廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆 偉

圓錐曲線與直線的位置關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結(jié)論,如定值問(wèn)題,這些結(jié)論看似特殊,實(shí)則具有普遍性,且往往具有豐富的命題背景和深厚的內(nèi)涵,研究此類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質(zhì),還能透過(guò)試題挖掘隱含的命題規(guī)律,更能將其拓展到一般情況,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以2021年北京市豐臺(tái)區(qū)模擬考試解析幾何試題為例進(jìn)行說(shuō)明.

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目(2021年北京豐臺(tái)區(qū)模擬)已知橢圓1(a ＞b ＞0)過(guò)A(0,2),B(-3,-1)兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線AB與x軸交于點(diǎn)M(m,0),過(guò)點(diǎn)M作不垂直于坐標(biāo)軸且與AB不重合的直線l,l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),直線AC,BD分別交直線x=m于點(diǎn)P,Q,求證:為定值.

分析本題主要考查對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、線段長(zhǎng)度定值等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用,考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,側(cè)重考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.試題梯度明顯,既能讓絕大多數(shù)考生有所收獲,又能區(qū)分不同層次的學(xué)生,下面著重探討第二問(wèn).第二問(wèn)要證明的線段PM和MQ的比值,解決思路是聯(lián)立直線l與橢圓方程,利用C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示兩個(gè)線段長(zhǎng)度,再結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.本題立意深刻、內(nèi)涵豐富,具有一定的典型性、代表性,極具探究?jī)r(jià)值,是一道值得研究的好題.

2 解法探究

解答(1)橢圓E的方程為= 1,過(guò)程從略;以下考慮(2)的解答.

解法1依題意知m=-2, 設(shè)直線l方程y=k(x+2)(k /= 0,1),C(x1,y1),D(x2,y2), 直線與橢圓聯(lián)立:得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-12=0,且Δ＞0,則x1+x2=記直線AC方程為:y=+2,又點(diǎn)P在直線AC上,當(dāng)x=-2 時(shí),得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP=同理可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為yQ=從而

評(píng)注本解法要解決線段長(zhǎng)度比值, 先聯(lián)立l與E的方程并借助韋達(dá)定理求解, 設(shè)出點(diǎn)C,D的坐標(biāo)并表示點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo), 難點(diǎn)是這一不對(duì)稱形式讓學(xué)生不知所措,實(shí)際上是要結(jié)合三個(gè)參數(shù)k,x1,x2的等量關(guān)系進(jìn)行配湊,然后通過(guò)代數(shù)恒等變形消參數(shù)求得定值,解題思路較為常規(guī),只是運(yùn)算量較大,要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力.

解法2由m=-2,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線l:x=ty-2 與橢圓聯(lián)立:=1 得: (t2+3)y2-4ty-8=0且Δ＞0,則y1+y2=,y1y2=-記直線AC方程為:y=+2,又點(diǎn)P在直線AC上,當(dāng)x=-2時(shí),得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP=同理可求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為yQ=從而

評(píng)注解法2 通過(guò)直線方程的另一種方式與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理求解;另外將幾何結(jié)論代數(shù)化,即利用點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求解定值,極大簡(jiǎn)化求解過(guò)程,實(shí)現(xiàn)高效解題.

3 基于GeoGebra 的探究與反思

通過(guò)對(duì)試題的分析和解答, 筆者在想這兩條段長(zhǎng)度比值為定值1(即兩線段相等)是必然還是偶然呢? 怎樣透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì), 揭示問(wèn)題的一般性規(guī)律? 數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò): 先猜,后證——這是大多數(shù)發(fā)現(xiàn)之道.于是筆者試著換了一個(gè)點(diǎn)M′(-1,0),過(guò)點(diǎn)M′作兩條不垂直于坐標(biāo)軸的直線AB,CD,直線AC,BD分別與x=-1 交于P,Q兩點(diǎn),P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)仍然互為相反數(shù);再換一些特殊點(diǎn)M重復(fù)上述操作過(guò)程,結(jié)論仍成立.筆者猜想: 當(dāng)點(diǎn)M(m,0)與直線l:x=m存在某種聯(lián)系時(shí),兩線段長(zhǎng)度恒相等,于是筆者通過(guò)借助GeoGebra 平臺(tái)進(jìn)行探究驗(yàn)證.通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證上述變量間的關(guān)系,同時(shí)為后面的代數(shù)證明提供更加直觀形象的思路支持.

