張雅恬, 劉世鳳, 張亞南
(天津理工大學(xué) 理學(xué)院,天津300384)
20世紀(jì)90年代,組合學(xué)家Wilf和Zeilberger給出了WZ理論[1],該理論是證明組合恒等式的一種機械化方法.其中的Zeilberger算法是尋找和式的線性遞推關(guān)系的一種方法,利用和式的遞推關(guān)系可以對和式進(jìn)行化簡和證明.
首先,需要找到一個關(guān)于n,k的有理函數(shù)R(n,k)和關(guān)于n的多項式系數(shù)c0(n),c1(n),…,cp(n)滿足
c0(n)F(n,k)+c1(n)F(n+1,k)+…+cp(n)F(n+p,k)=g(n,k+1)-g(n,k),
(1)
其中p為自然數(shù),g(n,k)=R(n,k)F(n,k).
可利用maple軟件包hsum15.mpl(可以從http:∥www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/hsum15.mpl下載)求得R(n,k),c0(n),c1(n),…,cp(n).
然后,上式兩邊關(guān)于k從0到n+p求和,即
整理得
c0(n)[f(n)+F(n,n+1)+…+F(n,n+p)]+…+cp(n)f(n+p)=g(n,n+p+1)-g(n,0).
于是得到一個僅跟n有關(guān)的遞推關(guān)系
c0(n)f(n)+c1(n)f(n+1)+…+cp(n)f(n+p)=-g(n,0),
當(dāng)p=1,g(n,0)=0時,可遞歸算得f(n).
在概率論中高階矩[4]是一個常見且非常重要的概念,它主要被用來衡量誤差的大小.其中一階矩被稱為數(shù)學(xué)期望,二階中心矩被稱為方差.
設(shè)X服從二項分布B(n,p), 分布律為
定理1設(shè)X服從二項分布B(n,p), 則E(X)=np.
證令
利用hsum15.mpl軟件包中的sumrecursion命令求解,得到
-nF(n+1,k)+(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),
其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k), 上述等式兩邊對k從0到n+1求和可得
定理2設(shè)X服從二項分布B(n,p), 則方差D(X)=np(1-p).
證令
由sumrecursion命令求得
-n(pn-p+1)F(n+1,k)+(pn+1)(n+1)F(n,k)=g(n,k+1)-g(n,k),
其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對k求和,得
-n(pn-p+1)f(n+1)+(pn+1)(n+1)f(n)=0,
則
由遞推關(guān)系可知:f(n)=n(pn-p+1)f(1). 由于f(1)=p, 則f(n)=n(n-1)p2+np.
即E(X2)=n(n-1)p2+np. 由定理1知E2(X)=n2p2, 所以
D(X)=E(X2)-(E(X))2=n(n-1)p2+np-n2p2=-np2+np=np(1-p).
由同樣的方法可得超幾何分布的期望和方差,并且還可求得二項分布的m階矩,比利用m階矩的遞推公式[5-6]計算更直接.
表1
計算得到f(n+1)=(1+q)f(n),f(1)=1+q. 由此遞推得出f(n)=(1+q)n.
利用sumrecursion命令,部分結(jié)果如下表:
表2
證由于
是k的m次多項式,則
其中c0,c1,…,cm與k無關(guān).
-(-n-1+l)(lσ1-nσ1+n)F(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l),
其中σ1是自由量,令σ1=0, 得
(n+1-l)nF(n+1,k,l)+(n+1)(l-n)F(n,k,l)=g(n,k+1,l)-g(n,k,l).
l=1時,f(n,l)=0.
令
由sumrecursion命令求得
-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)F(n+1,k)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)F(n,k)
=g(n,k+1)-g(n,k)
+4α2kn2x-2αkn2x2-2α3kn+2α3n2+α2k2n+4α2knx-3α2n2x-α2nx2-2αk2nx
+2αn2x2+k2nx2+2α3n+α2k2-2α2kn-α2kx-2α2nx-2αk2x+2αknx+2αkx2
-2knx2-α2k+α2x+2αkx-2αx2+k2x-kx2+nx2-kx+x2)(-1+x)kn),
其中g(shù)(n,k)=R(n,k)F(n,k). 上式兩邊對k求和,得
-(n+1)(α2n-2αnx+nx2-x2+x)f(n+1)+n(α2n-2αnx+nx2+α2-2αx+x)f(n)=0,
則
由遞推關(guān)系可知
其中f(1)=α2+x-2αx.則
注 [7]中將該求和項中的(k-nα)2分解成三項之和
(k-nα)2=n2α2-(2nα-1)k+k(k-1),
利用Zeilberger算法尋找遞推關(guān)系式,從而求解和式.這一方法可以用來計算概率分布中的k階矩,以及解決高等數(shù)學(xué)中一些級數(shù)求和問題.本文主要給出二項分布的高階矩求解,這一方法還可以用來求解超幾何分布和其他離散型分布的高階矩.對于復(fù)雜的和式求解問題也可以參考該算法.
致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.