)在Rn×H 指數(shù)衰減到零，從而半群eAt是指數(shù)穩(wěn)定的。其中L0和w0是與t無關的正常數(shù)。定理得證。