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高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)探索
——以新疆大學(xué)為例

2021-09-01 07:24:02楊曉梅聶麟飛
大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年4期
關(guān)鍵詞:代數(shù)同學(xué)數(shù)學(xué)

胡 琳, 楊曉梅, 聶麟飛

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊830046)

1 引 言

從上個世紀(jì)50年代開始,數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何就是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的三門基礎(chǔ)課程.通常它們是三門相互獨立的課程,開設(shè)時間均在大一至大二期間.數(shù)學(xué)各專業(yè)均以這三門課為基礎(chǔ)安排后續(xù)專業(yè)課程內(nèi)容和教學(xué)體系,因此它們在教學(xué)中占有極其重要地位,并有很大的課時比例.但隨著新課程的開設(shè)及其學(xué)時的增加,分別開設(shè)高等代數(shù)與解析幾何兩門課占用課時較多的弊端已初現(xiàn).同時,眾所周知,高等代數(shù)是將幾何抽象化,解析幾何是以代數(shù)的方法研究幾何,幾何與代數(shù)互為問題,互為方法,互相交融,因此將高等代數(shù)與解析幾何合并為一門課程是非常必要的.這也得到了陳省身、楊中道等數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo),并在南開大學(xué)、西安交通大學(xué)等高校開始實施.將其合并后,從某種意義上講,這兩門課程均得到了加強.因為不僅節(jié)省了學(xué)時,而且還能將代數(shù)中某些高度抽象的概念借助于幾何工具具體化,使得學(xué)生更易于理解.這一點對于新疆大學(xué)這樣的西部地區(qū)綜合性大學(xué)更為重要.由于我校混合編班教學(xué),部分基礎(chǔ)較差學(xué)生對一些概括抽象名詞的理解還存在一定偏差,因而我校自2012年開始在數(shù)學(xué)學(xué)院所有專業(yè)中,對高等代數(shù)和解析幾何實施課程合并,以華東師范大學(xué)陳志杰教授主編的《高等代數(shù)與解析幾何》為教材.本文就高等代數(shù)與解析幾何合并后,為了培養(yǎng)出更高質(zhì)量的人才,逐步縮小中西部學(xué)生教育差距,努力為提高西部地區(qū)的教育水平發(fā)展做出貢獻,在教學(xué)內(nèi)容的互補性、教學(xué)手段的合理性、教學(xué)模式的多樣性和課程中的思政四個方面進行了初步探索.

2 高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)的探索

本節(jié)將從教學(xué)和思政兩個方面,進行初步探索.

2.1 重視“數(shù)、形”結(jié)合,相輔相成,相互滲透

從幾何和代數(shù)的發(fā)展歷史看,它們一直秉承著“代數(shù)為幾何提供研究方法,幾何為代數(shù)提供直觀背景”[1]的關(guān)系.尤其是在高等代數(shù)與解析幾何一體化教學(xué)后,幾何的研究為代數(shù)提出問題,而代數(shù)的討論結(jié)果又可以適時地運用到幾何中去.對此,剛剛進入大學(xué)的一年級新生,并不能很好地理解.由于他們對微積分的認知程度較低,尤其是一些來自邊遠學(xué)校的同學(xué),他們在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本就有些欠缺,對于高等代數(shù)的抽象性更是心理準(zhǔn)備不足,從而在學(xué)習(xí)該課程時缺乏信心.因此,在整個教學(xué)過程中,應(yīng)充分注重“數(shù)”“形”之間的相互交融,從學(xué)生的認知角度考慮,用“數(shù)”助“形”,以“形”輔“數(shù)”,可以幫助他們很好地化解學(xué)習(xí)高等代數(shù)抽象概念時的困難,進一步達到形象思維與邏輯思想同步發(fā)展的目的,更好地起到“數(shù)學(xué)是思維的體操”的作用.例如,兩個向量線性相關(guān),從代數(shù)的角度看,即存在不全為零的數(shù),使它們與兩個向量的線性組合值為零.學(xué)生對此理解并不透徹,但當(dāng)教師給出空間中的向量圖形后,學(xué)生們頓時明白空間中兩個向量線性相關(guān)也就是“共線”,從而將一個模糊的代數(shù)概念轉(zhuǎn)化為具體的幾何圖形.在課堂上,通過“形”的展示,使學(xué)生在互動中解決了“數(shù)”的問題,從而即可使學(xué)生對抽象的代數(shù)有了更直觀的感覺.又如,利用線性方程組的解的情況分析判斷空間平面、直線的位置關(guān)系時,學(xué)生們在“數(shù)”“形”的互相交流中逐漸自己去發(fā)現(xiàn)諸如“兩直線異面”“兩直線平行”“三個平面平行”“三個平面兩兩相交成一個三棱柱狀”“三個平面交于一點”等直觀問題的理論描述.這樣就將一個看似較為棘手的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題,培養(yǎng)了學(xué)生用代數(shù)方法解決具體的幾何問題的能力.

