孟如月， 張瑞豐

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

熵是反映動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜度的一個(gè)非常重要的量，關(guān)于各種熵的計(jì)算也很重要但比較困難.非緊集合下的拓?fù)潇厥欠抡誋ausdorff維數(shù)定義的，故稱之為Bowen維數(shù)熵[1].Hausdorff維數(shù)的Billingsley性質(zhì)有助于Hausdorff維數(shù)的計(jì)算[2]，類似的，Bowen維數(shù)熵的Billingsley性質(zhì)也有助于Bowen維數(shù)熵的計(jì)算.馬際華[3]等證明了Bowen維數(shù)熵的Billingsley性質(zhì)，馬際華的證明里，涉及的Bowen維數(shù)熵與測(cè)度下局部熵都是在Bowen最大度量下進(jìn)行定義的，周發(fā)[4]在d群作用下推廣了這一結(jié)果.

近幾年，對(duì)于平均度量下動(dòng)力系統(tǒng)的研究吸引了很多研究者的關(guān)注.Gr?ger[5]等運(yùn)用分離集給出了平均度量下拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)潇氐亩x，并證明了平均度量下的拓?fù)潇嘏cBowen最大度量下的拓?fù)潇厥堑葍r(jià)的.黃文[6]等給出了平均度量下遍歷測(cè)度的Katok熵公式，黃萍[7]等定義了平均度量下的拓?fù)鋲?，并給出了平均度量下測(cè)度壓版本的Katok熵公式.黃文[8]等研究了動(dòng)力系統(tǒng)在三種度量(Bowen最大度量、最大平均度量、平均度量)下的有界復(fù)雜性.這些說明在研究拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的一些問題的時(shí)候，平均度量下的Bowen球可以代替經(jīng)典Bowen最大度量下的Bowen球.

受以上內(nèi)容啟發(fā)，這篇文章探討證明了最大平均度量下的Bowen維數(shù)熵與測(cè)度下局部熵的關(guān)系.

2 定 義

定義1(X,d)為一個(gè)緊致度量空間，f為其上的連續(xù)映射，對(duì)于?x，y∈X，n∈，0≤i≤n-1，Bowen最大度量：

dn(x，y)=max{d(fix，fiy)}，

平均度量：

最大平均度量：

定義

由定義可得如果X是緊致度量空間，則

將通常定義中的最大度量下的Bowen球替換為最大平均度量下的Bowen球，最大度量下的測(cè)度下局部熵定義如下.

3 主要結(jié)果及證明

證令ω?F為滿足以下條件的集族：

第一步，用反證法來證明一個(gè)斷言

第二步，運(yùn)用第一步證明出的斷言證明G即為所求.由于G滿足條件(ii)，又已知

(ii) 對(duì)于?ε>0，?k≥1，令

對(duì)于?N≥1，令

綜上可得

4 結(jié) 論

最大平均度量下的Bowen維數(shù)熵可以用測(cè)度下局部熵估計(jì).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.