朱立明

初中生數(shù)學關鍵能力測評模型構建研究

朱立明

（唐山師范學院 教育學院，河北 唐山 063000）

通過文獻法、專家咨詢法與層次分析法，在梳理數(shù)學關鍵能力內(nèi)涵、要素與評價相關研究基礎上，確定初中生數(shù)學關鍵能力三個測評維度，即數(shù)學觀察能力（O）、數(shù)學思考能力（T）與數(shù)學表達能力（E），并對三個測評維度的權重值進行分配，得到初中生數(shù)學關鍵能力測評模型：A=0.23*O+0.40*T+0.37*E，經(jīng)過專家認同度驗證得到認可。

數(shù)學學科核心素養(yǎng)；數(shù)學關鍵能力；測評模型

一、研究問題的提出

2017年9月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)的《關于深化教育體制機制改革的意見》指出：“在培養(yǎng)學生基礎知識和基本技能的過程中，強化學生關鍵能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學生的認知能力、合作能力、創(chuàng)新能力、職業(yè)能力?！?018年1月，教育部印發(fā)的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出數(shù)學學科核心素養(yǎng)包含數(shù)學思維品質(zhì)、數(shù)學關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀[1]，這對于正在修訂的義務教育數(shù)學課程標準具有重要的指引作用。數(shù)學教育開始從“知識本位”轉向“素養(yǎng)本位”，其中數(shù)學關鍵能力占有核心地位，初中生數(shù)學關鍵能力也將成為義務教育數(shù)學課程的培養(yǎng)目標。因此，關于初中生數(shù)學關鍵能力操作性定義構建，構成要素的分析，以及測評維度的細化、測評模型的構建成為數(shù)學教育研究熱點問題，本研究采用文獻法、專家咨詢法、層次分析法對初中生數(shù)學關鍵能力測評模型進行構建，為數(shù)學關鍵能力的落實與評價提供參考。

二、相關研究的綜述

（一）數(shù)學關鍵能力內(nèi)涵研究

數(shù)學關鍵能力內(nèi)涵從其價值取向看大體可以劃分為三類，即心理取向、技能取向與經(jīng)驗取向?；谛睦砣∠虻慕缍ㄕJ為數(shù)學關鍵能力為完成數(shù)學活動或任務所具備的心理傾向[2]，國內(nèi)持有此類觀點的學者大部分是基于蘇聯(lián)心理學家克魯切茨基（Kruteskil）對中小學生數(shù)學能力的研究做出的闡述。基于技能取向的界定認為數(shù)學關鍵能力是學生完成數(shù)學問題解決所必需的技能與技巧，并在變化情境中精準地提出問題、分析問題、與解決問題[3]。基于經(jīng)驗取向的數(shù)學關鍵能力側重數(shù)學基本活動經(jīng)驗，將數(shù)學關鍵能力定義為在不同的數(shù)學情境中，獲得理解、判斷與使用數(shù)學的經(jīng)驗[4]。這三種內(nèi)涵各具特色，心理取向?qū)?shù)學關鍵能力視為能力的下位概念，強調(diào)其內(nèi)隱性；技能取向?qū)?shù)學關鍵能力視為學生運用數(shù)學解決問題時所表現(xiàn)出來的技術，強調(diào)其外顯性；經(jīng)驗取向?qū)?shù)學關鍵能力視為學生學習經(jīng)驗，強調(diào)其生成性[5]。

