萬明燕， 陳劍塵， 熊昀暄

（南昌航空大學 數(shù)學與信息科學學院，南昌 330063）

引 言

廣義的強向量擬均衡問題是現(xiàn)今非線性規(guī)劃領(lǐng)域中十分熱門的問題。均衡問題與博弈論、力學與物理、經(jīng)濟學、運籌學、變分不等式、優(yōu)化與控制問題等學科密切相關(guān)。常見的向量變分不等式問題、多目標均衡問題以及向量均衡問題等均為廣義強向量擬均衡問題系統(tǒng)的一些特例。目前，對于均衡問題系統(tǒng)解的研究也得到了許多學者的廣泛關(guān)注。

文獻[1]通過利用Brouwer 不動點定理，分別在有限維和無限維框架下建立起不具單調(diào)性的均衡系統(tǒng)問題解的存在性。文獻[2]在較弱的錐連續(xù)條件下，利用推廣的極大元定理，建立偽單調(diào)映射廣義向量擬均衡問題系統(tǒng)的有效解與強解之間的聯(lián)系，并證明兩類解的存在性定理。文獻[3]在廣義凸空間上利用不動點定理證明了滿足集值映射類上半連續(xù)性條件解的存在性定理，并推導出解的存在性的一些新結(jié)論。文獻[4]利用廣義Fan-Browder 不動點定理，得到了拓撲向量空間中隱式形式多值向量均衡問題解的存在性定理。文獻[5]利用KFG 不動點定理得到了集值廣義強向量擬均衡問題解的存在性定理。文獻[6]利用極大元定理得到了單值廣義向量擬均衡問題解的存在性定理。文獻[1-6]有的研究單值有的研究問題解，本文受到文獻[5-6]的啟發(fā)，將單值推廣到集值，將問題解推廣到系統(tǒng)解。

1 預備知識

2）稱F在點x∈X處是下半連續(xù)的，若對Y中的任意開集V，有F(x)∩V≠?，則存在x的開鄰域N(x)?X，使得?x′∈N(x) ， 都有F(x′)∩V≠?；

3）稱F在點x∈X處是連續(xù)的，若F既是下半連續(xù)的又是上半連續(xù)的；

4）F是上半連續(xù)，且是閉值的，則稱F是閉映射；

5）若Gr(F)={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}是閉集，則稱F是閉映射。

注1.2[9]設(shè)X,Y為拓撲線性空間，F(xiàn):X→2Y是集值映射，F(xiàn)(x)是緊集。

2）F在點x0∈X處下半連續(xù)當且僅當對任何的y0∈F(x0)以 及X中 任 何 網(wǎng) {xα}， 若 滿 足xα→x0，則Y中的網(wǎng){yα}且yα∈F(xα)， 使得yα→y0。

定義1.3[10]設(shè)D為Y的凸子集，g:D→2Z為給定集值映射。稱g在D上為C?擬 凸，若任何的z∈Z，集合 {u∈D|z?g(u)?C}為凸集。

引理1.4[8]設(shè)X,Y為拓撲線性空間，F(xiàn):X→2Y是集值映射。F是上半連續(xù)且具有緊值的當且僅當F是閉映射。

引理1.5[11]（KFG不動點定理） 設(shè)X,Y是實局部凸H ausdorff 拓撲線性空間，A?X是非空緊凸子集。若G:X→2Y是上半連續(xù)的，且 ?x∈A,G(x)是非空閉凸子集，則G在A中有一個不動點。

2 集值廣義強向量擬均衡問題系統(tǒng)解的存在性

定理2.1 ?i∈I，Xi，Yi，Zi為 實局部凸Hausdorff拓撲線性空間，Di?Xi,Ki?Yi為非空的緊凸子集，Ci:D→2Zi為閉映射，并假設(shè)

（i） ?i∈I，Ti(·)在D上是上半連續(xù)且具有非空緊凸值；

（ii） ?i∈I，Si(·)在D上是上半連續(xù)且具有非空閉凸值；

（iii） ?i∈I，F(xiàn)i(·,·,·)在Di×Ki×Di上是下半連續(xù)的；

（iv）對任何的 (x,yi)∈D×Ki，F(xiàn)i(xi,yi,xi)?Ci(x)，對?ui∈Si(x)，F(xiàn)i(·,yi,ui)在Di上 為C?擬凸的。

則存在x∈D， 對 ?i∈I，xi∈Si(x)，存在yi∈Ti(x)，使得

Fi(xi,yi,ui)?Ci(x),?ui∈Si(x)

即集值廣義強向量擬均衡系統(tǒng)問題有解。

證明： 利用KFG不動點定理證明該定理，證明分為以下五步：

（I） ?(x,yi)∈D×Ki,定義集值映射Ai:D×Ki→2Di如下：

Ai(x,yi)={vi∈Si(x):Fi(vi,yi,ui)?Ci(x),?ui∈Si(x)}

由條件（iv）有Ai(x,yi)非空。

（II）接下來證明Ai(x,yi)是閉集。

接下來證明vi∈Ai(x,yi)。

注2.1 定理2.1 為文獻[5]中定理3.1 的推廣。

3 結(jié) 論

本文在 H ausdorff局部凸拓撲線性空間中，利用KFG不動點定理，在一定的凸性和半連續(xù)性的條件下，得出集值廣義強向量擬均衡問題系統(tǒng)解的存在性。