樂建波，況小春，計(jì)燕華，程 棟

（景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)，江西 景德鎮(zhèn) 333403）

0 引言

“材料力學(xué)”課程是機(jī)械類、建筑類等工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方面的理論分析和工程實(shí)踐能力有著重要貢獻(xiàn)[1-2]。然而，由于該門課程具有概念散、數(shù)學(xué)公式多、內(nèi)容復(fù)雜抽象、學(xué)習(xí)難度大[3]的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的教學(xué)方式易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性差、理論知識(shí)掌握不牢靠、工程運(yùn)用能力不足等問題。隨著新興技術(shù)的發(fā)展，這種教學(xué)方式顯然未必符合高素質(zhì)人才培養(yǎng)的需求。

為解決上述問題，國(guó)內(nèi)眾多院校在“材料力學(xué)”的課程體系、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)方法等方面做了大量的改革，取得了不少成果。如王云洋等[4]通過材料力學(xué)低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革來提高學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力、分析問題和解決問題的能力；盧玉林等[5]以不同開孔板的力學(xué)性能為例，對(duì)實(shí)驗(yàn)中所包含的材料力學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，并與鋼結(jié)構(gòu)課程的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有效銜接，以此達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力；耿紅霞[6]通過學(xué)生自主設(shè)計(jì)結(jié)合工程實(shí)際的雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)的方法，達(dá)到加強(qiáng)鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的實(shí)踐能力，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)課程由傳統(tǒng)模式向探究模式的轉(zhuǎn)變；李麗君等[7]將CAE方法應(yīng)用到壓桿穩(wěn)定教學(xué)中，使歐拉公式抽象的理論教學(xué)變得形象生動(dòng)，彌補(bǔ)了缺少實(shí)驗(yàn)的不足，豐富了學(xué)生的知識(shí)；胡可軍等[8]通過MSC.Marc軟件建立拉伸試驗(yàn)、應(yīng)力集中、圣維南原理和偏心拉伸的數(shù)值模型，展示了其在“材料力學(xué)”教學(xué)中應(yīng)用情況，提升了學(xué)生對(duì)“材料力學(xué)”課程基本概念和基本理論的掌握，激發(fā)了學(xué)生對(duì)“材料力學(xué)”課程的學(xué)習(xí)興趣；李一帆等[9]提出了將數(shù)值模擬方法引入到“材料力學(xué)”教學(xué)中來，將“材料力學(xué)”的教學(xué)與數(shù)值模擬技術(shù)緊密結(jié)合在一起，使“材料力學(xué)”教學(xué)中難以講解清楚的現(xiàn)象直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，同時(shí)提高了學(xué)生力學(xué)分析的基本技能和計(jì)算機(jī)操作與軟件應(yīng)用的能力。這些教學(xué)手段有助于提升學(xué)生對(duì)“材料力學(xué)”中抽象概念的理解能力與應(yīng)用能力，但實(shí)驗(yàn)設(shè)備昂貴，且實(shí)驗(yàn)耗材大，使底子薄、基礎(chǔ)差、經(jīng)費(fèi)緊張的一般院校更加困難；加上數(shù)值模擬技術(shù)的應(yīng)用也只是借助其良好的視覺效果幫助學(xué)生理解，未做到理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合，不能提升學(xué)生動(dòng)手建模及工程應(yīng)用與分析能力。因此，有必要進(jìn)一步將數(shù)值模擬技術(shù)的應(yīng)用融合到“材料力學(xué)”的教學(xué)研究中去。

在本課題組中，筆者通過數(shù)值模擬方法對(duì)材料力學(xué)中T形截面鑄鐵梁的受力變化情況進(jìn)行理論分析，采用線模型建立T形截面鑄鐵梁的物理模型，構(gòu)建了梁的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)值求解。在此基礎(chǔ)上，將理論計(jì)算與數(shù)值模擬計(jì)算得到的梁的受力變化情況進(jìn)行比較，以驗(yàn)證數(shù)值模擬技術(shù)能融合到材料力學(xué)教學(xué)中，并可提升學(xué)生的建模和分析問題能力。

1 物理模型

以“材料力學(xué)”課程中的T形截面鑄鐵梁為例，其截面尺寸和荷載如圖1所示。該梁為外伸梁的一種基本形式，其特點(diǎn)是左端采用固定鉸支座進(jìn)行固定，在距梁右端1 m處采用活動(dòng)鉸支座進(jìn)行固定。在這兩種固定方式的作用下，梁的左端可在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，右端能在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)可在水平方向左右移動(dòng)。為簡(jiǎn)化計(jì)算量，在建立物理模型時(shí)采用線模型，并根據(jù)材料力學(xué)中各向同性的基本假設(shè)設(shè)置材料的特性為各向同性，T形梁的簡(jiǎn)化物理模型如圖2所示。T形梁的基本參數(shù)如表1所示。

圖2 T形梁的簡(jiǎn)化物理模型Fig.2 Simplified physical model of T-beam

表1 T形梁的基本參數(shù)Table1 Basic parameters of T-beam

2 數(shù)學(xué)模型

工程中對(duì)于受彎的梁除強(qiáng)度有要求外，往往對(duì)剛度還有一定的要求，即要求梁的彎曲變形不能過大，否則也將導(dǎo)致梁的失效。在“材料力學(xué)”課程中求解梁的彎曲變形時(shí)，首先需要建立力偶的平衡方程將支座對(duì)梁的支撐反力一一求解出來，其次將梁上所有外力聯(lián)立起來，構(gòu)建梁的分段彎矩方程，最后再利用二次積分法得到梁的撓度方程，從而得出梁的變形。因該T形梁的中間有集中力作用在C處，還有一個(gè)支座作用在梁的B處，故需將該梁分成三段，分別建立相應(yīng)的方程。

