劉 昆，郭德松，王仁華，張延昌

(江蘇科技大學(xué) a.船舶與海洋工程學(xué)院；b.土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

在船體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和建造過程中需要開設(shè)人孔、減輕孔、工藝孔等，開孔的存在會(huì)導(dǎo)致孔邊應(yīng)力增加，甚至產(chǎn)生應(yīng)力集中。此外，隨著結(jié)構(gòu)輕量化要求的提高及船舶大型化發(fā)展趨勢，傳統(tǒng)開孔設(shè)計(jì)已無法完全滿足當(dāng)今船體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求。同時(shí)，船舶典型設(shè)計(jì)工況較多，需考慮船體結(jié)構(gòu)開孔在多工況下的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高船體結(jié)構(gòu)材料利用率，有效降低船舶結(jié)構(gòu)重量。

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的一種，根據(jù)給定的負(fù)載情況、約束條件和性能指標(biāo)，在給定的區(qū)域內(nèi)對(duì)材料分布進(jìn)行優(yōu)化，從而設(shè)計(jì)出經(jīng)濟(jì)、安全的結(jié)構(gòu)模型。雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(Bidirectional Evolutionary Structural Optimization，BESO)算法已經(jīng)成為非常成熟的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法，其算法通用性好、優(yōu)化效率高，可應(yīng)用于船體開孔拓?fù)鋬?yōu)化。

在BESO算法理論研究方面成果顯著。XIE等[1]提出漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(Evolutionary Structural Optimization，ESO)方法，QUERIN等[2-4]和YOUNG等[5]提出BESO方法，該方法解決了ESO方法只能單向刪除單元的缺點(diǎn)，還可在高應(yīng)力區(qū)增加單元。榮見華等[6]提出一種基于應(yīng)力及其靈敏度的BESO方法，解決了優(yōu)化過程中的震蕩狀態(tài)。

拓?fù)鋬?yōu)化已被廣泛應(yīng)用于船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域。劉宏亮等[7]將單元生長進(jìn)化算法結(jié)合變密度(Solid Isotropic Microstructures/Material with Penalization，SIMP)材料理論模型和有限元方程對(duì)大型油船(Very Large Crude Carrier，VLCC)中剖面橫撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到一種VLCC輕量化的設(shè)計(jì)方案。王興[8]提出一種改進(jìn)的適用于開孔板的BESO算法，在ANSYS有限元軟件中基于APDL語言編寫優(yōu)化程序，并對(duì)不同孔形的開孔薄板進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果顯示拓?fù)鋬?yōu)化可進(jìn)行孔形優(yōu)化計(jì)算。邱偉強(qiáng)等[9]對(duì)單縱艙壁型VLCC進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，建立油船艙段拓?fù)鋬?yōu)化基結(jié)構(gòu)，分別根據(jù)SIMP法和BESO法，以船體結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)合CSR-H規(guī)范載荷條件和邊界條件，得到油船艙段主要支撐結(jié)構(gòu)下拓?fù)鋬?yōu)化的清晰構(gòu)型。盡管結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在船舶設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用已逐漸引起關(guān)注，但在船體板材開孔的拓?fù)鋬?yōu)化方面還鮮有研究，因此，借助拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)船體板進(jìn)行開孔優(yōu)化。以船體梁腹板開孔為研究對(duì)象，引進(jìn)含滿意度權(quán)重因子的折中規(guī)劃法，對(duì)傳統(tǒng)BESO方法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種適用于多工況船體結(jié)構(gòu)孔形優(yōu)化的BESO方法。

1 傳統(tǒng)BESO方法

BESO方法是QUERIN借鑒滿應(yīng)力思想將ESO與AESO(Additive Evolutionary Structural Optimization)兩種優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合得到的，不僅能刪除低效和無效的單元，而且能在高應(yīng)力區(qū)增加單元，從而尋求結(jié)構(gòu)最優(yōu)解[4]。BESO方法解決了ESO方法只能單向刪除單元的缺點(diǎn)，可在較少的優(yōu)化區(qū)域內(nèi)快速地優(yōu)化出最佳構(gòu)型。

基于應(yīng)力的BESO方法的實(shí)現(xiàn)原理是在低應(yīng)力區(qū)有層次地刪除低應(yīng)力單元，對(duì)于高應(yīng)力區(qū)可在其周圍添加單元以降低單元應(yīng)力。通過引入單元添加率RI、單元?jiǎng)h除率RR、穩(wěn)態(tài)數(shù)NSS和振蕩數(shù)NON確定每次迭代計(jì)算時(shí)單元的刪除或添加情況[10]。

