趙竑愷 張國志 王萍

摘 要：對于設計壽命之前很少失效，設計壽命之后失效比例大幅增加的一類存儲產品，其壽命變量用ZZ分布來描述較為合適?；谥鸫味〝到匚矘颖?，首先利用泰勒展式將似然函數中的非線性部分轉化為線性表達，使似然方程可解，進而得到參數的近似極大似然估計。其次，運用最佳線性無偏估計法，給出了參數無偏估計的一般解析表達式，同時針對兩種特殊逐次定數截尾樣本，進一步化簡了估計的表達形式，且為便于使用，給出了計算所需數表的構造公式。最后對兩種估計做了數值模擬比較，結果表明ZZ分布的最佳線性無偏估計優(yōu)于近似極大似然估計。

關鍵詞：ZZ分布;極大似然估計;近似極大似然估計;最佳線性無偏估計

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.023

中圖分類號： O231

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）03-0153-07

Parameter Estimation of ZZ Distribution under

Progressive Type-II Censored Data

ZHAO Hong-kai， ZHANG Guo-zhi， WANG Ping

（School of Science， Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：ZZ distribution is suitable to describe the life variable of a type of storage products that rarely fail before a given design life， and the proportion of failures has increased significantly after the design life. Based on a progressive type-II censored sample， firstly using Taylor′s formula to transform the the nonlinear part of the likelihood function into a linear expression， the likelihood equation is solvable， and the approximate maximum likelihood estimation（AMLE） of the parameter is given. Secondly， using the best linear unbiased estimation（BLUE） method， a general analytical expression of the parameter is given. At the same time， the expression form of the estimation is further simplified for two kinds of special progressive type-II censored sample and the required number table is constructed for the convenience of use. Finally， a numerical comparison of the two methods is performed， and the results show that the best linear unbiased estimation of ZZ distribution is better than the approximate maximum likelihood estimation.

Keywords：ZZ distribution; maximum likelihood estimation; approximate maximum likelihood estimation; best linear unbiased estimation

0 引 言

傳統(tǒng)的定時和定數截尾數據有一個共同的特點：在截尾時間點和截尾數上缺少靈活性，即在壽命試驗中不允許有樣品在試驗中途退出試驗。然而有些試驗樣品非常昂貴或者在研究耐久性試驗時，如果試驗人員為了減少試驗時間希望在一些時間點將一些未失效的產品移出試驗，傳統(tǒng)的截尾樣本數據就不適用了。隨著基礎理論的發(fā)展和實際應用中的需要，逐次定數截尾數據近年來受到廣泛關注。

有關逐次定數截尾數據的研究，在國外，最早研究這類數據問題的文獻可以追溯到1963年，文[1-3]詳細的討論了逐次截尾數據下針對常見幾種分布的推斷問題。1995年后，Sandhu等[4]給出了獲得逐次定數截尾樣本數據的抽樣方法。Balasooryia等[5]和Tse等[6]分別在兩參數指數分布和韋布爾分布下基于逐次定數截尾數據推導出了諸可靠性指標。Balakrishnan等[7]的著作對逐次定數截尾壽命試驗進行了深入研究，給出了相關模型較為詳細的闡述。Balakrishnan等[8-12]討論了逐次定數截尾樣本下正態(tài)分布、指數分布和極值分布參數的極大似然估計、區(qū)間估計和假設檢驗問題。Soliman[13]研究了服從Burr-XII分布的極大似然估計和Bayes估計。Mahmoud[14]推導出了逐次定數截尾樣本下來自韋布爾-伽瑪分布的順序統(tǒng)計量的近似矩，并利用近似矩得到了參數的最佳線性無偏估計和極大似然估計。Singh等[15]研究了對數正態(tài)分布模型的統(tǒng)計分析問題，得到了參數的極大似然估計和Bayes估計。Mahmoud等[16]得到指數-帕累托參數的極大似然估計，并利用近似矩求得參數的最佳線性無偏估計。

