趙炳熒，冀孟達，王 盟

(西北工業(yè)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710129)

圖譜理論是代數(shù)圖論的一個重要研究課題，而圖的能量則是圖譜理論的重要研究內容.圖G的能量是指圖G的鄰接矩陣特征值的絕對值之和.1978年Gutman首次給出了圖的能量的概念[1]，從此圖能量的相關研究受到了國內外學者的普遍關注，取得了大量的圖能量的研究成果[1-4].2010年，Adiga等[5]首次給出了定向圖斜能量的概念，文獻[10-11]分別研究了競賽圖和定向圖斜能量的一些性質，文獻[12-13]分別研究了競賽圖斜能量的下界和定向圖斜能量關于斜秩和最大度的上界.文獻[6]中Li和Lian提出問題“如何構造一些具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類”.在文獻[14]中Ramane等人利用兩個定向圖的聯(lián)圖構造了具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類.Adiga等[15]給出了一些新的方法構造了等斜能量的定向圖類.劉香香等[16]通過將無向圖上的頂點冠和鄰接冠推廣到定向圖上，構造等斜能量定向圖.本文推廣定義了定向圖的廣義頂點冠和廣義鄰接冠，得到了相應的斜譜，并在此基礎上構造了新的具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類.

1 一些定義與引理

這一節(jié)推廣了文獻[16]的定向圖的頂點冠和鄰接冠的定義，并給出了一些有用的引理.

圖1 定向圖和廣義頂點冠Fig.1 The oriented graphs and

圖2 定向圖和廣義鄰接冠★Fig.2 The oriented graphs and the generalized neighborhood corona ★

定義5[18]矩陣A∈Cm×n和B∈Cp×q的直積用A?B表示，具體如下所示：

引理1[17]設M、N、P、Q為矩陣，若其中M為可逆矩陣，則

若其中Q為可逆矩陣，則

引理2[18]矩陣A∈Cn×n，則矩陣A是正規(guī)矩陣的充分必要條件是，存在酉矩陣Q，使得A酉相似于一個對角陣，即

其中,λ1，λ2，…，λn是A的特征值.

2 主要結果及證明

本節(jié)給出了定向圖廣義頂點冠和廣義鄰接冠的斜譜，在此基礎上，給出了兩種構造具有不同斜譜但等斜能量的定向圖類的方法.

其中,i=1，2，…，n，j=2，3，…，m，k=1，2，…，n.

證明根據(jù)廣義頂點冠的定義，Gσ的斜鄰接矩陣如下：

其中,

e為m維全為1的列向量.

其中e1=(1，0，0，…，0)T為m維列向量，

則

綜上所述，定向圖Gσ的斜譜如下：

其中,i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

并且根據(jù)定理1它們的斜譜不同.

圖3 定向圖和Fig.3 The oriented graphs

其中，i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

證明根據(jù)廣義鄰接冠的定義，Gσ的斜鄰接矩陣如下：

其中，

e為m維全為1的列向量.

其中，e1=(1，0，0，…，0)T為m維列向量，

記

綜上所述，Gσ的斜譜如下：

其中,i=1，2，…，n;j=2，3，…，m;k=1，2，…，n.

證明根據(jù)定理3可以得到Gσ的斜譜，再根據(jù)斜能量的定義，該定理得證.