BESO方法優(yōu)化得到的材料結(jié)構(gòu)可更均勻地承擔(dān)載荷，使材料結(jié)構(gòu)中所有的單元應(yīng)力更均衡。最大von Mises應(yīng)力(第四強(qiáng)度理論)是常用的優(yōu)化準(zhǔn)則之一。

二維平面結(jié)構(gòu)的von Mises應(yīng)力為

(1)

三維立體結(jié)構(gòu)的von Mises應(yīng)力為

(2)

式中：σx、σy、σz分別為x、y、z方向的正應(yīng)力；τxy、τyz、τzx分別為不同方向的剪應(yīng)力。

對(duì)結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力σe,vm和整體結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力σmax,vm進(jìn)行商運(yùn)算：若兩者比值小于當(dāng)前的單元?jiǎng)h除率RR，則表明這類單元屬于低應(yīng)力單元，需要進(jìn)行刪除；若其比值大于當(dāng)前的單元添加率RI，則表明這類單元屬于高應(yīng)力單元，其周圍需要添加單元；若其比值處于RR與RI之間，則這類單元需要保留[10-11]。

2 改進(jìn)BESO方法

傳統(tǒng)的BESO方法在全局范圍內(nèi)尋求最優(yōu)布局，無法只對(duì)開孔進(jìn)行優(yōu)化，需要進(jìn)行改進(jìn)以應(yīng)用于船體結(jié)構(gòu)孔形優(yōu)化設(shè)計(jì)。將體積減輕比作為優(yōu)化目標(biāo)、孔邊應(yīng)力作為約束，基于含滿意度權(quán)重因子的折中規(guī)劃法，對(duì)傳統(tǒng)的BESO方法進(jìn)行一定的改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)多工況船體開孔的孔形優(yōu)化。

2.1 含滿意度因子的折中規(guī)劃法

2.1.1 折中規(guī)劃法

解決多目標(biāo)優(yōu)化問題較常用的方法是線性加權(quán)法，這種方法在實(shí)際操作中較易實(shí)現(xiàn)，但在求解非凸優(yōu)化問題時(shí)無法得到所有最精確的解。在構(gòu)建多目標(biāo)函數(shù)的方法中，折中規(guī)劃法應(yīng)用范圍較廣，可將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單個(gè)數(shù)值的目標(biāo)函數(shù)，然后把多目標(biāo)優(yōu)化問題的解轉(zhuǎn)化為與每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的理想解距離最小的矢量，即把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題[12]。

基于應(yīng)力優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)折中規(guī)劃法進(jìn)行改進(jìn)，基本原理為將多個(gè)工況的子目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)函數(shù)，對(duì)每個(gè)工況下的單元應(yīng)力進(jìn)行歸一化處理，使單元應(yīng)力在0～1變化，然后對(duì)各工況下的單元應(yīng)力進(jìn)行合并，得到所有工況耦合后的單元應(yīng)力。此方法可使優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)明顯減輕載荷的“病態(tài)”現(xiàn)象[13]。改進(jìn)的數(shù)學(xué)模型為

(3)

2.1.2 滿意度理論

折中規(guī)劃法的不足在于設(shè)計(jì)者需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定各目標(biāo)所占比例的權(quán)重因子，此權(quán)重因子為靜態(tài)值，不能精確地表示優(yōu)化迭代的動(dòng)態(tài)過程。將滿意度理論與折中規(guī)劃法相結(jié)合以控制權(quán)重因子wi，應(yīng)用到BESO優(yōu)化算法中使權(quán)重因子根據(jù)滿意度的變化進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。

定義滿意度因子q來衡量對(duì)優(yōu)化過程的滿意程度。q=1表示優(yōu)化結(jié)果滿意度最高；q=0表示優(yōu)化結(jié)果滿意度最低；當(dāng)q為0～1的實(shí)數(shù)時(shí)，表示優(yōu)化結(jié)果的滿意度處于兩者之間。滿意度因子qk為

(4)

式中：Ck為目標(biāo)函數(shù)值；Ck,n為第k個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最差值；Ck,m為第k個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最理想值。

滿意度權(quán)重因子wk的表達(dá)式為

(5)

控制滿意度權(quán)重因子能夠改善權(quán)重對(duì)優(yōu)化迭代過程的影響，從而使各優(yōu)化目標(biāo)達(dá)到相對(duì)平衡。