2.2 降低認知難度,實施小組“分層”教學(xué)

本課程作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一,教學(xué)分為主講課、習(xí)題課和課后自學(xué)三部分.教師既要教給學(xué)生知識,還要培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而使他們成為符合新世紀(jì)建設(shè)需要的高素質(zhì)復(fù)合型人才.本課程的教學(xué)對象主要是大學(xué)一年學(xué)生,一部分同學(xué)在從中學(xué)學(xué)習(xí)到大學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變過程中,不適應(yīng)每節(jié)課知識容量增加、概念抽象等情況,導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高,遇到問題時更欠缺分析問題和解決問題的決心.究其原因,首先,他們不能完全擺脫中學(xué)的學(xué)習(xí)模式,更傾向于以被動的方式來接納新知識.其次,新疆地處祖國西部邊陲,是多民族聚居區(qū),隨著西部建設(shè)步伐的加快,迫切需要培養(yǎng)各民族大學(xué)生,但是部分邊遠地區(qū)學(xué)生相對同期入校的其他學(xué)生,中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱,理解能力較弱,這些都或多或少影響著這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效果.主講教師根據(jù)學(xué)生的特點和實際水平,講授教材中較難理解的內(nèi)容時,在堅持科學(xué)性的前提下,把通俗性與科學(xué)性有機地結(jié)合,降低理論的認知難度.例如,關(guān)于行列式按行(列)展開的教學(xué),教材上通過證明給出兩個極為相像的等式,如何區(qū)別記憶?某一行(列)元素均乘自己的代數(shù)余子式的和是行列式的值,就好似每個人回自己家,在父母允許的情況下可以帶走家里的“所有”物品,即行列式的值;而去他人家里就什么也不可以取,即某一行(列)每個元素乘其他行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的和為“0”.通過這樣的類比,學(xué)生們立刻順利地記牢了此知識點.

整個教學(xué)過程中,在教師主導(dǎo)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,實施小組合作的分層教學(xué)方式也是必不可缺的.學(xué)生有不同的層次結(jié)構(gòu),興趣不同、目標(biāo)不同、投入精力不同,因此在習(xí)題及課后自學(xué)階段,可以采取孔子提出的“深其深,淺其淺,益其益,尊其尊”的“分層教學(xué)”方法,因材施教,因人而異.在實際教學(xué)中,將一個自然班分為三層.一層同學(xué)有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),對數(shù)學(xué)感興趣,有志于繼續(xù)深造;二層同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般;三層同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱.再根據(jù)個人喜好,不同層次的學(xué)生三人一組,實行小組協(xié)作式學(xué)習(xí).課堂上,教學(xué)過程中有“合”有“分”,即有面向全體的統(tǒng)一講授,也有分層次的自學(xué)、答疑環(huán)節(jié).改變傳統(tǒng)的教師包講,學(xué)生包聽,少數(shù)學(xué)生跟隨,多數(shù)學(xué)生“旁觀”的狀況,調(diào)動每個同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性,使他們都能真正成為學(xué)習(xí)的主人.