國內對逐次定數截尾數據的研究始于上世紀九十年代，賀國芳等[17]說明了在實際問題中經常遇到這類數據，因此有必要討論這類數據的統(tǒng)計分析方法。徐曉玲等[18]和王炳興[19]討論了Weibull分布基于逐次定數截尾壽命數據的參數估計，分別得到了參數的極大似然估計、逆矩估計以及區(qū)間估計。楊君慧等[20]給出了廣義指數分布參數和可靠度函數的極大似然估計，并在熵損失和加權平方損失函數下，給出參數和可靠度函數的Bayes估計。楊敏[21]基于平方損失函數和LINEX損失函數，討論了雙參數Rayleigh分布參數的貝葉斯估計。羅嘉成等[22]探討了Lomax分布的形狀參數和可靠性指標的Bayes估計。

由于上述給出的研究均基于常見的幾種壽命分布，然而有些存儲產品，在給定的設計壽命之前很少失效，過了設計壽命之后失效的比例大幅增加，再用常見一些分布進行統(tǒng)計推斷得到的結果與實際明顯不符。張寧[23]給出一個較好解決上述存儲產品壽命的ZZ分布，并對這類產品的可靠性指標在截尾數據情況下進行了相關的統(tǒng)計分析。

此外，上述對逐次定數截尾數據的研究，所獲得的大多是參數極大似然估計和貝葉斯估計的數值解，并未給出具體的解析表達式，且研究多基于幾種常見分布，并不能涵蓋所有產品的壽命類型，因此本文在逐次定數截尾樣本下，試給出ZZ分布參數估計的解析表達式，并配以數表以便使用。

1 ZZ分布與逐次定數截尾試驗

1.1 ZZ分布

ZZ分布的分布函數F（t），密度函數f（t），失效率函數分別是λ（t）[23]：

F（t）=1-exp1-etηm，t>0

f（t）=mtm-1ηm·e（tη）m·e1-e（tη）m，t>0

λ（t）=mtm-1ηm·e（tη）m，t>0

它含有兩個參數η>0與m>0，記為ZZ（m，η），其中η稱為特征壽命，m稱為形狀參數。

1.2 逐次定數截尾試驗

產品實施逐次增加定數截尾試驗的操作如下：從一批產品中隨機抽取n個獨立同分布產品在相同環(huán)境和應力條件下同時進行壽命試驗，當觀察到第1個樣品失效時刻XR1∶r∶n時，在剩下的n-1個未失效的樣品中任意抽取R1個撤離試驗，還有n-1-R1個未失效的產品留下繼續(xù)試驗;當觀察到第2個樣品失效時刻XR2∶r∶n時，在剩下的n-2-R1個未失效樣品中任意抽取R2個撤離試驗，將余下n-2-R1-R2個未失效樣品留下繼續(xù)進行試驗;如此下去，直至觀察到r個樣品失效時刻XRr∶r∶n時結束試驗，此時余下的Rr=n-r-R1-R2-…-Rr-1個樣品退出試驗。則XR1∶r∶n

考慮到在上述失效時刻XRj∶r∶n，j=1，2，…，r，都會隨機移出Rj個元件退出試驗，故上述觀察到的失效時間不再是容量為n的樣本的前r個次序觀測值，而是n個次序統(tǒng)計量中的某r個順序觀測值。實際上，可以將XR1∶r∶n看成容量為n的壽命為t1

設X=[XR1∶r∶n，XR2∶r∶n，…，XRr∶r∶n]是來自ZZ分布逐次定數截尾的樣本，R=[R1，R2，…，Rr]是試驗中相應被移出的產品數，為書寫方便，簡記Xj≡XRj∶r∶n，j=1，2，…，r，則逐次定數截尾下ZZ分布的極大似然函數為