同理，基于應(yīng)力優(yōu)化準(zhǔn)則，將孔邊單元約束應(yīng)力設(shè)置為式(4)中的最理想值，第k個(gè)工況下孔邊單元最小應(yīng)力設(shè)置為最差值，第k個(gè)工況下的單元應(yīng)力設(shè)置為優(yōu)化迭代值，則改進(jìn)后的滿意度因子為

(6)

式中：F為第k個(gè)工況下單元應(yīng)力；FE,min為第k個(gè)工況下最小孔邊應(yīng)力；FY為第k個(gè)工況下孔邊約束應(yīng)力。

BESO方法不僅可刪除單元，而且在應(yīng)力大的單元周圍需要添加單元，因此為更好地判斷單元應(yīng)力大小，改進(jìn)后的滿意度權(quán)重因子wk與滿意度qk呈正相關(guān)關(guān)系。當(dāng)?shù)鷳?yīng)力接近約束應(yīng)力時(shí)，滿意度qk相應(yīng)增大，表明此單元應(yīng)力大，可能屬于高應(yīng)力，需要在單元周圍添加單元，單元滿意度權(quán)重因子wk則相應(yīng)增大；反之，當(dāng)?shù)鷳?yīng)力接近孔邊最小應(yīng)力時(shí)，滿意度qk相應(yīng)減小，表明此單元應(yīng)力小，可能屬于低應(yīng)力，需要?jiǎng)h除單元，單元滿意度權(quán)重因子wk則相應(yīng)減小。改進(jìn)后的wk為

(7)

2.2 傳統(tǒng)BESO方法的改進(jìn)措施

(1)將體積減輕比作為優(yōu)化目標(biāo)，孔邊應(yīng)力作為約束。體積減輕比V公式為

(8)

式中：Vf為每次優(yōu)化迭代結(jié)束時(shí)的設(shè)計(jì)域體積；Vi為初始設(shè)計(jì)域體積。

(2)改進(jìn)單元?jiǎng)h除和添加的公式，兩者為刪除添加單元的判據(jù)。

(9)

式中：Fi為由式(3)得到的應(yīng)力；Ft為應(yīng)力閥值，其取值由實(shí)際優(yōu)化要求決定。單元?jiǎng)h除率RR和單元添加率RI計(jì)算式為

他目前最憧憬的事，就是到了50歲，還能有充足的熱血開著越野吉普上路，彼時(shí)兒子19歲，可以拿到駕照陪他走這兄弟般的長途了，他將帶著他，到那些鏡頭里的故事的發(fā)生地去，追溯父輩的青春。

RR=r0+r1NSS+aRRNON

(10)

RI=i0-i1NSS+aRINON

(11)

式中：r0、r1、i0、i1為常數(shù)，根據(jù)實(shí)際優(yōu)化要求決定取值；aRR和aRI為振蕩常數(shù)，同樣根據(jù)實(shí)際的優(yōu)化要求決定取值；NSS為穩(wěn)態(tài)數(shù)；NON為振蕩數(shù)。

2.3 改進(jìn)BESO方法的實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)第2.2節(jié)，首先設(shè)置模型結(jié)構(gòu)參數(shù)特別是設(shè)計(jì)域的網(wǎng)格尺寸，對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算分析，然后根據(jù)含有滿意度因子的折中規(guī)劃法，得到優(yōu)化過程中的動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)及式(3)中的應(yīng)力，最后對(duì)孔邊單元進(jìn)行分析，判斷單元是否刪除或者添加。改進(jìn)后的BESO方法的流程圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)BESO優(yōu)化算法的流程圖

3 算例驗(yàn)證與分析

通過ANSYS二次開發(fā)語言APDL進(jìn)行編程，選取某船體梁腹板開孔結(jié)構(gòu)，運(yùn)用子模型技術(shù)得到優(yōu)化域，通過改進(jìn)BESO方法對(duì)開孔進(jìn)行孔形優(yōu)化，以檢驗(yàn)改進(jìn)后BESO方法的可靠性。

3.1 分析對(duì)象及有限元模型

如圖2所示，船體梁結(jié)構(gòu)梁長為4 680 mm，腹板高為380 mm，上翼緣寬為780 mm，下翼緣寬為160 mm。腹板的橢圓開孔長為760 mm，寬為190 mm，兩端圓弧直徑為190 mm。結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示，模型網(wǎng)格尺寸如下：非開孔區(qū)為80 mm，過渡區(qū)為40 mm，開孔區(qū)為10 mm，板厚為20 mm。材料為船用高強(qiáng)度鋼，密度為7 850 kg/m3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3。