（二）數(shù)學關鍵能力要素研究

數(shù)學關鍵能力要素是剖析其內(nèi)部構成的關鍵，目前研究更多集中在對其成分的探討。從國家層面來看，在各國數(shù)學課程標準中，均提出數(shù)學關鍵能力的構成要素。例如，我國數(shù)學課程標準提出計算能力，邏輯推理能力與空間想象能力[6]，德國基于PISA數(shù)學素養(yǎng)測評框架，提出構建數(shù)學論證、數(shù)學地解決問題、數(shù)學建模、數(shù)學表征的應用、數(shù)學符號公式以及技巧的熟練掌握和數(shù)學交流六大數(shù)學能力[7]。2010年，《美國共同核心州數(shù)學標準》（CCSSM）中涉及八大數(shù)學能力，即理解并解決問題、推理、論證并評價他人推理、數(shù)學建模、使用合適的工具、精確化、探求并利用數(shù)學結構以及探求規(guī)律[8]。澳大利亞并非直接提出數(shù)學能力，而是結合數(shù)學、科學、英語等學科共同提出七大能力，再從數(shù)學學科視角對七大能力進行闡述[9]。從個人層面來看，各國學者也在探討數(shù)學能力的構成，例如，克魯切茨基的數(shù)學能力構成對學者們的影響較大，尼斯提出“數(shù)學能力之花”模型，具體包含數(shù)學思維、提出并解決數(shù)學問題、數(shù)學建模、數(shù)學推理、數(shù)學表征、數(shù)學符號化與形式化、數(shù)學交流、工具的使用等數(shù)學能力[10]，喻平將數(shù)學能力分為三大類，包含自我監(jiān)控能力、數(shù)學閱讀能力等11種數(shù)學能力[11]等。還有從數(shù)學學科核心素養(yǎng)視角將數(shù)學關鍵能力劃分為數(shù)學抽象與表達能力、數(shù)學運算能力、數(shù)學猜想與論證能力、數(shù)學想象與化歸能力、數(shù)據(jù)分析與預測能力、問題解決與交流能力[12]。無論是各國數(shù)學課程標準，還是學者們的相關研究，觀其構成要素，均含有數(shù)學推理、數(shù)學交流、問題解決等關鍵詞，缺少對測評指標的進一步構建與描述。

（三）數(shù)學關鍵能力評價研究

國際學生評估項目（Program for International Student Assessment，簡稱PISA）傾向于數(shù)學素養(yǎng)評價，構建了內(nèi)容、過程與情境三維一體的測評目標結構，包含了知識、能力、情境三個測評維度，著重考查15歲中學生對于未來生活可能面臨的問題情境、準備的程度及習得的必備的知識與技能[13]。PISA2021數(shù)學素養(yǎng)測評框架開始注重個人在不同真實世界情境下進行數(shù)學推理與表達運用數(shù)學解決問題的能力，具體包括使用數(shù)學概念、過程、事實和工具來描述、解釋和預測現(xiàn)象的能力[14]。曹一鳴等從學習理解、實踐應用、創(chuàng)造遷移三個維度、九個子維度構建了學生數(shù)學學科能力測試框架[15]。杜宵豐等基于對八萬名學生的幾何典型錯例分析，從了解、理解、掌握、運用四個層次，對八年級學生數(shù)學能力進行測評[16]。張晉宇等對數(shù)學表征與變換能力測評指標進行綜述，得出再現(xiàn)水平、聯(lián)系水平、反思水平三個測量水平，并對其具體行為進行描述[17]。

（四）數(shù)學關鍵能力已有研究述評

通過相關研究文獻梳理可以看出，國內(nèi)數(shù)學關鍵能力研究以理論研究為主，而實證研究比較缺乏。隨著數(shù)學學科核心素養(yǎng)的不斷推進與落實，學者對數(shù)學關鍵能力的研究也逐漸從理論走向?qū)嵺`?？v觀目前已有研究，在以下四個方面仍需改進：第一，數(shù)學關鍵能力操作性定義仍需完善，應從“理論層面”轉向與“操作層面”的結合；第二，數(shù)學關鍵能力的研究方法需要多元化，需要理論思辨與實證研究相結合；第三，數(shù)學關鍵能力測評研究比較匱乏，需繼續(xù)構建并完善測評模型，模型的科學性與可行性也有待檢驗；第四，目前數(shù)學關鍵能力研究對象更多關注小學生與高中生，較少針對初中生數(shù)學關鍵能力研究。鑒于此，本研究以初中生為對象，構建數(shù)學關鍵能力的測評模型。

三、研究的設計與方法

（一）研究樣本的選取

初中生數(shù)學關鍵能力測評維度及其權重的確定，主要借助專家咨詢，因此需要確定專家樣本。本研究的專家群體由高校數(shù)學教育專家、初中數(shù)學教研員與初中數(shù)學骨干教師組成，其中高校數(shù)學教育專家在數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學核心素養(yǎng)、數(shù)學能力等領域都有研究。這樣的專家組合可以為數(shù)學關鍵能力測評模型構建提供理論支撐與實踐參考，通過專家建議對測評維度進行修改與調(diào)整，實現(xiàn)測評維度的科學性與合理性。