根據(jù)材料力學(xué)中的求解思路，第一步得出梁的力偶的平衡方程：

式中：FRA、FRB分別為A、B兩處的支反力，kN；F1、F2分別為作用在梁上C處和D處的外載荷，kN；lCB，lBD分別為相應(yīng)梁段的長(zhǎng)度，m。

以A點(diǎn)為原始點(diǎn)，建立與梁平行的x軸，向右方為正方向，與x軸垂直的縱坐標(biāo)為梁彎曲的位移，即梁的撓度。利用已求出的支撐反力分別求出梁各段的彎矩方程，再進(jìn)行二次積分得出撓度方程，如下所示。

AC段的彎矩方程和撓度方程（0≤x≤1）：

BD段的彎矩方程和撓度方程（2≤x≤3）：

式中：E為梁的彈性模量，Pa；I為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，cm4；W1、W2、W3分別為AC、CB、BD三段所對(duì)應(yīng)的撓度，即梁承受載荷后在縱向的位移量，mm。

為清晰看出力隨軸向的變化情況，并判斷梁的危險(xiǎn)位置，在“材料力學(xué)”中常需繪制剪力圖與彎矩圖。而對(duì)于符號(hào)的判定也有相應(yīng)的規(guī)則，在剪力符號(hào)的判定中利用了順逆時(shí)針的判定方法，即若左端的外力合力向上，則會(huì)使靠近左端的梁呈現(xiàn)出順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，則該段處的剪力為正，反之則相反，靠近右端剪力的判定可采用同樣的方法判定；在彎矩符號(hào)的判定中也有類似的方法，但歸納為若兩端的合力向上使梁呈現(xiàn)下凹趨勢(shì)，則該段梁上的彎矩為正，反之則為負(fù)；撓度判定的規(guī)則是若梁向下彎曲時(shí)則撓度為負(fù)，向上則為正。根據(jù)上述方法，可以得出AC段的剪力為橫值2.5 kN，CB段的剪力為橫值-6.5 kN，BD段的剪力為橫值4 kN；C截面處最大正彎矩為2.5 kN·m，撓度為-0.66 mm，B截面處最大負(fù)彎矩為-4 kN·m，D截面處撓度為-2.14 mm；T形梁的剪力圖和彎矩如圖3所示。

圖3 T形梁剪力圖和彎矩圖Fig.3 Shear force diagram and bending moment diagram of T-beam

3 結(jié)果分析

模擬T形梁受載荷時(shí)所得到的剪力分布云圖如圖4所示，從圖中可以看出模擬得到的剪力數(shù)值與上述計(jì)算結(jié)果一致，在AC、CB、BD三段處的剪力均為橫值，分別為2.5 kN、6.5 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大。但此模擬結(jié)果無法判定出各段剪力的正負(fù)號(hào)，需進(jìn)一步給出模擬結(jié)果。

圖4 T形梁剪力分布云圖Fig.4 Shear force distribution Cloud diagram of T-beam

模擬T形梁受載荷時(shí)所得到的剪力圖、彎矩圖及撓度圖如圖5所示，從圖中可以看出模擬結(jié)果與上述計(jì)算結(jié)果一致，在剪力圖中AC、CB、BD三段的剪力均為橫值，分別為2.5 kN、-65 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大，在彎矩圖中各段的分布數(shù)值及符號(hào)均與上述計(jì)算結(jié)果相同，且在C處的彎矩為2.5 kN·m，B處的彎矩為-4 kN·m，在撓度圖中各段的分布數(shù)值與上述計(jì)算結(jié)果一致，且在C處的撓度為0.66 mm，D處的撓度為2.14 mm，此撓度符號(hào)與上述所述的規(guī)則相反，但梁彎曲程度的研究不受影響。

模擬T形梁受載荷時(shí)所得到的撓度分布云圖如圖6所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)梁受到相應(yīng)載荷后所呈現(xiàn)的彎曲變形趨勢(shì)與理論分析一致，且在C處的撓度為0.66 mm，D處的撓度為2.14 mm，而A、B處因受到支撐的限位約束作用，不產(chǎn)生位移，故該處的撓度均為0 mm。

圖6 T形梁撓度分布云圖Fig.6 Deflection distribution Cloud diagram of T-beam

4 結(jié)論

本課題組以材料力學(xué)中的T形截面梁為例，采用線模型建立了T形梁的簡(jiǎn)化物理模型，通過對(duì)比分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模擬所得的剪力、撓度及彎矩分布情況，得出以下結(jié)論。

1)采用數(shù)值模擬方法建立以線模型為基礎(chǔ)的T形梁簡(jiǎn)化物理模型，能有效描述T形梁受載時(shí)梁軸線方向上的剪力、撓度及彎矩分布情況，模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相吻合，可用于“材料力學(xué)”的教學(xué)指導(dǎo)；

2)梁在集中載荷或支撐處截面上的剪力會(huì)發(fā)生突變，突變值等于該處的合力，而在集中載荷或支撐處左右端截面上的剪力為橫值；

3)梁在集中載荷或支撐處的彎矩存在極值，當(dāng)該處的合力朝下作用時(shí)，彎矩為正值，反之為負(fù)；因此該T形梁在C處的極值彎矩為2.5 kN·m，B處的極值彎矩為-4 kN·m；

4)梁在集中載荷處的撓度值最大，在支撐約束處撓度值最小，因此該T形梁在C處的撓度值為0.66 mm，B處的撓度值為0 mm，D處的撓度值為2.14 mm。