實(shí)驗(yàn)(1)在GeoGebra 繪圖區(qū)先設(shè)置兩個(gè)“滑動(dòng)條”a,b, 輸入:x^2/a^2+y^2/b^2=1,得到橢圓C; (2)在工具欄設(shè)置“滑動(dòng)條”m,輸入點(diǎn)M(m,0)(m /=±a),并輸入直線x=m;(3)過(guò)點(diǎn)M作兩條不垂直于坐標(biāo)軸的直線分別與橢圓交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與x=m交于P,Q兩點(diǎn);(5)拖動(dòng)M點(diǎn),或者改變參數(shù)a,b的值,進(jìn)行演示,如圖1.

圖1

根據(jù)上述演示結(jié)果,我們可以將結(jié)論推廣到更一般的情況:

4 推廣結(jié)論 揭示本質(zhì)

結(jié)論1已知橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m /=±a)作兩條不垂直于坐標(biāo)軸的直線分別與橢圓交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點(diǎn);則|PM|=|MQ|.

證明平移直角坐標(biāo)系, 將坐標(biāo)原點(diǎn)O平移到點(diǎn)M得到坐標(biāo)系x′My′, 記橢圓與y′軸交于H,G兩點(diǎn), 顯然MG=MH, 不妨設(shè)H(0,t),G(0,-t),P(0,y′P),Q(0,y′Q),因?yàn)闄E圓過(guò)H,G兩點(diǎn), 故可設(shè)平移后的橢圓方程為ux′2+y′2+vx′y′+wx′-t2=0,另設(shè)直線AB,CD的方程分別為y′=k1x′,y′=k2x′,從而過(guò)點(diǎn)A,B,C,D的曲線系方程為ux′2+y′2+vx′y′+wx′-t2+λ(y′-k1x′)(y′-k2x′)=0,其中λ ∈R,令x′=0,則y′P,y′Q是方程(1+λ)y′2-t2=0的兩根,由根與系數(shù)關(guān)系可知y′P+y′Q=0,所以在平移后的坐標(biāo)系中有|PM|=|MQ|,因平移坐標(biāo)系不改變線段的長(zhǎng)度,從而|PM|=|MQ|.

評(píng)注上述結(jié)論1 同樣適用于雙曲線和拋物線,證明過(guò)程和結(jié)論1 相仿,此處不再贅述.

結(jié)論2已知雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0),過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m /=±a)作兩條不垂直于坐標(biāo)軸的直線分別與雙曲線交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點(diǎn),則|PM|=|MQ|.

結(jié)論3已知拋物線E:y2= 2px(p ＞0), 過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m /= 0)作兩條不垂直于坐標(biāo)軸的直線分別與拋物線交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點(diǎn),則|PM|=|MQ|.

5 背景探尋 追根溯源

至此,對(duì)上述題目基本結(jié)論的探究告一段落.但我們?nèi)杂幸蓡?wèn),為什么有這些結(jié)論呢? 這些結(jié)論的源頭在哪里? 我們知道,橢圓與圓有著緊密的聯(lián)系,它們具有許多相似的性質(zhì).我們不妨來(lái)考查圓中的結(jié)論,借助圓來(lái)探究一下這道題的背景.

結(jié)論4已知點(diǎn)M是⊙O外一點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)M作OM的垂線l, 過(guò)點(diǎn)M且不垂直于l的兩條直線分別與圓交于A,B,C,D四點(diǎn),記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點(diǎn),則|PM|=|MQ|.