在選擇學生樣本的時候，首先確定學校，將樣本學校分成3類，一類是優(yōu)質(zhì)學校，二類是中等學校，三類是薄弱學校，同時這些學校滿足以下兩個條件：一是能夠代表同等城市的經(jīng)濟、教育發(fā)展水平；二是便于開展研究，能夠保證調(diào)查的可行性與所得數(shù)據(jù)的真實性?；谝陨蟽煞矫妫Y合學緣、師緣、友緣等因素，選取唐山、天津、長春、東莞、?？诘瘸鞘?，每個樣本城市各選取一類學校，在每所學校均選擇初二年級學生作為樣本，這是因為初一年級學生剛剛步入初中，而初三年級學生具有中考壓力。共發(fā)放試卷1 127份，回收有效問卷1 066份，有效率為94.5%，其中優(yōu)質(zhì)學校學生樣本量324，中等學校學生樣本量為375，薄弱學校學生樣本量為367，樣本結構大體均衡。

（二）研究方法的運用

本研究采用文獻法、專家咨詢法、統(tǒng)計分析法與層次分析法等研究方法。首先借助文獻法，對數(shù)學關鍵能力的內(nèi)涵、要素與評價的相關研究進行梳理，從中獲得數(shù)學關鍵能力的高頻詞。其次，以此為基礎初步形成初中數(shù)學關鍵能力的維度，并編制專家問卷進行專家咨詢，運用探索性因素分析與驗證性因素分析形成數(shù)學關鍵能力測評維度。最后，借助層次分析法對初中生數(shù)學抽象能力各維度的權重進行賦值，并進行專家認同度檢驗，形成初中生數(shù)學關鍵能力的測評模型。

（三）研究思路的分析

從測評指標構建的邏輯順序來看，指標體系構建有三種范式：自上而下的范式、自下而上的范式、上下混合的范式[18]。本研究借鑒教材難易度模型[19]、學生課業(yè)負擔測評模型[20]、數(shù)學符號意識測評模型[21]、學校特色發(fā)展測評模型[22]、初中生信息技術素養(yǎng)測評模型[23]等人文社科領域多種測評模型構建的基本思路，在構建測評指標時綜合考量“自上而下”和“自下而上”兩構建范式的優(yōu)點，在開展理論研究與文獻梳理的同時，廣泛征求相關領域?qū)＜液陀嘘P人士的意見和建議，兼顧理論與實踐的雙重取向形成測評維度體系。在研究中，充分挖掘初中生數(shù)學關鍵能力測評模型構建的理論依據(jù)，使測評維度體系構建研究過程更具有針對性，研究思路更加清晰，相關研究領域的專家和有關人士所提意見與建議更加具體，同時征求專家的意見，使整個研究過程具有開放性、民主性與實踐性。

四、初中生數(shù)學關鍵能力測評模型構建

（一）測評維度的遴選

由于學段的不同，初中生數(shù)學關鍵能力與高中生、小學生的表現(xiàn)各不相同，通過文獻綜述可以看出，數(shù)學關鍵能力的高頻詞包含數(shù)學推理、數(shù)學交流、問題解決等方面。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準（2011年版）》）指出：“數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎和基本技能基礎上，培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力?！盵24]而在目標的劃分上，也提到了數(shù)學思考與問題解決。此外史寧中教授指出數(shù)學教育在于培養(yǎng)學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界[25]。因此，通過相關文獻梳理，結合初中生認知水平特征與初中數(shù)學課程內(nèi)容，初步將初中生數(shù)學關鍵能力測評維度確定為：問題解決、數(shù)學交流、符號運用、數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達。

（二）專家咨詢結果分析

以問題解決、數(shù)學交流、符號運用、數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達6個核心詞為基礎，編制Likert五級量，從“非常不同意”到“非常同意”，依次賦分為1-5，并添加是否有刪減與增補題項，進行第一次專家咨詢，征求了來自北京、長春、重慶、天津、杭州、海口等6個城市的31位數(shù)學教育專家的意見，其中，高校數(shù)學教育專家7位，有2位專家是《課程標準（2011年版）》修訂組成員，數(shù)學教研員8位，初中數(shù)學教師14位。

專家咨詢結果如表1所示，從集中程度來看，各類專家對初中生數(shù)學關鍵能力各測評維度的平均分分布在2.525-4.331，其中，數(shù)學交流（3.525）、符號運用（3.651）兩個維度專家平均分低于3.75（3.75是5分量表的75%等級值），其余維度均高于4；從離散程度看，初中生數(shù)學關鍵能力各測評維度的標準差在0.499-0.682之間，所有測評維度的標準差較小，說明專家意見波動不大，相對比較集中。初中生數(shù)學關鍵能力各測評維度的變異系數(shù)在0.132-0.170之間（數(shù)值均較?。?，反映了所選取的專家群體對于各測評維度協(xié)調(diào)程度較高。