單位：mm圖2 開孔梁幾何模型

圖3 開孔梁有限元模型

3.2 約束載荷

船體梁結(jié)構(gòu)的約束以及載荷如下：梁兩端為固定約束，載荷工況1為均布面載荷1 N/mm2作用于開孔梁的上翼緣面板，工況2為均布面載荷1 N/mm2作用于開孔梁的下翼緣面板。

3.3 子模型方法

子模型方法又稱切割邊界位移法或特定邊界位移法。切割邊界就是將子模型從整個(gè)較粗糙模型分割開的邊界。整體模型切割邊界的計(jì)算位移即為子模型的邊界條件。子模型基于圣維南原理，即如果實(shí)際分布載荷被等效載荷代替后，應(yīng)力和應(yīng)變只在載荷施加位置附近有改變。這說明只有在載荷集中位置才有應(yīng)力集中效應(yīng)，若子模型的位置遠(yuǎn)離應(yīng)力集中位置，則在子模型內(nèi)就可得到較精確的結(jié)果[14]。

在此船體梁結(jié)構(gòu)中，開孔區(qū)域上下邊界存在面板，左右邊界有肘板，因此只需考慮腹板開孔周圍區(qū)域。通過子模型技術(shù)，將船體梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行切割，得到所需的子模型。圖4為工況1下局部放大模型開孔附近區(qū)域的應(yīng)力分布與子模型技術(shù)分析得到的開孔附近區(qū)域的應(yīng)力分布，將兩者進(jìn)行對(duì)比，子模型中應(yīng)力分布與局部放大模型的應(yīng)力狀態(tài)完全吻合。因此，開孔子模型技術(shù)可代替整體模型分析，準(zhǔn)確地模擬孔邊應(yīng)力分布情況。

圖4 局部放大結(jié)構(gòu)與子模型對(duì)比(工況1)

3.4 結(jié)果比較

3.4.1 優(yōu)化過程及結(jié)果分析

圖5為子模型結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代進(jìn)程。由圖5可知，隨著優(yōu)化迭代的進(jìn)行，開孔面積不斷增大，孔形從腰圓孔變成了近似倒扣碗形，在37次優(yōu)化迭代后，優(yōu)化目標(biāo)體積減輕比達(dá)30.01%，并且單元最大應(yīng)力沒有超過應(yīng)力約束(550 MPa)，說明開孔結(jié)構(gòu)達(dá)到所設(shè)定的優(yōu)化條件的最佳構(gòu)型。同時(shí)在優(yōu)化過程中沒有出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，這就表明改進(jìn)的單元?jiǎng)h除、添加公式可靠。

圖5 優(yōu)化過程中的拓?fù)渥兓?/p>

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，對(duì)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)孔形進(jìn)行對(duì)比，由圖6可知，優(yōu)化后的孔形體積明顯增大，在優(yōu)化歷程中腰圓底部邊界單元不斷被激活以彌補(bǔ)較弱的下翼緣，使得開孔下邊界成為一條水平邊界，而上部邊界及兩側(cè)單元由于應(yīng)力較低被逐漸刪除，開孔形狀由原來的腰圓形變成了近似倒扣碗形。

圖6 優(yōu)化前后孔形對(duì)比

圖7為優(yōu)化前后設(shè)計(jì)域單元應(yīng)力云圖：在孔形優(yōu)化前，最大應(yīng)力集中在開孔的下邊界至設(shè)計(jì)域的下翼緣，這一區(qū)域的應(yīng)力接近應(yīng)力云圖的最大值，表明開孔的存在導(dǎo)致應(yīng)力集中現(xiàn)象產(chǎn)生；在孔形優(yōu)化后，開孔的邊界單元沒有出現(xiàn)大片區(qū)域的應(yīng)力接近應(yīng)力云圖的最大值，只有個(gè)別單元的應(yīng)力接近最大值，說明優(yōu)化后的孔形并不存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，而且單元應(yīng)力分布更均勻、合理。

圖7 優(yōu)化前后設(shè)計(jì)域單元應(yīng)力云圖

表1為優(yōu)化前后兩工況孔邊應(yīng)力對(duì)比：在工況1載荷下，孔邊最大應(yīng)力由438.18 MPa降至407.73 MPa，最小應(yīng)力由18.82 MPa升至34.01 MPa，孔邊最大應(yīng)力降低且最大與最小應(yīng)力間的差值減小；在工況2載荷下，最大應(yīng)力由90.01 MPa升至143.42 MPa，2個(gè)工況最大應(yīng)力之間的差值縮小，使應(yīng)力分布更均勻，最小應(yīng)力的變化可忽略不計(jì)。