證明如圖2, 過(guò)圓心O作AC,BD的 垂 線, 垂足分別為F,E, 則F,E分別為弦AC,BD中點(diǎn); 連接OP,OQ,MF,ME, 因?yàn)镺M⊥PQ, 所 以O(shè),F,M,P四點(diǎn)共圓,O,E,M,Q四點(diǎn)共圓, 于是∠POM= ∠PFM,∠QOM= ∠QEM; 因 為∠MCA= ∠MBD, 所 以ΔMAC∽ΔMDB, 故有結(jié)合∠MCF= ∠MBE得ΔMCF∽ ΔMBE, 于是∠MFC=∠MEB,所以180°-∠MFC=180°-∠MEB,即∠PFM= ∠QEM; 故∠OPM= 90° -∠POM=90°-∠PFM=90°-∠QEM=90°-∠QOM=∠OQM,即點(diǎn)M是PQ中點(diǎn),故|PM|=|MQ|.

圖2

至此,我們通過(guò)探究得到了圓中具一般意義的結(jié)果.但是對(duì)于圓成立的結(jié)論是如何推廣到橢圓中去的? 事實(shí)上,橢圓可以由圓經(jīng)過(guò)伸縮變換得到,由伸縮變換的性質(zhì)——保持點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系不變、直線平行或相交關(guān)系不變、同一直線上線段長(zhǎng)的比例關(guān)系不變等.可知上述結(jié)論4 對(duì)于橢圓仍然成立.事實(shí)上,這也完成了結(jié)論1 的一次簡(jiǎn)潔的證明.

根據(jù)圓的一般結(jié)論分析,上述結(jié)論1-3 中的點(diǎn)M和直線l:x=m仍然比較特殊,能否將其一般化呢? 即點(diǎn)M為不在橢圓上的任意一點(diǎn),此時(shí)直線l需滿足什么要去才能保證上述結(jié)論仍然成立? 結(jié)合高等幾何中極點(diǎn)極線的相關(guān)知識(shí),筆者借助GeoGebra 平臺(tái)繼續(xù)探究得到圓錐曲線中更一般性的結(jié)論.

結(jié)論5已知點(diǎn)M是不在橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于橢圓E的極線為直線m,記過(guò)點(diǎn)M且平行于直線m的直線為l,過(guò)點(diǎn)M作兩條不重合的直線分別與橢圓E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點(diǎn);則|PM|=|MQ|.

結(jié)論6已知點(diǎn)M是不在雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0)上的任意一點(diǎn), 點(diǎn)M關(guān)于雙曲線E的極線為直線m,記過(guò)點(diǎn)M且平行于直線m的直線為l,過(guò)點(diǎn)M作兩條不重合的直線分別與雙曲線E交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點(diǎn);則|PM|=|MQ|.

結(jié)論7已知點(diǎn)M是不在拋物線E:y2= 2px(p ＞0)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于拋物線E的極線為直線m,記過(guò)點(diǎn)M且平行于直線m的直線為l,過(guò)點(diǎn)M作兩條不重合的直線分別與拋物線E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點(diǎn);則|PM|=|MQ|.

結(jié)論5-7 的證明需要借助高等幾何中極點(diǎn)極線的相關(guān)結(jié)論,留給有興趣的讀者,此處不再一一贅述;根據(jù)極點(diǎn)和極線的性質(zhì),我們將結(jié)論5-7 統(tǒng)一概括為:

結(jié)論8已知點(diǎn)M是不在圓錐曲線E上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于曲線E的極線為直線m,記過(guò)點(diǎn)M且平行于直線m的直線為l,過(guò)點(diǎn)M作兩條不重合的直線分別與曲線E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點(diǎn);則|PM|=|MQ|.

極點(diǎn)與極線是解析幾何中的一條重要性質(zhì),它在圓錐曲線問(wèn)題的探究中有十分重要的應(yīng)用,本文對(duì)這一類定值問(wèn)題的探究很好地佐證了這一點(diǎn).

結(jié)束語(yǔ)

以上由一道試題出發(fā),經(jīng)過(guò)特殊到一般,得到了圓錐曲線中一組統(tǒng)一的性質(zhì).在解題教學(xué)過(guò)程中,我們不能僅僅停留在問(wèn)題的表面,還要引導(dǎo)學(xué)生深入理解學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系,對(duì)經(jīng)典題目進(jìn)行抽絲剝繭,從不同角度聯(lián)想與探究,盡可能地將試題的研究?jī)r(jià)值最大化,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).