通過個別專家訪談，其中一位《課程標準（2017年版）》修訂專家認為：“數(shù)學關鍵能力還是一個相對比較泛化的概念，具體可以細化為抽象能力、推理能力、運算能力等數(shù)學能力，有一點，數(shù)學關鍵能力離不開數(shù)學知識，在觀察、思考與問題解決過程中，在一定程度上就包括了‘數(shù)學交流’，同時符號運用可以在問題解決中得以體現(xiàn)，也可以在數(shù)學表達中體現(xiàn)?！边€有專家指出：“問題解決可以細化到其他維度，例如在數(shù)學觀察中其實不是為了觀察而觀察，也是在解決問題，比如形成數(shù)學概念，又或者在數(shù)學表達過程中，也是在解決問題?！?/p>

表1 初中生數(shù)學關鍵能力測評維度第一次專家咨詢意見統(tǒng)計

通過第一次專家咨詢，綜合考慮專家建議以及集中度、離散度、變異系數(shù)三個統(tǒng)計量，將初中生數(shù)學關鍵能力測評維度調(diào)整為問題解決、數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達。

（三）探索性因素分析

以問題解決、數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達4個維度為基礎，組織數(shù)學教育專家、初中數(shù)學教研員與初中數(shù)學骨干教師編制測評題項，經(jīng)過反復商討與修改，形成正式測試題，共16個題項（T1、T2、T3、……、T16），如表2所示，對533名初二學生的試卷進行探索性因素分析。

表2 測評維度維度及其對應的測評題項

表3 初中生數(shù)學關鍵能力測評維度旋轉成分矩陣

以16個測評題項得分進行探索性因素分析，KMO值為0.923，Bartlett球形檢驗χ2值為457.977（df=66，p=0.00）達到極顯著水平，說明適合做因素分析，主成分分析采取提取特征值大于1的共同因素如表3所示，結合原測試題項，可以得到以下結果：第一，通過主成分分析，可以得到3個因素，由原來4個測評維度，降為3個；第二，特征概括維度題項被重新劃分，T3、T5與T4、T6、T7、T8構成一個因素，T2與T9、T10、T11、T14構成一個因素，T1與T12、T13、T15、T16為一個因素。三個因素特征值分別為4.151，2.412，1.889，三個因素構念聯(lián)合解釋變異量為66.576%，大于60%，第一個因素最大因素負荷量為0.854，第二個因素最大因素負荷量為0.886，第三個因素最大因素負荷量為0.805，因素負荷量情況較好，旋轉后的因素負荷矩陣和累積解釋變異量表明提取的三個因素對整個測評問卷的有效程度較好，最后將初中生數(shù)學關鍵能力三個測評維度分別命名為：數(shù)學觀察能力（Observation-O）、數(shù)學思考能力（Thinking-T）、數(shù)學表達能力（Express- ion-E）。

（四）驗證性因素分析

利用AMOS21.0作為CFA計算工具，利用其余533名初二學生測試卷結果進行驗證因素分析，如表4所示，從表4可以看出，P值為0.000<0.05，卡方自由度的比值為1.873<3.000，RMR值等于0.032<0.05，指標GFI的值為0.946，IFI的值為0.977，CFI的值為0.955，三個值均大于0.900，RMSEA值等于0.042<0.05，說明模型適配較好[26]。綜合各項指標參數(shù)，一階3因子模型擬合程度較好。由相關性分析結果顯示，一階因子概念之間存在高度相關性，初中生數(shù)學關鍵能力測評維度模型的基本適配指標均達到檢驗標準。

表4 一階3因子模型擬合指數(shù)

（五）權重系數(shù)的確定

為確定初中生數(shù)學關鍵能力各維度的權重值，重新對31位數(shù)學教育專家進行第二次專家咨詢，回收有效問卷27份，有效率為87.1%，下面利用層次分析法，對初中生數(shù)學關鍵能力測評維度的權重值進行計算。選擇其中一位專家對數(shù)學關鍵能力維度的評分為例，其判斷矩陣如表5所示。

表5 某專家對初中生數(shù)學關鍵能力測評維度判斷矩陣

將初中生數(shù)學關鍵能力各維度判斷矩陣的每列原元素作歸一化處理，其元素的一般項為：

計算出判斷矩陣的特征向量

其中

因此，該專家認為初中生數(shù)學關鍵能力的三個維度，即數(shù)學觀察能力、數(shù)學思考能力、數(shù)學表達能力的權重依次為0.14，0.49與0.37。