L=c∏rj=1f（xj）[1-F（xj）]Rj=

cmrηmr∏rj=1xm-1j·exp∑rj=1（Rj+1）1-exjηm+∑rj=1xmjηm（1）

其中

c=n（n-1-R1）（n-2-R1-R2）…（n-r-R1-R2-…-Rr+1）是與未知參數無關的常數因子。

2 近似極大似然估計

針對ZZ分布在逐次定數截尾樣本下的極大似然估計沒有解析解的情況，借鑒文[9]的方法，考慮近似似然函數，并求解顯示結果。

設隨機變量X～ZZ（m，η），則Y=lnX服從EZ分布[23]并且它的概率密度函數為

fy（μ，σ）=1σey-μσ·expey-μσ·exp1-expey-μσ

其中μ=lnη，σ=1/m。

μ=0，σ=1時標準的EZ分布的密度函數和分布函數有以下的形式：

fy（0，1）=ey·exp{ey}exp{1-exp{ey}}

F（y）=1-exp{1-exp{ey}}

X=[XR1∶r∶n，XR2∶r∶n，…，XRr∶r∶n]是來自ZZ分布逐次定數截尾的隨機樣本，令YRj∶r∶n=lnXRj∶r∶n，zRj∶r∶n=YRj∶r∶n-μσ，則z=[zR1∶r∶n，zR2∶r∶n，…，zRr∶r∶n]可看成來自標準EZ分布逐次定數截尾的隨機樣本，簡記z≡[z1，z2，…，zr]，那么由式（1）得到的似然函數可表示成以下式子：

L（μ，σ）=C1σr∏rj=1w（zj）（W（zj））Rj

其中：w（z）=exp{z+ez+[1-exp（ez）]}，W（z）=exp{1-exp（ez）}。

從而，對數似然函數為

lnL=-rlnσ+∑rj=1ln（w（zj））+∑rj=1Rj·ln（W（zj））

上式對μ，σ分別求偏導數，有

lnLμ=-1σ∑rj=1w′（zj）w（zj）-∑rj=1RjσW′（zj）W（zj）=

-1σ∑rj=1w′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjσw（zj）W（zj）

lnLσ=-mσ-∑rj=1zjσw′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjzjσw（zj）W（zj）

得到下列的似然方程組：

-∑rj=1w′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjw（zj）W（zj）=0（2）

-m-∑rj=1zjw′（zj）w（zj）+∑rj=1Rjzjw（zj）W（zj）=0（3）

由式（2）和式（3）組成的似然方程組不能解出和的明顯表達式。由于式（2）和式（3）不能直接解出是w′（zj）/w（zj）和w（zj）/W（zj）引起的，根據文[9]中給出的方法，利用泰勒展式在點cj=E（zj）處將w′（zj）/w（zj）和w（zj）/W（zj）近似展開。其中，zj=F-1（Uj），Uj，j=1，2，…，r是來自于總體為U（0，1）均勻分布的逐次定數截尾樣本。由于cj=E（zj）直接求解比較困難，而E（Uj）在文[4]中已有結論，故有如下的近似式

cj=E（zj）≈F-1（E（Uj））

其中F-1（Uj）=lnln（1-ln（1-Uj）），且

pj=E（Uj）=1-∏rl=r-j+1l+Rr+Rr-1+…Rr-l+11+l+Rr+Rr-1+…Rr-l+1，qj=1-pj，j=1，2，…，r。如此，能得到如下的展開式：

w′（zj）w（zj）≈aj-bjzj

w（zj）W（zj）≈1-aj+bjzj

其中，

aj=w′（cj）w（cj）-cjw″（cj）w（cj）-w′（cj）w（cj）2=

1+ecj[1-cj-（1+cj）exp（ecj）-cjexp（ecj）ecj]=

1+ln（1-lnqj）[1-lnln（1-lnqj）-

（1+lnln（1-lnqj））（1-lnqj）-

lnln（1-lnqj）ln（1-lnqj）（1-lnqj）]

bj=w′（cj）w（cj）2-w″（cj）w（cj）=

ecj[exp（ecj）·ecj+exp（ecj）-1]=

ln（1-lnqj）[（1-lnqj）·ln（1-lnqj）-lnqj]

那么極大似然方程組式（2）和式（3）能近似表示如下

-∑rj=1（aj-bjzj）+∑rj=1Rj（1-aj+bjzj）=0（4）

-r-∑rj=1（aj-bjzj）zj+∑rj=1Rj（1-aj+bjzj）zj=0（5）

將zj=yj-μσ代入式（4），化簡得：

=∑rj=1（1+Rj）bjyj∑rj=1（1+Rj）bj-∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj∑rj=1（1+Rj）bj（6）

記A=∑rj=1（1+Rj）bjyj∑rj=1（1+Rj）bj，B=∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj∑rj=1（1+Rj）bj，

則式（6）可以表示為

=A-B（7）

然后，再將zj=yj-μσ及式（7）代入式（5），得到關于的二次方程：

D2+E-H=0（8）

其中，

D=r+B∑rj=1aj-B∑rj=1Rj（1-aj）-B2∑rj=1bj-B2∑rj=1Rjbj=

r+B∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj-∑rj=1（1+Rj）aj-∑rj=1Rj=r

