張芳娟, 朱新宏
(1.西安郵電大學(xué)理學(xué)院, 西安 710121; 2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 西安 710065)
1) 如果對(duì)所有B∈M有ABP=0,那么A=0.
2) 如果η是非零常數(shù)且對(duì)任意T∈M有(PT(I-P))·ηA=0, 那么A(I-P)=0.
引理3[6]設(shè)M是von Neumann代數(shù),A∈M, 若對(duì)所有的B∈M, 有AB+BA*=0,則A=-A*∈Z(M).
斷言1φ(0)=0.
斷言2任取A12∈M12,A21∈M21,則φ(A12+A21)=φ(A12)+φ(A21).
斷言3設(shè)i,j∈{1,2},若i≠j,Aii∈Mii,Aij∈Mij,Ajj∈Mjj,則φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij),φ(Ajj+Aij)=φ(Ajj)+φ(Aij).
斷言4設(shè)i,j∈{1,2},若i≠j,Aii∈Mii,Aij∈Mij,Aji∈Mji,則φ(Aii+Aij+Aji)=φ(Aii)+φ(Aij)+φ(Aji).
由此可得Xij=Aij,Xji=Aji,Xjj=0,則X=Xii+Aij+Aji.
由此可得Xii=Aii.
斷言5任取A11∈M11,A12∈M12,A21∈M21,A22∈M22,則φ(A11+A12+A21+A22)=φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).
由此可得X11=A11,X12=A12,X21=A21.類(lèi)似可得X22=A22.
斷言6設(shè)i,j∈{1,2},若i≠j,Aij,Bij∈Mij,則φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).
則φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).
斷言7設(shè)i,j∈{1,2},若i≠j,Aii,Bii∈Mii,則φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).
由此可得Xjj=Xji=Xij=0.
任取Cij∈Mij,i≠j,由斷言6得
由此可得(Xii-Aii-Bii)Cij=0.即對(duì)所有的C∈M,有(Xii-Aii-Bii)CPj=0.由引理2得Xii=Aii+Bii.所以φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).
斷言8φ是可加的.
由斷言5~7得φ是可加的.
若η=-1,則有下面定理.
定理2設(shè)M和N是兩個(gè)von Neumann代數(shù), 其中至少有一個(gè)無(wú)中心交換投影.若φ是從M到N的雙射并且滿足對(duì)所有A,B,C∈M有φ([A·B,C]*)=[φ(A)·φ(B),φ(C)]*,則下列結(jié)論成立:φ(I)φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)的和,其中φ(I)是N中自伴中心元且φ(I)2=I.
證明分下面幾步完成.
第一步1) 任取A∈M,則φ(A)*=φ(A)當(dāng)且僅當(dāng)A*=A;
2)φ(Z(M))=Z(N).
由于φ是滿射, 所以存在B∈M,使得φ(B)=I.則對(duì)任意A∈M有
0=φ([iI·A,B]*)=[φ(iI)·φ(A),I]*=φ(iI)(φ(A)-φ(A)*)+(φ(A)-φ(A)*)φ(iI)*.
φ(iI)=-φ(iI)*∈Z(N).
(1)
類(lèi)似可得φ-1(iI)∈Z(M).
令A(yù)=A*∈M且φ(B)=I.則
0=φ([B·A,φ-1(iI)]*)=[I·φ(A),iI]*= 2iφ(A)-2iφ(A)*.
由此可得φ(A)=φ(A)*.同理若φ(A)=φ(A)*,則
0=φ-1([φ(I)·φ(A),φ(iI)]*)= [I·A,iI]*=2iA-2iA*.
所以A=A*,因此φ雙邊保持自伴元.
任取Z∈Z(M)且φ(B)=I.對(duì)所有A=A*∈M,有
0=φ([B·A,Z]*)=[I·φ(A),φ(Z)]*= 2(φ(A)φ(Z)-φ(Z)φ(A)*).
第二步1)φ(iI)*=-φ(iI),φ(I)2=I;
2)任取A∈M,則φ(A*)=φ(A)*.
由第一步和式(1)得
4φ(iI)=φ([I·iI,I]*)=[φ(I)·φ(iI),φ(I)]*=
2φ(I)2(φ(iI)-φ(iI)*)=4φ(I)2φ(iI).
即
φ(iI)=φ(I)2φ(iI).
(2)
對(duì)所有A=A*∈M,由第一步和式(1)得
-4φ(A)=φ([A·iI,iI]*)= [φ(A)·φ(iI),φ(iI)]*=4φ(iI)2φ(A).
φ(iI)2=-I.
(3)
由式(2)和式(3)得
φ(I)2=I.