為了達到對維度相對重要程度的判斷相容，即一致性的要求，需要對計算出的初中生數(shù)學關鍵能力維度的權重進行檢驗，其標準如下：

時，其中

便認為達到了相容程度，超過這個比值，則需要對維度的權重加以重新修整。以該專家評分進行計算，

當為3時，隨機一致性變量值為0.58，

因此，認為該專家在初中數(shù)學關鍵能力三個維度權重的判斷上達到相容程度，滿足一致性要求[27]。

依次對剩余26位專家評分構建判斷矩陣、計算特征向量和相容程度檢驗，其中有7位專家的評分數(shù)據(jù)未通過檢驗，因此，實際有效的專家評分共20個，通過計算20位專家在初中生數(shù)學關鍵能力各測評維度權重的平均值，為方便計算與操作，將權重值保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字。數(shù)學觀察能力、數(shù)學思考能力與數(shù)學表達能力三個測評維度最終權重值依次為0.23，0.37，0.40。初中生數(shù)學關鍵能力表達式為

=0.23*+0.40*+0.37*。

（六）專家認同度分析

以初中生數(shù)學關鍵能力測評維度與測評模型為內(nèi)容編制專家問卷，進行第三次專家咨詢，請專家根據(jù)自己的理解在“非常認同”“比較認同”“不確定”“比較不認同”“非常不認同”五個選項中做出選擇。專家結構包含了高校數(shù)學教育專家、初中數(shù)學教研員與初中數(shù)學骨干教師，共回收問卷215份，有效問卷197份，有效率為91.6%，其中高校數(shù)學教育領域?qū)＜?1人，初中數(shù)學教研員44人，初中數(shù)學骨干教師122人。調(diào)查結果如表6所示，專家群體對初中生數(shù)學關鍵能力測評維度與測評模型認同度較高，在“非常認同”與“比較認同”上，數(shù)學思考能力認同度為92.67%，數(shù)學思考能力認同度為93.84%，數(shù)學表達能力認同度為97.17%，測評模型的認同度為94.29%，借助方差分析，三種不同類型的專家在測評維度與測評模型的認同度上沒有顯著性差異，反映了專家群體認同度協(xié)調(diào)程度較高。

表6 專家群體對初中生數(shù)學關鍵能力測評模型認同度

五、結論與展望

本研究基于初中生認知水平與數(shù)學課程，構建了初中生數(shù)學關鍵能力測評模型，其表達式為

=0.23*+0.40*+0.37*，

通過專家認同度調(diào)查，初中生數(shù)學關鍵能力測評模型具有較好的有效性和可靠性，能夠作為測量初中生數(shù)學關鍵能力的基本框架，有利于實現(xiàn)其測評的科學性與操作性。誠然，研究受到時間與區(qū)域的限制，所構建的模型仍需進一步完善，在后續(xù)研究中，將對每個維度的操作指標進行厘定，進而形成測評工具，診斷初中生數(shù)學抽象、推理與建模能力實然發(fā)展水平[28]。

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Research on Evaluation Model Construction of Middle School Students' Key Ability in Mathematics

ZHU Li-ming

(School of Education, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

With the proposal and development of the key competence in mathematics, the key ability of junior middle school students in mathematics has become an important ability goal of mathematics curriculum in compulsory education stage, and it is also a hot topic of mathematics education research. Three measurement dimensions of key mathematical abilities of junior middle school students are determined, namely, mathematical observation ability (O), mathematical thinking ability (T) and mathematical expression ability (E), through literature method, expert consultation method and analytic hierarchy process, on the basis of combing the connotation, elements and evaluation of key mathematical abilities, and the weight values of the three measurement dimensions were distributed, the evaluation model of junior middle school students’ mathematical key ability was obtained: A=0.23*O+0.40*T+0.37*E, which was approved by experts’ recognition.

the key competence in mathematics; the key ability in mathematics; the evaluation model

G625.5

A

1009-9115(2021)04-0139-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2021.04.027

河北省教育廳青年拔尖人才項目（BJ2020213），唐山師范學院教育教學改革研究項目（2018001003）

2021-02-21

2021-06-24

朱立明（1986-），男，滿族，河北承德人，博士，副教授，研究方向為課程與教學論、數(shù)學教育。

（責任編輯、校對：高俊霞）