E=∑rj=1（aj+Rjaj-Rj）（yj-A）-2B∑rj=1（1+Rj）bj（yj-A）

H=∑rj=1（1+Rj）bj（yj-A）2>0

解方程式（8），得到關于的值：

=-E+E2+4rH2r

將求出的的值代入式（7）即可求出的值。

3 最佳線性無偏估計

設在逐次截尾R=[R1，R2，…，Rr]的試驗中，失效元件的壽命記為ti1≤ti2≤…≤tir，其下標看做是隨機向量（I1，I2，…，Ir）的一組觀測值，該隨機向量所有可能取值的集合記為G，設其分布律為P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir，其中[i1，i2，…，ir]∈G且1=i1≤i2≤…≤ir≤n。則在{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}條件下，有

F（tij）=1-exp1-etijηm，j=1，2，…，r

移項，并取三重對數后可得

lnln（1-ln（1-F（tij）））=mlntij-mlnη（9）

令Ti1，i2，…，ir=[Ti1，Ti2，…，Tir]T，其中Tij=lnln（1-ln（1-F（tij））），j=1，2，…，r。顯然F（ti1）

ETi1，i2，…，ir=ai1，i2，…，ir=[ai1，ai2，…，air]T，Σi1，i2，…，ir=E[Ti1，i2，…，ir-ai1，i2，…，ir][Ti1，i2，…，ir-ai1，i2，…，ir]T則Ti1，i2，…，ir均值和方差只與n和r有關，而不依賴于其它參數。那么式（9）可表示為

lntij=lnη+1maij+1mδij，j=1，2，…，r（10）

其中δi1，i2，…，ir=[δi1，δi2，…，δir]T，并且

E（δi1，i2，…，ir）=0，Cov（δi1，i2，…，ir）=Σi1，i2，…，ir。

再令

Yi1，i2，…，ir=[Yi1，Yi2，…，Yir]T=[lnti1，lnti2，…，lntir]T

Xi1，i2，…，ir=1ai11ai21ar

θ=（μ，σ）T，其中μ=lnη，σ=1m

εi1，i2，…，ir=1mδi1，i2，…，ir

將式（10）轉化為如下矩陣形式

Yi1，i2，…，ir=Xi1，i2，…，irθ+εi1，i2，…，ir，

Cov（εi1，i2，…，ir）=σ2Σi1，i2，…，ir。

根據高斯-馬爾科夫定理，用加權最小二乘法求得參數的最佳線性無偏估計（BLUE）

i1，i2，…，ir=i1，i2，…，ir

i1，i2，…，ir=

[X′i1，i2，…，ir-1i1，i2，…，irXi1，i2，…，ir]-1

X′i1，i2，…，ir×-1i1，i2，…，irYi1，i2，…，ir

當n，r及i1，i2，…，ir給定時，矩陣Xi1，i2，…，ir與Σi1，i2，…，ir都是已知的，所以為了便于使用，將參數的最佳線性無偏估計簡化如下形式

（i1，i2，…，ir）=∑rj=1D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij

（i1，i2，…，ir）=∑rj=1D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij

其中：D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）稱為μ（i1，i2，…，ir）的最佳線性無偏估計系數;D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）稱為σ（i1，i2，…，ir）的最佳線性無偏估計系數。

因此，在R=（R1，R2，…，Rr）下，ZZ分布參數最佳線性無偏估計的一般表達形式為

=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nPi1，i2，…，ir·（i1，i2，…，ir）（11）

=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nPi1，i2，…，ir·（i1，i2，…，ir）（12）

上面的表達式涉及到系數D0（i1，i2，…，ir，n，r，j），D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）和概率P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir的計算，本文僅對下面兩種情況，給出參數估計的簡化形式，并構造相應的數表計算公式，便于使用。

3.1 R=[n-r，0，0，…，0]1×r時的參數估計

當移出數據為R=[n-r，0，0，…，0]1×r時，n個元件參加試驗，在第一個元件失效時刻一次隨機移出n-r個未失效元件，剩下的r-1個元件繼續(xù)參加試驗直至全部失效。ti1