華羅庚先生在維諾格拉夫的《數(shù)論基礎(chǔ)》的中文譯本序言中曾說:“讀該書而不做該書的習(xí)題無異于‘入寶山而空返’.”由此可見習(xí)題對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性.習(xí)題選擇上,不同層次的學(xué)生有不同的選擇:對一層的同學(xué),在基礎(chǔ)題之外,還需留有一些拓展和加深某些知識的思考題;對二層和三層的同學(xué),則選擇側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能的題.除此之外,還可以在三人小組中安排所有習(xí)題的討論.由于經(jīng)驗背景的差異,學(xué)生對問題的理解不同.充分利用學(xué)生之間這種差異的資源,開展互補互助性學(xué)習(xí)模式,使他們在自主探究、合作交流中,利用他人想法激發(fā)自己的靈感,創(chuàng)造出更好的方法.與此同時,通過交流也有效地將學(xué)生“被動”學(xué)習(xí)變?yōu)椤爸鲃印睂W(xué)習(xí),更好地促進不同層次學(xué)生之間的溝通、互動,最終達到“一層、二層”提高和“三層”達標(biāo)的目的.此外,三人小組還要進行知識歸類、整合.在每一章結(jié)束后,各小組派代表匯報本章的總結(jié),小組成員接受教師和其他同學(xué)的提問,進行知識的查漏補缺,自我矯正.

2.3 引入混合教學(xué),提高學(xué)習(xí)效率

混合教學(xué)模式被譽為顛覆性的教育創(chuàng)新模式[2].它結(jié)合了線上學(xué)習(xí)和傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的雙重優(yōu)勢,在拓展學(xué)習(xí)空間、豐富學(xué)習(xí)資源、合作學(xué)習(xí)和及時促進師生交流反饋等方面卓有成效.筆者結(jié)合所在院系學(xué)生特點,選用了清華大學(xué)與學(xué)堂在線共同研發(fā)的,集教學(xué)、學(xué)習(xí)、管理功能于一身的“雨課堂”網(wǎng)絡(luò)平臺.在該平臺上,教師根據(jù)授課進度,以分層教學(xué)中的小組為單位,發(fā)布小組作業(yè)或個人章節(jié)測試,學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)上傳.教師及時給出改進意見和相應(yīng)分數(shù),并對優(yōu)秀的小組作業(yè)在課堂上組織匯報.這種示范效應(yīng)在學(xué)生中形成了良性循環(huán),使更多人參與到了教學(xué)活動中.在討論區(qū)還可以設(shè)定相關(guān)主題,教師與學(xué)生均可參與其中,實時解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題,做到“今日事今日畢”.在教學(xué)實踐中將傳統(tǒng)教學(xué)方式的優(yōu)點和學(xué)習(xí)平臺的師生互動交流充分結(jié)合,既發(fā)揮了教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控的主導(dǎo)作用,又能讓學(xué)生積極、自主地參與到學(xué)習(xí)過程中,發(fā)揮學(xué)生地創(chuàng)造性.通過一年多的實驗,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性明顯提高,已基本養(yǎng)成了自覺通過在線資源獲取學(xué)習(xí)資料的習(xí)慣,提問和交流討論次數(shù)明顯增加,最終成績顯著提升.