(4)
任取A∈M, 因?yàn)棣?I)是自伴中心元,所以2φ(A-A*)=φ([I·A,I]*)=[φ(I)·φ(A),φ(I)]*=2φ(I)2(φ(A)-φ(A)*).聯(lián)合式(4)得φ(A)*=φ(A)*.
定義映射ψ:M→N,對(duì)所有A∈M, 有ψ(A)=φ(I)φ(A).ψ有下面性質(zhì).
第三步1)ψ是可加的雙射, 對(duì)所有A,B,C∈M,滿足ψ([A·B,C]*)=[ψ(A)·ψ(B),ψ(C)]*;
2)ψ(I)=I,ψ(iI)2=-I,ψ(iI)*=-ψ(iI),ψ(Z(M))=Z(N);
3) 對(duì)所有A∈M, 有ψ(A*)=ψ(A)*;
4)P是M中投影當(dāng)且僅當(dāng)ψ(P)是N中投影.
1)、2)、3)易得,下面證明4).若P是M中投影,一方面
4ψ(iP)=ψ([I·iI,P]*)= [I·ψ(iI),ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P).
另一方面,
4ψ(iP)=ψ([I·iP,P]*)= [I·ψ(iP),ψ(P)]*=4ψ(iI)ψ(P)2.
所以,ψ(iI)ψ(P)=ψ(iI)ψ(P)2.由ψ(iI)2=-I得ψ(P)=ψ(P)2.所以,ψ(P)是N中的投影.
下面的證明不需要N無(wú)中心交換投影的條件,所以上面的結(jié)果對(duì)ψ-1成立.若ψ(P)是N中的投影,則P=ψ-1(ψ(P))是M中的投影.
第四步ψ(Mij)=Nij,ψ(Mii)?Nii,1≤i≠j≤2.
任取Aij∈Mij,有
由此可得Qiψ(Aij)Qi=Qjψ(Aij)Qj=Qjψ(Aij)Qi=0, 則ψ(Mij)?Nij.再用同樣方法考慮映射ψ-1,所以ψ(Mij)=Nij.
任取Aii∈Mii,由
0=ψ([Pj·iI,Aii]*)=[Qj·ψ(iI),ψ(Aii)]*= 2ψ(iI)(Qjψ(Aii)+ψ(Aii)Qj),
得Qiψ(Aii)Qj=Qjψ(Aii)Qi=Qjψ(Aii)Qj=0,則ψ(Mii)?Nii.
第五步ψ是可乘的.
由ψ(Aij)ψ(Bii)*=0,i≠j得
任取Dij∈Nij,由第四步得Cij=ψ-1(Dij)∈Mij,所以
ψ(AiiBii)Dij=ψ(AiiBiiCij)=ψ(Aii)ψ(BiiCij)=ψ(Aii)ψ(Bii)Dij.
計(jì)算得
ψ(AijBji)-ψ(BjiAij)=ψ([Aij·I,Bji]*)= [ψ(Aij)·I,ψ(Bji)]*=ψ(Aij)ψ(Bji)-ψ(Bji)ψ(Aij).
所以,
ψ(AijBji)=ψ(Aij)ψ(Bji),ψ(BjiAij)=ψ(Bji)ψ(Aij).
任取Dji∈Nji,由第四步得Cji=ψ-1(Dji)∈Mji,所以,
ψ(AijBjj)Dji=ψ(AijBjjCji)=ψ(Aij)ψ(BjjCji)=ψ(Aij)ψ(Bjj)Dji.
第六步存在中心投影E∈M, 使得ψ限制在ME上是線性映射,ψ限制在M(I-E)上是共軛線性映射.
任取有理數(shù)q,有ψ(qI)=qI.取M中正元A,則存在自伴元B∈M使得A=B2.由第五步得ψ(A)=ψ(B)2,由ψ(B)是自伴元得ψ(A)是正元,所以ψ保持正元.
設(shè)λ∈, 取兩個(gè)有理數(shù)列{an},{bn}使得an≤λ≤bn和對(duì)所有的n都成立.由anI≤λI≤bnI得anI≤ψ(λI)≤bnI.取極限得ψ(λI)=λI.因此對(duì)所有A∈M,有ψ(λA)=ψ(λI)ψ(A)=λψ(A),則ψ是實(shí)線性的.
ψ(iAE)=ψ(A)ψ(E)ψ(iI)=ψ(A)ψ(E)i(2F-I)=iψ(A)F=iψ(AE)
和
ψ(iA(I-E))=ψ(A)ψ(I-E)ψ(iI)= -iψ(A)(I-F)=-iψ(A(I-E)).
因此,ψ限制在ME上是線性映射,ψ限制在M(I-E)上是共軛線性映射.