P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir=1/Cr-1n-1

由式（11）和式（12）得ZZ分布參數估計可表示為如下形式

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n（i1，i2，…，ir）

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n（i1，i2，…，ir）

令

1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

則R=[n-r，0，0，…，0]1×r時ZZ分布的最佳線性無偏估計如下

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n∑rj=1D0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=11Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nD0（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=1D′0，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）lntij

R=（n-r，0，0，…，0）=1Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤n∑rj=1D1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=11Cr-1n-1∑（i1，i2，…，ir）∈G1=i1≤i2≤…≤ir≤nD1（i1，i2，…，ir，n，r，j）lntij=

∑rj=1D′1，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）lntij

為了便于計算參數的估計，其系數D′0，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）和D′1，R=（n-r，0，0，…，0）（n，r，j）在n=5到n=20時已由計算機給出。

3.2 R=[1，1，…，1，0，0，…，0]1×r時的參數估計

在每次失效時刻XRj∶r∶n，j=1，2，…，r分別移出1個未失效產品的情況：n個元件參加試驗，設有r個失效，且在每次失效時刻移出1個未失效元件。在R=[1，1，…1，0，0，…，0]1×r時，每種情況可能出現的概率P{I1=i1，I2=i2，…，Ir=ir}≡Pi1，i2，…，ir不再相等，但其計算可借助計算機完成，最終體現在后面的數表中。

由式（11）和式（12），移出數據為R=[1，1，…，1，0，…，0]1×r的ZZ分布的最佳線性無偏估計表示如下

R=（1，…，1，0，…，0）=∑rj=1D′0，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）lntij

R=（1，…，1，0，…，0）=∑rj=1D′1，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）lntij

其中，

D′0，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

D0（ii，i2，…，ir，n，r，j）

D′1，R=（1，…，1，0，…，0）（n，r，j）=∑（i1，i2，…，ir）∈G1=ii

D1（ii，i2，…，ir，n，r，j）

為了便于計算參數的估計，其系數D′0，R=（1，1，…，1，0，…，0）（n，r，j）和D′1，R=（1，1，…，1，0，…，0）（n，r，j）在n=5到n=20時已由計算機給出。

4 數值模擬

基于Monte Carlo模擬，給出以上兩種方法下ZZ分布參數的估計結果。根據文[4]給出的算法，產生ZZ分布下逐次定數截尾數據的步驟如下：

1）產生r個來自均勻分布U（0，1）的獨立隨機樣本W1，W2，…，Wr;

2）在預先設定的逐次定數截尾移出數據

R=[R1，R2，…，Rr]下，令

Vj=W1/（j+Rr+Rr-1+…Rr-j+1）j，j=1，2，…，r;

3）再令Uj=1-VrVr-1…Vm-i+1，j=1，2，…，r，則U1，U2，…，Ur是來自均勻分布U（0，1）的逐次定數截尾數據;

4）令Xj=F-1（Uj），j=1，2，…，r，得到來自ZZ分布的逐次定數截尾試驗數據，其中F-1（·）是ZZ分布函數的反函數，

Xj=（β·ln（1-ln（1-Uj）））1/m，j=1，2，…，r。

設定兩組不同樣本量和兩組不同的移出數據，根據3.1和3.2節(jié)方法，構造最佳線性無偏估計的系數值分別如表1和表2所示。

應用上述數據，模擬得參數估計的結果如表3所示。

從表3中可以看出，最佳線性無偏估計結果和近似極大似然估計結果都較接近參數真值，且最佳線性無偏估計結果較優(yōu)。因此，二者均可應用于壽命服從ZZ分布、逐次定數截尾壽命試驗下的參數估計。

5 結 論

本文基于逐次定數截尾壽命試驗模型，運用近似極大似然法和最佳線性無偏估計法，對產品壽命服從ZZ分布的參數進行了統(tǒng)計分析。主要構建了r維不可觀測但可求分布的隨機向量，據此將收集到的逐次定數截尾樣本數據轉化為一定概率分布條件下的順序統(tǒng)計量，進而給出ZZ分布參數的最佳線性無偏估計，并可依據構造出的數表再進行簡單計算即得到參數的估計值。且此法具有的解析表達形式、運用數表計算方便等優(yōu)點，易可應用到Weibull分布或其他指數型壽命分布中。

參 考 文 獻：

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（編輯：溫澤宇）