2.4 融入課程思政,傳遞家國情懷

在高等代數(shù)與解析幾何課程的講授中,主講教師將學(xué)生的價值塑造融入到知識傳授中來,結(jié)合具體人物作為學(xué)習(xí)榜樣,引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美;繼承老一代數(shù)學(xué)家的家國情懷,樹立為民族復(fù)興,祖國強盛而努力讀書的職責(zé)和使命.通過向同學(xué)們介紹新疆大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科奠基人——陳德璜先生的經(jīng)歷:在建國初期懷揣“到新疆去,為祖國培養(yǎng)少數(shù)民族人才”的理想與信念,放棄清華大學(xué)的講師職位,響應(yīng)國家號召,來到新疆民族學(xué)院(新疆大學(xué)前身)工作.從親自編寫民族學(xué)生的漢語課本,到添置教學(xué)用具;從選拔漢語水平相對較好的民族學(xué)生作為實習(xí)助教,到自學(xué)維語,陳老一步一個腳印、手把手地培養(yǎng)了一批批各族的數(shù)學(xué)工作者.使各族同學(xué)們深刻感受到陳德璜先生所具有的胡楊精神,同時自己作為新一代新大人要傳承這一優(yōu)秀作風(fēng),與各族同學(xué)像石榴籽一樣緊緊抱在一起,接力拼搏,以豐富的知識為興疆固邊服務(wù),為新疆社會穩(wěn)定與長治久安勇于開拓、無私奉獻.

3 教學(xué)效果

通過上述措施的具體實施,在我校合班模式下已取得了良好的教學(xué)效果.首先,學(xué)生成績從之前及格人數(shù)占70.24%,平均分65分,上升到目前的及格人數(shù)占86.16%,平均分上升到70分.特別是西部地區(qū)同學(xué)的及格率從62.52%上升到82.43%.

圖1

其次,從學(xué)生反饋的調(diào)查問卷上看,62.5%的同學(xué)更為喜愛這樣的教學(xué)模式.從“雨課堂”后臺的記錄看,近24%的同學(xué)課后會去觀看課程回放,近80%的同學(xué)能通過彈幕等方式積極參與到線上討論之中,尤其是對部分基礎(chǔ)比較薄弱的西部地區(qū)同學(xué),通過線上隨時隨地與教師討論及分組研究的教學(xué)模式,他們的學(xué)習(xí)主動性與成績都有很大提高.

圖2 圖3

圖4 圖5

最后,通過課程中不斷融入的思政元素,學(xué)生們對數(shù)學(xué)的熱情不斷提升,對自己肩負的責(zé)任也更加明確.從考研數(shù)據(jù)表明:2016級同學(xué)中有54.6%的人參加了全國研究生入學(xué)考試或是被保送至各高??蒲性核^續(xù)深造,其中西部同學(xué)占22.8%.2020級同學(xué)的調(diào)查問卷顯示,66.3%的同學(xué)想要畢業(yè)后繼續(xù)深造,其中西部同學(xué)占41.3%.經(jīng)過了解,絕大部分同學(xué)考研的目的不僅僅是自我的提升,更是想要為家鄉(xiāng)的建設(shè)做出點貢獻.

圖6 圖7

4 結(jié) 論

“高等代數(shù)與解析幾何”作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程,其教學(xué)效果直接影響學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí).從對本課程的教學(xué)情況看,與以往只是在教室中教師一人進行“數(shù)與形”分離的“獨角戲”模式相比,融入思政元素及混合模式的分層教學(xué)模式,使學(xué)生們完成了從“讓我學(xué)”“聽老師安排”到“我要學(xué)”“自己找題目做”的華麗轉(zhuǎn)身,引導(dǎo)他們尤其是西部地區(qū)的同學(xué)們培養(yǎng)了好的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣,從而增強了自信心,提升了學(xué)習(xí)能力,為繼續(xù)深造打下了堅實的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),進而為家鄉(xiāng)的穩(wěn)定與發(fā)展做好充分準(zhǔn)備.

不可否認,這幾種探索還有不足之處,如在課堂上由于合班教學(xué)的模式,不能關(guān)注到每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),線上討論時部分學(xué)生仍舊不愿參與其中,這就不能很好地了解到每一位同學(xué)對所學(xué)知識的掌握程度.因此,我們將繼續(xù)進行更深入地探究, 將更多地挖掘出“高等代數(shù)與解析幾何”一體化教學(xué)的優(yōu)勢所在.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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