鄧沙麗， 鄧 綠， 楊海波

（1. 南昌航空大學 數(shù)學與信息科學學院，南昌 330063； 2. 贛東學院，江西 撫州 344000）

引 言

同調(diào)論在代數(shù)拓撲的研究中具有重要的作用，其中對于Cech 上同調(diào)以及Bredon 上同調(diào)的研究都是基于復代數(shù)簇上，而由于實數(shù)域的不封閉性，在現(xiàn)有的基于實系數(shù)多項式解的解析方法來研究實代數(shù)簇是很困難的，因此，有必要將其擴展到有Galois 群作用，尤其是Gal(C/R)作用的復代數(shù)簇上的上同調(diào)理論。這個對于實代數(shù)上簇的研究是非常有用的。在文獻[1]中，Bredon 定義了在有限群G作 用下的等變上同調(diào)理論；在文獻[2]中，May、Lewis 和MacClure 證明了由普通的整數(shù)分次的Bredon 上同調(diào)理論可以擴展到普通的RO(G)?分次的Bredon 上同調(diào)理論。本文將介紹最簡單情形Gal(C/R)作用下軌道點的上同調(diào)環(huán)。

1 奇異同調(diào)和奇異上同調(diào)

1.1 整數(shù)分次的奇異同調(diào)和奇異上同調(diào)

為了將主要的結構放置在恰當?shù)奈恢蒙?，先回顧下奇異同調(diào)和上同調(diào)的傳統(tǒng)方法，當系數(shù)為整數(shù)時，奇異同調(diào)函子被定義為是下列函子的合成。

給定一個阿貝爾范疇A， 將A中復形的范疇記為Kom(A)， 復形上的邊界記為Kom?(A)，從而可以得到奇異上同調(diào)群的定義[3]。

1.2 奇異同調(diào)的Dold-Thom 方法

奇異同調(diào)的Dold-Thom 方法可以看作是從一個空間X出發(fā)，生成一個簡單集Sing?(X)，然后將其定義為ZSing?(X)，最后應用到鏈復形函子并取其同調(diào). 關于該定理的證明，最著名的版本涉及到點空間 (X,x0) 的 無限對稱乘積S P∞(X)， 從而得到X的約化同調(diào)，因為ZX是一個阿貝爾拓撲群，那么Sing?(ZX)是點態(tài)加法下的簡單阿貝爾群，根據(jù)文獻[4]， π?(ZX,0)可以從下面函子的復合得到。

其中，AbTop是對象為阿貝爾拓撲群，態(tài)射為連續(xù)同倫的范疇。

1.3 同倫理論的奇異上同調(diào)

CW?復形同倫類型空間稱為Eileberg-MacLane空間[5]，如果滿足：

1.4 等變情形下的奇異（上）同調(diào)

在有限群G作用下的拓撲空間的范疇，每個軌道G/H所起的作用與通常拓撲中的某個點是一樣的，但對于同調(diào)和上同調(diào)理論來說，增加了一定的復雜性，因為它們的系數(shù)不再是群了，而是從G?軌道和等變映射到阿貝爾群所構成的函子，我們把它叫做系數(shù)系統(tǒng)[7]。因此，要尋找整系數(shù)奇異同調(diào)群的等價對應物就會有多種途徑. 其中一種合理的方式是根據(jù)1.2 中提到的Dold-Thom 方法. 而另一種方式是1.1 中提到的通過找到函子X■→[X,ZoSn]G來獲得。

2 主要定義

首先，我們回顧一些本文中需要用到的相關定義. 下面的定義在文獻[1]和文獻[2]中都可以找到。

定義1 系數(shù)系統(tǒng)是指反變函子M:OG→Ab。

定義2 普通約化Z?分次Bredon 上同調(diào)理論是在范疇GCW?，且系數(shù)系統(tǒng)為M的反變函子的序列：

滿足下面的Eilenberg-Steenrod 公理：

1）如果范疇GCW?中的兩個映射是G?同倫的，那么誘導出上同調(diào)間相同的映射；

2）對于任意的X∈GCW?和n∈Z，有自然同構：

是正合的；

3 單軌道點的上同調(diào)環(huán)

4 總 結