定理3設(shè)M和N是兩個(gè)von Neumann 代數(shù), 其中至少有一個(gè)無(wú)中心交換投影,η∈{0,±1},φ:M→N是非線性雙射且滿足φ(I)=I,φ(iI)*=-φ(iI), 則φ保持混合三重η-*-積當(dāng)且僅當(dāng)下列結(jié)論成立: i)若|η|=1, 則φ是線性*-同構(gòu);ii)若|η|≠1, 則φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)之和.
證明分兩種情況進(jìn)行討論.
情形1|η|=1.
斷言1φ雙邊保持自伴元.
取A=A*∈M, 則
所以,φ(A)=φ(A)*.由于φ-1也保持混合三重η-*-積, 如果φ(A)=φ(A)*,那么
則A=A*.
斷言2φ(Z(M))=Z(N).
任取C∈Z(M)和A=A*∈M,有
由斷言1得, 對(duì)所有B=B*∈N,有Bφ(C)=φ(C)B.進(jìn)一步對(duì)所有B∈N,有Bφ(C)=φ(C)B.則φ(C)∈Z(N),即φ(Z(M))?Z(N).類(lèi)似可得φ-1(Z(N))?Z(M),所以,φ(Z(M))=Z(N).
斷言3φ(iI)=iI.
一方面, 由φ(iI)*=-φ(iI)得
(5)
另一方面,
(6)
由式(5)和式(6)可得φ(iI)2=-I.再由式(5)得φ(ηI)=ηI.若η=i,則φ(iI)=iI.
斷言4φ是線性*-同構(gòu).
任取A∈M,由
得φ(ηA)=ηφ(A).任取A,B∈M,由
得
φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.
(7)
在式(7)中取A=iI得φ(iB)=iφ(B).再由(7)式得φ((iA)(iB)-(iB)(iA)*)=φ(iA)φ(iB)-φ(iB)φ(iA)*.由此可得
φ(AB+BA*)=φ(A)φ(B)+φ(B)φ(A)*.
(8)
結(jié)合式(7)~(8)可得φ(AB)=φ(A)φ(B)和φ(BA*)=φ(B)φ(A)*.取B=I得φ(A*)=φ(A)*.類(lèi)似定理2的第六步得φ是實(shí)線性,結(jié)合φ(iB)=iφ(B)得φ是線性*-同構(gòu).
情形2|η|≠1.
斷言1φ保自伴冪等元.
φ(|η|2A)=|η|2φ(A).
(9)
任取A=A*∈M,由
(1-η)φ(A)+(η-|η|2)φ(A)*
斷言2設(shè)i,j∈{1,2}且i≠j,則φ(Nij)=Mij.
任取Aij∈Mij,由
得Bji=0,所以φ(Mij)∈Nij.考慮φ-1,得φ(Mij)=Nij.
斷言3φ(Mii)?Nii,i=1,2.
取Aii∈Mii,設(shè)i≠j,則
由此可得Qjφ(Aii)Qi=Qiφ(Aii)Qj=Qjφ(Aii)Qj=0,因此φ(Mii)?Nii.
斷言4對(duì)所有A,B∈M,有φ(AB)=φ(A)φ(B).
為了證明φ(AB)=φ(A)φ(B),只需考慮φ(AijBkl)=φ(Aij)φ(Bkl).i、j、k、l∈{1,2}.若j≠k,由斷言2和斷言3得φ(AijBkl)=φ(Aij)φ(Bkl)=0.下面只需考慮j=k.
由φ(Bij)φ(Aii)*=0得
由斷言2和斷言3得φ(AiiBij)=φ(Aii)φ(Bij).
對(duì)所有Tij∈Nij,i≠j,由斷言2得Cij=φ-1(Tij)∈Mij,則
φ(AiiBii)Tij=φ(AiiBiiCij)=φ(Aii)φ(BiiCij)=φ(Aii)φ(Bii)Tij.
由斷言3和引理2得φ(AiiBii)=φ(Aii)φ(Bii).
由式(9)得
由此可得φ(AijBji)=φ(Aij)φ(Bji),φ(BjiAij)=φ(Bji)φ(Aij).
任取Tji∈Nji,i≠j,有Cji=φ-1(Tji)∈Mji,所以
φ(AijBjj)Tji=φ(AijBjjCji)=φ(Aij)φ(BjjCji)=φ(Aij)φ(Bjj)Tji.
由引理2得φ(AijBjj)=φ(Aij)φ(Bjj).
斷言5φ是線性*-同構(gòu)和共軛線性*-同構(gòu)之和.
φ(A*)=φ(A1-iA2)=φ(A1)-φ(iA2)=φ(A1)-φ(iI)φ(A2)=φ(A1)*+φ(iI)*φ(A2)*=φ(A1)*+φ(iA2)*=φ(A1+iA2)*=φ(A)*.
即φ(A*)=φ(A)*.由斷言4得φ(iI)2=φ((iI)2)=-I.類(lèi)似定理2的第六步得結(jié)論.