表1 優(yōu)化前后兩工況孔邊單元應(yīng)力對(duì)比 MPa

3.4.2 孔邊應(yīng)力及體積分析

圖8為2個(gè)工況下孔邊最大應(yīng)力變化圖與體積減輕比變化圖。由圖8可知，在優(yōu)化過程中：工況1的孔邊最大應(yīng)力不斷變化，呈現(xiàn)波動(dòng)趨勢，但是最終的孔邊最大應(yīng)力小于初始結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力，并且沒有超出應(yīng)力約束；工況2的孔邊最大應(yīng)力呈現(xiàn)上升的趨勢，與初始相比更接近約束應(yīng)力；體積減輕比隨迭代次數(shù)的增加不斷上升，表明優(yōu)化減重效果明顯。

圖8 孔邊最大應(yīng)力與體積減輕比變化曲線

圖9為優(yōu)化前后2個(gè)工況的孔邊應(yīng)力變化對(duì)比圖：優(yōu)化后孔邊單元應(yīng)力曲線橫軸為以圖6中A點(diǎn)為起始點(diǎn)，順時(shí)針繞孔邊一周的單元所對(duì)應(yīng)的角度；初始孔邊單元應(yīng)力曲線橫軸為以圖6中B點(diǎn)為起始點(diǎn)，順時(shí)針繞孔邊一周的單元所對(duì)應(yīng)的角度。工況1，優(yōu)化后孔邊單元被刪除，開孔邊界不光順，導(dǎo)致優(yōu)化后的孔邊應(yīng)力波動(dòng)較大，與優(yōu)化前相比孔邊應(yīng)力變化趨勢不明顯，但是優(yōu)化后的孔邊大多數(shù)單元應(yīng)力處于100～300 MPa，少數(shù)超出300 MPa，優(yōu)化后的孔邊最大應(yīng)力變小，最小應(yīng)力變大，說明在此工況下，優(yōu)化后的孔邊應(yīng)力相互靠近，單元應(yīng)力差值減小，應(yīng)力集中現(xiàn)象得到了緩解。工況2，由于初始應(yīng)力值小，最大應(yīng)力僅為90 MPa，與應(yīng)力約束值(550 MPa)差距較大，因此在優(yōu)化過程中低應(yīng)力區(qū)的單元被刪除較多，優(yōu)化后整體應(yīng)力較初始應(yīng)力有所提高，優(yōu)化后孔邊應(yīng)力處于0～150 MPa，不存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，表明結(jié)構(gòu)材料利用率提升。

圖9 優(yōu)化前后孔邊應(yīng)力對(duì)比

由此，在船體梁腹板結(jié)構(gòu)減輕30.01%重量的情況下，改進(jìn)后的BESO方法可有效地緩解孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象，提升船體結(jié)構(gòu)材料利用率，并且提高結(jié)構(gòu)性能，達(dá)到輕量化的目標(biāo)。

4 結(jié) 論

在傳統(tǒng)的BESO方法基礎(chǔ)上提出一種適用于多工況船體開孔孔形優(yōu)化的改進(jìn)BESO方法。以船體梁腹板開孔結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行優(yōu)化，得到新式孔形，達(dá)到了輕量化的目的，并得出如下結(jié)論：

(1)建立含有滿意度因子的折中規(guī)劃法的多工況結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，通過算例證明該模型可為多工況優(yōu)化問題提供動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)，將多工況單元應(yīng)力進(jìn)行耦合，有效解決多工況船體結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

(2)船體梁腹板開孔經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化得到的新式孔形，在結(jié)構(gòu)體積減小的前提下，緩解應(yīng)力集中現(xiàn)象，提高船體結(jié)構(gòu)材料利用率，體現(xiàn)了改進(jìn)的BESO方法在孔形優(yōu)化方面的有效性。

(3)改進(jìn)后的BESO方法，改進(jìn)了單元?jiǎng)h除率與添加率公式，以體積減輕比作為優(yōu)化目標(biāo)，將孔邊應(yīng)力作為約束，可以在結(jié)構(gòu)體積減小的情況下提高力學(xué)性能，達(dá)到輕量化的目的。

(4)采用改進(jìn)BESO優(yōu)化方法可得到在設(shè)定條件下的船體梁結(jié)構(gòu)腹板開孔的最佳孔形，為船舶建造設(shè)計(jì)工程實(shí)際提供理論和技術(shù)支撐。